Curso de conjuntos y números. Guiones de clase. Claudi Busqué Roca Manuel Saorín Castaño Juan Jacobo Simón Pinero

Transcripción

1 Curso de conjuntos y números. Guiones de clase Claudi Busqué Roca Manuel Saorín Castaño Juan Jacobo Simón Pinero

2 Índice general I Conjuntos 3 1. Conjuntos y elementos Sobre el concepto de conjunto y elemento Pertenencia, contenido e igualdad Operaciones con subconjuntos Familias de conjuntos y operaciones Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias Aplicaciones Relaciones y aplicaciones Tipos de aplicaciones Imágenes directas e inversas Composición Aplicación inversa de una aplicación biyectiva Orden Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos Axioma de elección y algunos equivalentes. Buena ordenación Apéndice: conjuntos ordenados finitos Relaciones de equivalencia Conceptos básicos Clases de equivalencia Conjunto cociente Relaciones de equivalencia y particiones Conjuntos numéricos Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos Números naturales Conjuntos numerables y no numerables Números enteros Números racionales Escritura decimal de números racionales Números reales

3 5.7. Números complejos Forma exponencial de un número complejo II Números y polinomios Los números enteros Artimética de los enteros División entera y máximo común divisor Mínimo común múltiplo La ecuación diofántica lineal Múmeros primos. Teorema fundamental de la aritmética Congruencias Propiedades aritméticas de las congruencias Algunas aplicaciones Congruencias de Euler y Fermat Teorema chino de los restos Polinomios Polinomios con coeficientes en un cuerpo Raíces de polinomios Polinomios irreducibles en R[X] y C[X]. Teorema fundamental del álgebra Factores múltiples Polinomios irreducibles en Q[X]

4 Parte I Conjuntos 3

5 Capítulo 1 Conjuntos y elementos 1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. Comenzamos con la definición de conjunto de G. Cantor: Un conjunto es una colección (dentro de un todo) de distintos objetos definidos por nuestra intuición o pensamiento Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepción intuitiva de los conjuntos. La noción formal de conjunto corresponde con fundamentos de la matemática que quedan fuera del alcance de nuestro curso. También queda fuera del nuestro alcance el concepto de pertenencia. Vamos a asumir entonces que hay unos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamos elementos Pertenencia, contenido e igualdad. Las colecciones con las que construiremos conjuntos serán por lo pronto de dos formas. 1. Por extensión: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo A = {X 1,..., X n,... } o A = {a, b, c,... }. 2. Por comprehensión: a través de una fórmula proposicional que siempre tendrá, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, si B es un conjunto, A = {X B p(x) (es verdadera) }. Cuando B está claro por el contexto podemos no escribirlo. 4

6 Asumimos (por axioma) que cualquiera de las dos escrituras anteriores determina un único conjunto Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos. 1. A = {a, e, i, o, u} o A = {x x es una vocal }. 2. A = {2, 4,... } o A = {x N x es par }. HAY MÁS EJEMPLOS PARA PONER EN EL ZALDIVAR pp TAMBIÉN LOS DE LA HOJA Notación. Si a es un elemento del conjunto A, escribiremos a A. En caso contrario escribimos a / A Inclusión. Sean A y B conjuntos. Decimos que A está contenido en B, o que A es subconjuntos de B si para todo elemento a A se tiene que a B. Se denota A B y se expresa a A a B Si A no está contenido en B entonces escribimos A B Observación. Es claro que A B si y solo si existe a A tal que a B Ejemplo. Sea I = {x N x es impar } = {x N x = 2n + 1, con n N}, que a veces, para abreviar, escribimos {2n + 1 n N} (aunque no estaba contemplada, se usa mucho y se entiende perfectamente, así que podemos introducirla). Entonces I N Notación. Sean A y B conjuntos, tales que A B. Si queremos destacar la posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A B. Cuando queremos poner énfasis en justo lo contrario, escribimos A B; lo expresamos como a A a B pero b B tal que b A Igualdad. Diremos que dos conjuntos A y B son iguales cuando tengan exactamente los mismos elementos. Lo expresamos a A a B. EN EL ZALDÍVAR NO VIENE SEPARADA LA SIGUIRENTE PROP Proposición. Sean A y B conjuntos. A = B si y sólo si A B y B A Demostración. DEM. Conjunto vacío Definición. Un conjunto vacío es aquel que no tiene elementos Proposición. Sean A y B conjuntos. Si A es vacío entonces A B. Demostración. Se puede comentar el argumento de vacuidad o hacerla por reducción al absurdo. La clave es heber asumido que una colección vacía es conjunto. Por reducción al absurdo: Sea A un conjunto vacío y supongamos que existe B, conjunto tal que A B. Entonces existe a A tal que a B. Luego A no es vacío lo cual es imposible. 5

7 Corolario. Solo hay un conjunto vacío. Notación. El conjunto vacío se denota Partes de un conjunto. Sea A un conjunto. La colección P(A) = {B B A} se conoce como el conjunto de las partes de A o el conjunto potencia de A Ejemplo. Ejemplo de la Hoja 1. Discutirlo con cuidado Operaciones con subconjuntos Unión. Sean A y B conjuntos. El conjunto A B = {X X A o X B} se conoce como la unión de A y B. Se escribe x A B si y sólo si x A o x B. El contrario es x / A B si y sólo si x / A y x / B Ejercicio. Ejercicios HOJA Intersección. Sean A y B conjuntos. El conjunto A B = {X X A y X B} se conoce como la intersección de A y B. Se escribe x A B si y sólo si x A y x B. El contrario es x / A B si y sólo si x / A o x / B. Diagramnas de Venn En 1880 John Venn introdujo los diagramas para una mejor comprensión de los conjuntos y sus operaciones. U A B U A B Unión Intersección Ejemplo. Considérense los conjuntos A = {X R 0 x 2 6} y X B = {X R 2 2 < 8}. Se pide: 1. Representar estos conjuntos en la recta real. 2. Determinar los conjuntos A B, A B, A \ B y B \ A, escribiéndolos de forma comprehensiva y gráficamente en la recta real. 6

