4. " $#%&' (#) para todo $#* (desigualdad triangular).

Transcripción

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2 Capítulo 2 Espacios Métricos 21 Distancias y espacios métricos Definición 211 (Distancia) Dado un conjunto, una distancia es una aplicación que a cada par le asocia un número real y que cumple los siguientes condiciones: 1 2 si, y sólo si (separación) 3 para todo! (simetría) 4 " $#%&' (#) para todo $#* (desigualdad triangular) Definición 212 (Espacio métrico) Se llama espacio métrico a un par $+, donde es un conjunto y es una distancia definida en Ejemplo 213 (1) El espacio métrico de los números reales con la métrica del valor absoluto de la diferencia, es decir, - / definida como (2) El espacio métrico discreto Sea un conjunto no vacío cualquiera; si 4 definimos si - y 6 si 87 $+ es un espacio métrico 9 Antes de continuar con el siguiente, e importante ejemplo, conviene establecer una interesante relación: 11

3 "& 12 CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS Proposición 214 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si y números reales cualesquiera, entonces: Demostración Dado cualquier se verifica que *& Si desarrollamos el cuadrado y agrupamos tendremos que& &, tomando En estos términos, lo que queremos probar es que Si " todos los y por tanto también todos los Si 7 podemos poner $%& &, "!)*& $#& para todo 8 El segundo miembro (') (') " es mínimo si y si lo sustituimos en la expresión anterior " y, " Ejemplo 21 (1) Sea, y para los puntos, e * se definen las aplicaciones: *1