8 Leyes distributivas.(quitados de la Hoja 1) Proposición. Sean A, B y C conjuntos. Entonces 1. A (B C) = (A B) (A C). 2. A (B C) = (A B) (A C). Demostración. Hacer una de las dos. La otra, ejercicio Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia de conjuntos es la colección Expresado como diagrama de Venn U A B A \ B = {X X A y X B}. Diferencia Ejercicio. HOJA 1. 6c Complemento. Sean A y U conjuntos, con A U. Se conoce como complemento de A en U a la colección Leyes de De Morgan. A = U \ A = {X U X A}. Augustus De Morgan 1806 (India)-1871(Londres). Hijo de un militar británico. Contribuciones importantes en álgebra, geometría. Cofundador de la London MS y primer presidente Proposición. Sean A y B conjuntos. 1. (A B) = A B. 2. (A B) = A B. Expresado como diagrama de Venn U A B (A B) = A B 7

9 Familias de conjuntos y operaciones Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o no nos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par de ejemplos. Sean N el conjunto de los números naturales, P el conjunto de los números naturales pares y definimos, para cada n N, A n como el conjunto de los múltiplos pares de n; es decir A n = {x P n x}. Entonces, la colección C = {A n } n N no es conjunto porque, por ejemplo, A p = A 2p, para todo primo impar. En este caso, decimos que C es una familia (de conjuntos). Aún así, es claro que podemos considerar su unión e intersección y respetará las leyes habituales de conjuntos. Otro ejemplo puede ser el siguiente. Considérese p 1 (X) = X 3 X 2 + X 1 y p 2 = X 3 + 3X 2 2. Sean R 1 y R 2 los conjuntos de raíces reales de p 1 (X) y p 2 (X) respectivamente, y R = {R 1, R 2 }. En principio, no podemos asegurar que R sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia 1 R 1 R Definición. Una familia de conjuntos es una colección {A i i I}, donde I es un conjunto y A i son conjuntos. Si todos los objetos son diferentes, tendremos un conjunto, si no, una familia. Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias Al ser una operación binaria y asociativa, podemos extenderla a una colección finita de uniendos. Así, si A 1,..., A n son conjuntos se tiene que n A i = {x x A i para alguna i {1,..., n}}. i=1 Cuando la colección sea infinita, también habrá unión, pero ya no es una consecuencia de propiedades de operaciones binarias. Es otra definición. Veamos la versión más general. Nos viene a decir que las uniones más generales serán conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a un conjunto Unión arbitraria. Sea C un conjunto, cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La unión arbitraria es el conjunto C = {x x A, para algún A C}. En el caso de las familias, si I es un conjunto de índices y C = {A i i I} = {A i } i I, entonces escribimos C = i I A i = {x x A i para algún i I}. 8

10 Al igual que sucede con la unión, podemos definir la intersección arbitraria en conjuntos y familias. La intersección de los conjuntos A 1,..., A n es n A i = {x x A i para todo i {1,..., n}}. i= Intersección arbitraria. Sea C un conjunto, cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La intersección arbitraria es el conjunto C = {x x A, para todo A C}. En el caso de las familias, si I es un conjunto de índices y C = {A i i I} = {A i } i I, entonces escribimos C = i I A i = {x x A i para todo i I} Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los números primos positivos. Para cada primo, p P, definimos el conjunto A p = {x N p x}, o sea, los múltiplos naturales de p. Entonces: 1. La familia {A p } p P es un conjunto. 2. p P A p = N. 3. Si p 1,..., p n son primos cualesquiera entonces n i=1 A p i = {m (p 1 p n ) m N} 4. p P A p =. Otro ejemplo Ejemplo. Sea A = {a, b, c} y consideramos P(A). Sea C = {{a, b}, {b, c}}. Entonces 1. C = A. 2. C = {b} Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias Comenzamos directo con la definición Definición. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada por a A y b B es el conjunto (a, b) = {{a}, {a, b}}. 9

11 Observación. La escritura de la definición anterior puede reducirse mucho según el caso. Por ejemplo (a, a) = {{a}} Proposición. Sean A y B conjuntos. Para cualesquiera elementos a, c A y b, d B se tiene que (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d Producto cartesiano. Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B es el conjunto A B = {(a, b) a A y b B} Observación. Es inmediato comprobar que el producto cartesiano (de tres conjuntos) no es asociativo; sin embargo, la identificación (a, (b, c)) con ((a, b), c) es demasiado clara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos, teniendo precauciones formales. Más adelante veremos un concepto más general, el de producto directo Proposición. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces A = A = Observación. En general, si A y B son conjuntos, A B B A. Proviene de la Proposición Ejemplos. Sea A = 1, 2, 3 y B = a, b. Formar el producto cartesiano Ejercicio. Ejercicios HOJA Definición. Sean A y B conjuntos. Una correspondencia o relación binaria entre los elementos de A y los de B es un subconjunto R A B. Cuando (a, b) R decimos que a está relacionado con b (dicho en ese orden) y escribimos arb Observación. Algunos autores obligan a que las relaciones sean conjuntos no vacíos. Algunos autores reservan el término relación para correspondencias en un solo conjunto. Si no causa confusión, decimos relación en vez de relación binaria Observación. Nótese que puede ser que un elemento a esté relacionado con otro b, pero no recíprocamente Ejemplos. 1. Si A = y B es arbitrario, entonces A B = y por lo tanto, la única posible relación entre A y B es la vacía. 2. Sean A y B conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (que pueden coincidir), una es el vacío y la otra es la total. 3. Sea R R 2 la relación dada por es decir, xry x y. R = { (x, y) R 2 x y } ; 10

12 4. Sea R Z 2 Z 2 tal que (a, b)r(a, b ) ab = a b. 5. Sea A un conjunto. La diagonal de A 2 ; es decir, (a, b) R a = b, es una relación Definición. Sean A y B, conjuntos, y R una relación entre A y B. 1. Al conjunto A se le llama conjunto inicial. 2. Al conjunto B se le llama conjunto final. 3. Se conoce como dominio de la relación, al conjunto DomR = {a A b B, (a, b) R}. 4. Se conoce como imagen de la relación, al conjunto Ejemplo. Sea R R 2 tal que Calcular el dominio y la imagen. ImR = {b B a A, (a, b) R}. (x, y) R x = y2 x. y 11

13 Capítulo 2 Aplicaciones 2.1. Relaciones y aplicaciones Comenzamos con el concepto de aplicación Definición. Sean A y B conjuntos. Una aplicación entre A y B es una relación f A B que cumple la siguiente propiedad: Para todo a A, existe un único b B tal que (a, b) f. O bien, si (a, b) y (a, c) pertenecen a f, entonces c = d. HAREMOS DIBUJOS DE DIAGRAMAS DE GRAFOS Y SAGITALES COMO EL LIBRO DE M. A. GOBERNA P.23 Haremos dibujos de diagramas de grafos y saginatels como el libro de Goberna, p.23. También esquemas en el plano Observación. En ocasiones, sobre todo en el cálculo y la topología, se suele identificar la aplicación con la regla de correspondencia y a la propia aplicación con la gráfica (o grafo) Notación. Sean A y B conjuntos y f una aplicación de A a B. Escribimos entonces f : A B o A f B. Además, si a A y (a, b) f, como b es único podemos escribir b = f(a) Observación. Como hemos dicho, una aplicación es una relación, que escribimos f : A B. De este modo tenemos 1. El dominio de f, que es Domf = A. Es decir, el dominio coincide con el conjunto inicial, así que éste último término ya no se usa. 2. La imagen (o imagen directa) de f, que es Imf = f(a) B. 12

14 Además, tenemos otras definiciones Definición. Sean A y B conjuntos y f : A B. 1. Al conjunto final B se le llama el codominio de f. 2. A la igualdad b = f(a) se le llama la regla de correspondencia de f. 3. Si (a, b) f, decimos que a es preimagen de b y que b es imagen de a Ejemplos. 1. Sea A un conjunto. La relación diagonal es una aplicación. 2. Sea f : Z N, tal que f(a) = a 2. Entonces f es una aplicación. 3. La relación xry x 2 + y 2 = 1 no es una aplicación. Sin embargo, y = 1 x2 sí lo es. SI HAY DUDAS HACER MÁS EJEMPLOS CON DIAGRAMAS y gráficos Tipos de aplicaciones Definición. Sea f : A B una aplicación. 1. Inyectiva. f(a) = f(b) a = b o a b f(a) f(b) 2. Suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva). Para todo b B, existe a A tal que f(a) = b. 3. Biyectiva. Es inyectiva y suprayectiva Ejemplos. EJEMPLOS CON DIAGRAMAS SAGITALES 2.3. Imágenes directas e inversas Definición. Sea f : A B una aplicación. 1. Para X A, definimos la imagen directa de X como 2. Para Y B, definimos f(x) = {f(x) x X}. f(y ) 1 = {a A f(a) Y } Proposición. Sea f : A B una aplicación. La imagen directa verifica las siguientes propiedades. 1. f( ) =. 2. Si X Y entonces f(x) f(y ). 13

15 3. Si X, Y A entonces f (X Y ) = f(x) f(y ). 4. Si X, Y A entonces f (X Y ) f(x) f(y ). Más en general, si I es un conjunto y {X α } α I una familia de subconjuntos de A entonces ( ) f X α = ( ) f (X α ) y f X α f (X α ) α I α I α I Demostración. DEM. Hacer sólo algunas Proposición. Sea f : A B una aplicación e Y B. La imagen inversa verifica las siguientes propiedades. 1. ( f(x) 1) = f (X ) Si I es un conjunto y {X α } α I una familia de subconjuntos de A entonces ( ) 1 f X α = ( ) 1 f (X α ) 1 y f X α = f (X α ) 1 α I α I α I α I Demostración. Se deja como ejercicio. α I EN LA HOJA 1 APARECEN MÁS PROPIEDADES Ejemplo. Sea f : R R dada por f(x) = x 2. Sea X = [1, 2] R. Calcular: 1. f(x). 2. f (f(x)) f ( f(x) 1). Hacer lo mismo para la aplicación dada por g(x) = sen x, e Y = [ 2, 2] Composición En la HOJA 1, aparece el siguiente ejercicio Ejercicio. Sean f : A B y g : B C aplicaciones. Definimos la relación g f A C tal que (a, c) (g f) si y sólo si, existe b B tal que (a, b) f y (b, c) g. Probar que g f es una aplicación. Entonces podemos introducir el siguiente concepto Definición. Sean f : A B y g : B C aplicaciones. Se conoce como la composición de f seguida de g y denotamos g f a la aplicación siguiente: 14

16 1. g f : A C. Tal que 2. (g f)(a) = g(f(a)). Entonces, en la composición ocurre que Dom(g f) = Domf y el codominio de la composición es igual al codominio de g Ejemplos. 1. Sean f : N N y g : N Z, dadas por f(n) = 2n + 1 y g(n) = n 2. Entonces la composición de f seguida de g es (g f)(n) = g(f(n)) = g(2n + 1) = (2n + 1) 2. Nótese que la composición de g seguido de f, no puede definirse, porque no coinciden la imagen de g y el dominio de f. También notemos que a efectos prácticos, eso podría corregirse con otra función g : N N. 2. Sean entonces f : N N y g : N N, dadas por f(n) = 2n + 1 y g (n) = n 2. Ahora podemos hacer ambas composiciones y queda (g f)(n) = (2n + 1) 2 y (f g)(n) = 2n Nótese que (g f) (f g) Teorema. Sean f : A B, g : B C y h : C D aplicaciones. Entonces h (g f) = (h g) f. Demostración. DEM Proposición. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Demostración. DEM Proposición. La composición de aplicaciones suprayectivas es suprayectiva. Demostración. DEM Corolario. La composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva. Demostración. DEM Por los ejercicios de la Hoja 1, tenemos que Proposición. Sean f : A B y g : B C. Entonces 1. Si g f es inyectiva entonces f es inyectiva. 2. Si g f es suprayectiva entonces g es suprayectiva. 15

17 2.5. Aplicación inversa de una aplicación biyectiva Notación. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicación identidad en A, como I A : A A; es decir, I A (a) = a, para todo a A Definición. Sea f : A B una aplicación. 1. Decimos que f tiene inversa (o es invertible) por la izquierda si existe g : B A tal que g f = I A. 2. Decimos que f tiene inversa (o es invertible) por la derecha si existe g : B A tal que f g = I B. 3. Decimos que f tiene inversa (o es invertible) si tiene inversa por ambos lados Observación. Nótese que por los ejercicios sobre composición, se tiene que si f tiene inversa por la izquierda entonces f es inyectiva y si tiene inversa por la derecha entonces será suprayectiva. Los recíprocos también se verifican Proposición. Sea f una aplicación. 1. Si f es inyectiva entonces tiene inversa por la izquierda. 2. Si f es suprayectiva entonces tiene inversa por la derecha. Demostración. DEM Las aplicaciones con inversas a algún lado verifican una ley de cancelación Proposición. Sean f : A B, g 1, g 2 : B C y h 1, h 2 : D A. 1. Si f es inyectiva y f g 1 = f g 2 entonces g 1 = g Si f es suprayectiva y h 1 f = h 2 f entonces h 1 = h 2. Demostración. DEM Ahora veremos qué ocurre cuando se tienen inversos por los dos lados Proposición. Sea f : A B una aplicación. Si f tiene inversa por la izquierda y por la derecha entonces las inversas coinciden. En particular, la aplicación tendrá inversa. Demostración. DEM De la observación y las proposiciones anteriores se desprende Corolario. Una aplicación es invertible si y sólo si es biyectiva. En este caso, el inverso es único Proposición. Sean f : A B y g : B C aplicaciones invertibles. Entonces (g f) 1 = f 1 g 1. 16

18 Producto directo Vamos a ver una extensión de la idea del producto cartesiano. El producto directo. A diferencia del producto cartesiano, el producto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjunto de índices está ordenado, los identificamos Definición. Sea I un conjunto y F = {A i } i I una familia de conjuntos. Se conoce como producto directo de la familia F al conjunto A i = {f : I i I A i f(i) A i }. i I Notación. Los elementos se denotan igual que las parejas ordenadas; es decir, si f i I A i, escribimos f = (x i ) i I. Cuando I es finito, escribimos sus elementos como el producto cartesiano y sólo se diferencian por el contexto. Por ejemplo si I = {1,..., n}, escribimos A 1 A n = {(x 1,..., x n ) x i A i }. En caso de que no se quiera escribir a una familia con índices, simplemente se presupone; es decir, a la familia {A, B, C} la vemos como {A 1, A 2, A 3 } Observación. Cuando el producto directo de conjuntos se define sobre un conjunto de índices ordenado, puede entonces dotarse a las coordenadas de un orden, como se verá en los siguientes ejemplos Ejemplos. 1. R 2 = {f : {1, 2} R f(i) R, i = 1, 2} = {(x 1, x 2 ) x i R}, el plano habitual. 2. R n = {f : {1,..., n} R f(i) R, i = 1,..., n}. 3. n N A n = {f : N n N A n f(n) A n }, es un producto infinito. Denotamos sus elementos también como f = (x 1, x 2,... ) Observación. Ni el producto cartesiano ni el directo son asociativos, pero podemos identificarlos. Por ejemplo es claro que existe una biyección entre A (B C), (A B) C y A B C, dada por (a, (b, c)) ((a, b), c) (a, b, c) 17

19 Capítulo 3 Orden 3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos Recordad que una relación (binaria) en un conjunto A es una correspondencia entre A y sí mismo. El siguiente tipo de relaciones tendrá mucha importancia: Definición. Sea A un conjunto. Una relación en A se dice que es una relación de orden cuando satisface las siguientes propiedades: 1. Reflexiva: a a, para todo a A 2. Antisimétrica: Si a, b A son elementos tales que a b y b a, entonces a = b 3. Transitiva: Si a, b, c A son elementos tales que a b y b c, entonces a c Ejemplos. 1. En cualquiera de los conjuntos numéricos N, Z, Q ó R, consideramos la relación: a b si, y sólo si, a es menor o igual que b 2. En N =: N \ {0} se considera la relación: a b si, y sólo si, a divide a b 3. Sea A el conjunto de todas las palabras posibles que se pueden formar con el alfabeto latino. (Nota importante: no se requiere que la palabra tenga sentido o significado. Por ejemplo, abbcccd sería una palabra y, por tanto, un elemento de A). Se considera la relación lexicográfica: Si x, y A son palabras, entonces x y cuando, empezando por la izquierda, la primera letra no común de x es anterior a la de y en el alfabeto latino. Así, por ejemplo, abbcccd abbccdd, porque la primera letra no común de 18

20 x = abbcccd es la tercera c mientras que en x = abbccdd es la primera d. Puesto que c está antes que d en el alfabeto latino, concluímos que x y. Nótese que cuando las palabras son de longitud fija, no tenemos que considerar la palabra vacía. También nótese que se pueden considerar otros conjuntos de símbolos ordenados, por ejemplo los números. 4. Sea X un conjunto arbitrario y consideramos en P(X) la relación: Y Z si, y sólo si, Y Z Definición. Un par (A, ), donde A es un conjunto y es una relación de orden en A, se dice que es un conjunto ordenado. Dicho conjunto se dirá totalmente ordenado cuando la relación de orden satisface además la propiedad siguiente: Para cualesquiera a, b A, ó bien a b ó bien b a Ejercicio. Considerar los conjuntos ordenados (A, ) dados por los ejemplos Decir cuáles de ellos son conjuntos totalmente ordenados, razonando la respuesta. Cuando un conjunto ordenado (A, ) es finito, una manera muy práctica de visualizarlo es usando el llamado diagrama de Hasse. Este consiste en dibujar los elementos de A como puntos del plano, de manera que si a < b (e.d. a b y a b) entonces a aparezca debajo de b y con un segmento entre ambos Ejemplo. Si A = {a, b, c, d, e} y definimos la relación en A cuyo subconjunto asociado de A A es R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (a, c), (c, d), (c, e), (a, d), (a, e), } entonces es una relación de orden cuyo diagrama de Hasse asociado es: d e c b a Dentro de un conjunto ordenado, hay algunos elementos importantes que conviene destacar: Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado y a A un elemento. Diremos que: i) a es un máximo de A, cuando b a para todo b A ii) a es un mínimo de A, cuando a b, para todo b A 19

21 iii) a es un elemento maximal de A cuando se verifica: si a b entonces b = a iv) a es un elemento minimal de A cuando se verifica: si b a entonces b = a Ejercicios. 1. Sea (A, ) un conjunto ordenado. Demostrar existe un máximo (resp. mínimo) de A si, y sólo si, existe un único elemento maximal (resp. minimal) de A y todo elemento de A es anterior (resp. posterior) a un elemento maximal (resp. minimal). En tal caso, máximo (resp. mínimo) y único elemento maximal (resp. minimal) coinciden. Por tanto, de existir, el máximo (resp. mínimo) de un conjunto ordenado es único. 2. En cada caso, dar un ejemplo de un conjunto ordenado A satisfaciendo la condición requerida: a) A no tiene elementos maximales (resp. minimales) b) A tiene varios elementos maximales (resp. minimales) c) A tiene un único elemento maximal (resp. minimal), pero existe un elemento x A que no es anterior (resp. posterior) a ningún elemento maximal (resp. minimal) Ejemplos. 1. Si A = (a, b) es un intervalo abierto de la recta real, en el que se considera el orden usual, entonces A no tiene ni elementos maximales ni elementos minimales. En particular, tampoco tiene ni máximo ni mínimo 2. Si A = [a, b] es un intervalo cerrado de la recta real, entonces a el mínimo y b es el máximo de A. 3. Sea A N un subconjunto, en el que consideramos el orden usual. Entonces (A, ) tiene siempre un mínimo, pero sólo tiene elementos maximales en el caso en que A sea finito. En este último caso, A tiene máximo 4. Sea A = N \ {0, 1} con la relación: a b si, y sólo si, a divide a b. Un elemento a A es un elemento minimal si, y sólo si, a es un número primo. No existen elementos maximales en A. En particular, (A, ) no tiene ni máximo ni mínimo. A veces tendremos un conjunto ordenado (A, ) y un subconjunto B y tendremos ciertos elementos de A que son relevantes con respecto al subconjunto B. Estos son los más importantes: Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado, B A un subconjunto y c A. Diremos que: i) c es una cota superior de B en A cuando b c, para todo b B ii) c es una cota inferior de B en A cuando c b, para todo b B 20

22 iii) c es extremo superior ó supremo de B en A si es la menor cota superior de B en A. Dicho de otro modo, cuando c es una cota superior de B en A y, si c A es otra cota superior de B en A, entonces c c iv) c es extremo inferior ó ínfimo de B en A si es la mayor cota inferior de B en A. Dicho de otro modo, cuando c es una cota inferior de B en A y, si c A es otra cota inferior de B en A, entonces c c Ejemplos. 1. No existe ninguna cota superior ni inferior de Z en R. En particular, Z no tiene ni supremo ni ínfimo en R. 2. Las cotas inferiores de N en R son los números reales c 0, pero no existen cotas superiores de N en R. En particular, 0 es el extremo inferior de N en R, pero no existe el extremo superior de N en R 3. Si B es cualquiera de los intervalos [a, b], [a, b), (a, b] ó (a, b) de la recta real, con a < b, entonces las cotas inferiores de B en R son los números reales c a, mientras que las cotas superiores de B en R son los números reales d b. En particular, el extremo inferior de B en R es a y el extremo superior de B en R es b 4. Sea B = {a 1,..., a n } un subconjunto finito de N = N\{0} y consideramos en N la relación de orden: a b a divide a b. Entonces las cotas inferiores de B en A son los divisores comunes a a 1,..., a n mientras que las cotas superiores son los múltiplos comunes a a 1,..., a n. En particular, el ínfimo de B en A es el máximo común divisor de los a i y el supremo de B en A es el mínimo común múltiplo de los a i Ejercicio. Sea (A, ) un conjunto ordenado y B A un subconjunto. Cuando sea necesario, miramos a B como conjunto ordenado con la relación restringida. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) B tiene máximo (resp. mínimo) b) B tiene extremo superior (resp. inferior) en A y dicho extremo superior (resp. inferior) pertenece a B 3.2. Axioma de elección y algunos equivalentes. Buena ordenación A su debido tiempo veremos que toda la teoría de conjuntos, que estamos desarrollando a un nivel muy intuitivo en éste vuestro primer contacto con el tema, se basa en unos axiomas de partida. Uno de esos axiomas es el siguiente: Axioma [Axioma de elección]. Si (A i ) i I es una familia de conjuntos no-vacios indizada por un conjunto I, entonces i I A i 21

23 Recordad que los elementos de i I A i son familias de elementos (a i ) i I tales que a i A i, para todo i I, y recordad también que una tal familia (a i ) i I se puede identificar con una aplicación α : I i I A i (la que lleva i a i, para todo i I). Por tanto, dar un elemento de i I A i equivale a dar, para cada i I, un elemento de A i. Ello nos lleva a la siguiente forma más popular de dar el axioma anterior, que es al que debe su nombre: Axioma [Axioma de elección]. Dada una familia de conjuntos novacíos, se puede escoger un elemento de cada conjunto El axioma es tan intuitivo que cualquiera creería que tiene que ser cierto. Sin embargo no se puede probar a partir de los restantes axiomas de la teoría de conjuntos, por lo cual se añade como tal axioma. Su importancia es capital para probar resultados que tienen que ver con conjuntos infinitos, especialmente porque es equivalente a los otros dos resultados que vamos a ver en esta sección. Necesitamos primero introducir cierta terminología: Definición. Sea A un conjunto y B A un subconjunto. Se dice que B es una cadena en A si, con la relación de orden restringida, B es totalmente ordenado. El conjunto A se dice inductivo si toda cadena B en A tiene una cota superior en A Ejemplos. 1. Sea A un conjunto. El conjunto potencia P(A), es inductivo. 2. Aún más, todo conjunto finito ordenado es inductivo. Es fácil verlo de forma intuitiva. Al final de esta sección se puede encontrar una demostración formal, que depende sólo de la buena ordenación. El siguiente postulado es fundamental y es equivalente al Axioma de Elección: Lema [Lema de Zorn]. Todo conjunto inductivo no-vacío tiene un elemento maximal Definición. Sea (A, ) un conjunto ordenado. Diremos que es bien ordenado si todo subconjunto no-vacío de A tiene un mínimo Ejercicio. Demostrar que todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado, pero el recíproco no es cierto. Demostración. Supongamos que (A, ) es un conjunto bien ordenado y sea B = {x A y A con x y e y x}; es decir, aquellos elementos de A que no están relacionados con alguien. Si B, ya terminamos. Si no, B tiene primer elemento. Sea a B el mínimo. Entonces, para todo b B se tiene a b. Esto contradice que existe y B tal que a y Ejemplo. Considérense N N junto con el orden lexicográfico. (1, 1) < (1, 2) <... < (1, n) <... (2, 1) < (2, 2) <... < (2, n) <

24 Este conjunto está bien ordenado. El siguiente postulado es también equivalente al Axioma de Elección y es también frecuentemente usado: Principio de la buena ordenación Si A es un conjunto no-vacío, entonces existe una relación de orden en A tal que (A, ) es un conjunto bien ordenado Nota final: No está a vuestro alcance en este momento y, desde luego, queda fuera de los objetivos del curso el probar que los tres postulados dados son equivalentes. Pero en algún momento, y ya en este mismo curso, os vais a ver obligados a usar el lema de Zorn en alguna demostración (p.ej. para probar que todo espacio vectorial tiene una base). Dicho lema no parece muy natural a primera vista. Sin embargo, conociendo que es equivalente a algo tan intuitivo como el Axioma de Elección, creo que os quedará mejor la idea de que no estamos usando herramientas artificiales o cosas raras para probar los resultados. Remito a los curiosos a la Introducción (Sección 7) del Hungerford para información bibliográfica donde pueden encontrarse las pruebas de la equivalencia de los tres postulados aquí mencionados Apéndice: conjuntos ordenados finitos. Usando el principio del buen orden, vamos a probar que todo conjunto finito ordenado es inductivo y por tanto tiene al menos un máximo. Primero repetimos los dos auxiliares anteriores Ejercicio. Un conjunto A es infinito si tiene un subconjunto propio B A tal que existe una aplicación inyectiva f : A B. Demostración. Como f : A B es inyectiva entonces la aplicación ˆf : A Imf, es biyectiva y así A es equipotente con Imf A Lema. Sea A un conjunto finito bien ordenado. Todo subconjunto de A, no vacío, tiene máximo. Demostración. Supongamos que existe X A tal que no tiene máximo, y sea x 1 su primer elemento. Definimos Y = X \ {x 1 } y f : X Y tal que f(x) es el primer elemento del conjunto {y X x < y}. Es obvio que f es aplicación inyectiva. Por (3.2.10) se tiene el resultado. Ahora, el resultado Proposición. Sea A un conjunto finito, totalmente ordenado. Se afirma que A tiene máximo. Demostración. Sea B el conjunto A dotado de un buen orden (que ya no tiene que ser el original, claro). Sea b 0 el primer elemento de B, y para cada b B, definimos [b 0, b] = {x B b 0 x b}. 23

25 Sea F = {b B f : [b 0, b] A, inyectiva y tal que x < y f(x) < f(y)}. Como al menos b 0 F, se tiene que F, y por (3.2.11) ha de tener un máximo, digamos b F, con una aplicación f : [b 0, b] A, adecuada. Caso 1. Si f es sobre, ya tenemos que f(b) es máximo de A. Caso 2. Supongamos entonces que f no es sobre. Entonces, al ser f inyectiva, debe ocurrir que [b 0, b] B ya que A es finito y B = A. Caso 2.1. Si aún así, f(b) es máximo de A, o simplemente A tiene máximo, ya terminamos. Caso 2.2. Si no, entonces existen x B e y A tales que: x B \ [b 0, b] el primer elemento e y > f(b). Definiendo g : [b 0, x] A tal que { f(m) si m [b 0, b] g(m) = y si m = x llegamos a una contradicción Teorema. Todo conjunto finito ordenado es inductivo y por tanto tiene elementos maximales. Demostración. Sea (A, ) un conjunto finito y ordenado. Considérese una cadena C de A. Como A es finito, también lo es C, que además es totalmente ordenado. Por (3.2.12), la cadena C tiene un máximo (cota superior). Así que toda cadena en A tiene cota superior y por tanto A es inductivo. Finalmente, por el lema de Zorn, A tiene maximales. 24

26 Capítulo 4 Relaciones de equivalencia 4.1. Conceptos básicos Como hemos comentado, un método importante de las matemáticas consiste relacionar los elementos de un conjunto. De las siguientes propiedades de las relaciones, ya hemos visto algunas Definición. Sea A un conjunto y R una relación en A B. Decimos que R es una relación de equivalencia si satisface las siguientes propiedades: 1. R es reflexiva; es decir, (a, a) R para todo a A. 2. R es simétrica; es decir, (a, b) R implica (b, a) R, para todo a, b A. 3. R es transitiva; es decir, (a, b) R y (b, c) R implica (a, c) R, para todo a, b, c A Ejemplos. 1. La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto. 2. En Z, para m Z, la relación a 5 b si y sólo si 5 (a b). 3. En R, la relación a b si y sólo si a b Z. 4. En los triángulos, la semejanza; es decir, triángulos cuyos angulos coinciden. 5. Cuándo una relación de orden es relación de equivalencia? PLANTEAR- LO UNA CLASE Y RESOLVERLO AL DÍA SIGUIENTE. 6. Dar un ejemplo de una relación que cumpla unas propiedades y no otras, construyendo subconjuntos. Más ejemplos. P. 33 del Zaldívar. Un ejemplo que me interesa. 25

27 Ejemplo. Sea f : A B una aplicación. Definimos la relación a a f(a) = f(a ). Compruébese que es relación de equivalencia Notación. Si R es una relación de equivalencia en A y a, b A están relacionados, entonces podemos escribir cualquiera de las tres siguientes formas 1. La tradicional: arb, que también usamos para relaciones en general. 2. También, a R b 3. O la anterior, pero más corta si no causa confusión, a b Clases de equivalencia Sea A un conjunto no vacío y R una relación de equivalencia en A. Para cada elemento a A, podemos considerar el conjunto de todos aquellos elementos de A que estén relacionados con a. Estas colecciones son una herramienta de trabajo importante en álgebra Definición. Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Para cada a A, su clase de equivalencia es el conjunto [a] = {b A a b }. Las siguientes propiedades son muy fáciles de verificar: Proposición. Sea A un conjunto R una relación de equivalencia en A. Las siguientes condiciones son equivalentes, para a, b A: 1. [a] [b]. 2. a R b. 3. [a] = [b]. Si C es una clase de equivalencia cualquiera y a C entonces [a] = C, trivialmente. En este caso decimos que a es un representante de C. Como se verá en los siguientes ejemplos, una correcta elección de los representantes puede simplificar mucho la descripción de las clases de equivalencia Ejemplos. 1. Ejercicios 8c y 8e de la Hoja Uno que interesa es continuar el de (4.1.3) de las aplicaciones. En este caso [a] = {x A f(a) = f(x)}. 26

28 4.3. Conjunto cociente Definición. Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Se conoce como conjunto cociente de A, respecto de la relación R, al conjunto de las clases de equivalencia de los elemtos de A respecto de R, o simplemente de R. Se denota A/R o A/ R o simplemente A/ Ejemplos. Calcular los del ejemplo anterior. Otro ejemplo, vistoso pero no importante, del Goberna. Se considera la relación de equivalencia en R, dada por x y x y 2π Z; es decir, los números reales que distan en un múltiplo de 2π. Podemos entonces identificar a estas clases con los ángulos, al elegir a los representantes en el intervalo [0, 2π). Para ello, considérese la circunferencia en el plano real de radio 1, con centro en (0, 0), que denotamos C(0, 1) o S 1. Entonces la aplicación f : R/ S 1 tal que f[x] = (cos x, sen x) está bien definida (no depende del representante) y es biyectiva Relaciones de equivalencia y particiones Probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa. Sea A un conjunto no vacío y R una relación de equivalencia. Consideremos el conjunto cociente A/ y cualquier elemento C A/. Sabemos que si a, b C entonces [a] = C = [b]. Además de esto se tiene el siguiente resultado Proposición. Sea A un conjunto no vacío y R una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia de R verifican las siguientes propiedades: 1. [a] [b] = si y sólo si a b. 2. [a] A/ [a] = A. Demostración. Si x [a] [b] entonces a x y a b, de donde a b. Imposible. Éste es un resultado importante dentro del álgebra. De hecho, las familias de conjuntos que verifican estas propiedades tienen nombre propio Definición. Sean A e I conjuntos y P = {B i } i I una familia de subconjuntos. Decimos que la familia P forma una partición para A si se verifican las siguientes propiedades 1. B i B j = si y sólo si i j. 27

29 2. La unión (disjunta) i I B i = A Observación. Podemos separar la propiedad (1) en dos, si escribimos Para cada i I, el conjunto B i. Para i, j I, si i j entonces B i B j =. Es decir, los elementos de una partición son conjuntos no vacíos y disjuntos. Así que, toda relación de equivalencia induce una partición. El recíproco se verifica. Reuniendo todo se tiene el siguiente resultado Proposición. Toda relación de equivalencia induce una partición. Recíprocamente, toda partición determina una relación de equivalencia. Demostración. Ya hemos visto en la Proposición que toda equivalencia determina una partición (en clases de equivalencia). Vamos entonces a ver el recíproco. Sea {C i } i I una partición en A. Definimos la relación a b a, b C i para alguna i I. Se prueba entonces que es relación de equivalencia y que las clases de equivalencia son justo las C i Ejemplos. Poner también del Goberna 28

30 Capítulo 5 Conjuntos numéricos 5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos Definición. Decimos que dos conjuntos X e Y son equipotentes si existe una aplicación biyectiva entre ellos Observación. Nótese que el ser equipotentes es una relación reflexiva, simétrica y transitiva, y aún cuando la colección de los conjuntos no sabemos bien qué es, podemos agrupar a los conjuntos en clases de equipotencia Definición. El cardinal de un conjunto es su clase de equipotencia. Intuitivamente, podemos comprobar que los cardinales son colecciones disjuntas y que todo conjunto tiene cardinal Notación. Para un conjunto A, denotamos su cardinal con A. Conjuntos finitos e infinitos Definición. Decimos que un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B A que es equipotente a A; es decir, que tiene una biyección f : B A Ejemplo. Aunque todavía no los definimos formalmente, de cara a un ejemplo es muy ilustrativo considerar a los números naturales, los enteros, los racionales, etc Definición. Decimos que un conjunto A es finito si no es infinito Definición. Un cardinal, decimos que es finito si tiene un representante finito. En otro caso decimos que es infinito. Por ejemplo 0 =. 1 = { }. 29

31 2 = {, { }}. y así, sucesivamente, donde el significado de sucesivamente es: Definición. Sea n un cardinal y considérese un representante A. Se conoce como el sucesor de n, al cardinal n = A {A} Axioma del infinito. Todo cardinal finito tiene sucesor y la colección de todos los cardinales finitos es un conjunto Ejercicio. Probar que para cualquier cardinal finito, el sucesor es único Proposición. El conjunto de los cardinales finitos es infinito. Orden en los cardinales Definición. Sean k y r cardinales. Decimos que k r si existen representantes k = A y r = B con una aplicación inyectiva f : A B. Sabemos que, Teorema. Todo conjunto finito ordenado es inductivo y por tanto tiene maximales. Demostración. Apunte Lema. Sean A y B conjuntos finitos. Entonces existe una aplicación inyectiva f : A B o bien f : B A. Demostración. Como A es finito, entonces el conjunto C = {X A f : X B inyectiva } P(A) junto con el orden dado por la contención es inductivo. Luego tiene maximales. Sea M un maximal de C. Entonces existe una aplicación inyectiva f : M B. Ahora separamos en casos. Caso 1. M = A. Termina la demostración. Caso 2. M A. Separamos en dos subcasos. Caso 2.1. Si f es sobre. Entonces la inversa por la derecha deberá de ser inyectiva. Eso termina la demostración. Caso 2.2. Si f no es sobre, consideramos a A \ M y b B \ Imf. Haciéndolos corresponder llegamos a una contradicción. Como consecuencia obtenemos Teorema. Los cardinales finitos forman un conjunto con un orden total. Demostración. Si A y B son finitos, por lo anterior A B o viceversa. 30

32 5.2. Números naturales Definición. El conjunto de los cardinales finitos se conoce como los números naturales y se denota N Notación. Escribimos sus elementos y el orden n m, para n, m N. 0, 1, 2, Los sucesores y el principio de inducción. 1. Todo número natural tiene un único sucesor y sólo 0 no es sucesor de ningún número natural. 2. El conjunto de los números naturales verifica el principio de inducción: si A N es tal que a) 1 A. b) n A n A entonces A = N \ {0}. Demostración. (1) Ejercicio anterior. Para (2) yo creo que es fácil pero siempre puede no hacerse. Mi propuesta es: Supongamos que existe m / A y sea M un representante. Hacemos S = {M M M A}. Como 1 A, entonces S., así que, por los antecedentes (lema de Zorn), tiene maximales. Sea T S un maximal. Por hipótesis, T A y existe x M \ T, por lo que T {x} = T A. Esto contradice que T sea maximal Buen orden en los números naturales. (N, ) es un conjunto bien ordenado; es decir, todo subconjunto A N tiene primer elemento. Demostración. TAREA. Se puede destacar el lema de Zorn como condición para la inducción y el buen orden. Operaciones en N Las definimos de forma inductiva o recursiva La suma en N. Para n N, definimos 1. n + 1 = n. 2. Si tenemos definida n + m entonces n + m = (n + m). 31

33 Se pueden probar entonces las siguientes propiedades Propiedades de la suma en N. 1. n + m = n + m 2. n + m = m + n (conmutatividad). 3. (n + m) + r = n + (m + r) (asociatividad). 4. Si a + c = b + c entonces a = b (cancelación). Demostración. SE OMITE POR LARGA (Zaldívar pp ) El producto en N. Para n, m N, definimos 1. n 1 = n. 2. Si tenemos definido n m entonces n m = n m + n Notación. Escribimos, como siempre, indistintamente, n m = nm Propiedades del producto. 1. n m = nm + m. 2. nm = mn (conmutatividad). 3. n(m + k) = nm + nk (distributividad). 4. n(mk) = (nm)k (asociatividad) Conjuntos numerables y no numerables Vamos a terminar esta parte abordando algunos aspectos más de la cardinalidad. Hasta ahora tenemos la definición de finito e infinito Definición. 1. Un conjunto A, decimos que es infinito si existe B A, junto con una aplicación inyectiva f : A B. 2. Un conjunto es finito si no es infinito. 3. Recordemos que la cardinalidad de un conjunto A se denota A Teorema [Bernstein]. Sean A y B conjuntos, tales que existen aplicaciones inyectivas f : A B y g : B A. Entonces, existe una biyección β : A B. Demostración. SIN DEMOSTRACIÓN Corolario. Sean A y B conjuntos, tales que existen aplicaciones sobreyectivas f : A B y g : B A. Entonces, existe una biyección β : A B. 32

34 Demostración. Inmediata Lema. N = N N. Demostración. Vamos a exhibir una aplicación inyectiva ϕ : N N N. Es un poco laborioso, pero muy ilustrativo. La idea es ordenar las parejas en el orden lexicográfico y luego ir contando en diagonal. Podemos ilustrarlo así: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2)... (3, 1) Nótese que cada diagonal con pareja superior (1, n) tiene exactamente n- parejas; a saber, de (1, n) al (n, 1) y antes de llegar a ella se han contado n 1 i=1 i, parejas, todas ellas sumando sus coordenadas n + 1 y sólo ellas tienen esa suma. Luego, al terminar la diagonal habremos contado n 1 i + n = i=1 n i parejas. Si llamamos S(n) a la suma de los primeros n números naturales podemos observar que se asignarán (1, n) S(n 1) + 1, (2, n 1) S(n 1) + 2 y así (n, 1) S(n 1) + n = S(n). De este modo, la correspondencia queda como sigue. Se considera un elemento arbitrario (i, j). Entonces vive en la diagonal de (1, i + j 1) S(i + j 2). Luego (i, j) S([i + j 2] + i) = S(2i + j 2), y aplicando la conocida fórmula de la suma (2i + j 1)(2i + j 2) ϕ(i, j) =. 2 i= Teorema. N = Z = Q Demostración. Inmediata de la construcción que hemos hecho Teorema. Considérese el intervalo (0, 1) R. Existe una aplicación inyectiva f : N [0, 1], pero no existe ninguna aplicación inyectiva (0, 1) N. Es decir, el infinito de R es mayor que el de N. Demostración. Vamos a dar un argumento conocido como método de la diagonal de Cantor. Supongamos que sí se tiene una aplicación inyectiva. Eso finalmente significa que hay una aplicación biyectiva y que hemos numerado a 33

35 todos los elementos del intervalo (0, 1). Entonces los escribimos x 1, x 2,..., en su forma decimal Considérese el número x 1 = 0, x 11 x 12 x 13 x 2 = 0, x 21 x 22 x 23 x 3 = 0, x 31 x 32 x 33 x = 0, x 11 x 22 x 33 o sea, que sus decimales son la diagonal de la lista anterior (no importa que todos fuesen 9 o 0, porque lo vamos a cambiar). Ahora vamos a construir otro número, de la siguiente forma. A cada x nn asignamos otro dígito y nn {0,..., 9} \ {x nn }, procurando que no todas las elecciones sean 0 o 9, para que y = 0, y 11 y 22 (0, 1). Es inmediato comprobar que y no puede estar en la lista anterior Números enteros Vamos a continuar la construcción de los conjuntos numéricos Proposición. Considése el conjunto Z = N N. La relación (a, b) (n, m) a + m = b + n es relación de equivalencia. Demostración. DEM Definición. Llamamos números enteros al conjunto cociente Z = Z/ Representantes notables. Considérese (n, m) Z. 1. Si n = m entonces (n, m) [(0, 0)]. Luego [(0, 0)] = {(n, m) Z n = m}. 2. Si n m se tienen dos casos. a) Si n > m, haciendo a = n m se tiene (n, m) [(a, 0)]. Luego [(a, 0)] = {(n, m) Z n > m, a = n m}. b) Si n < m, haciendo a = m n se tiene (n, m) [(0, b)]. Luego [(0, b)] = {(n, m) Z n < m, b = m n}. 34

36 Orden en los números enteros. 1. [(a, 0)] [(0, b)] para todo a, b N. 2. [(a, 0)] [(b, 0)] si y sólo si a b. 3. [(0, a)] [(0, b)] si y sólo si a b. Se puede comprobar inmediatamente, pero de todas formas se verá en el siguiente capítulo Proposición. (Z, ) es un conjunto totalmente ordenado. Aún más, todo entero tiene predecesor y sucesor Notación. 1. Denotamos con 0 a la clase [(0, 0)], el cero. 2. Denotamos con n a la clase [(n, 0)] y los identificamos con los números naturales. 3. Denotamos con n a la clase [(0, n)], que serán los números negativos. Suma y producto en los enteros. Las comprobaciones se harán en el próximo capítulo Suma. Definimos + : Z Z Z, tal que, + ([(a, b)], [(m, n)]) = [(a + m, b + n)] ; es decir, [(a, b)] + [(m, n)] = [(a + m, b + n)] Propiedades de la suma. 1. Está bien definida. 2. Es conmutativa. 3. Es asociativa. 4. Existe el neutro Para todo entero no cero, existe el opuesto o inverso bajo la suma. Demostración. La veremos en el capítulo siguiente Producto. Definimos : Z Z Z, tal que, ([(a, b)], [(m, n)]) = [(am + bn, an + bm)] ; [(a, b)] [(m, n)] = [(am + bn, an + bm)] es decir, Propiedades del producto. 35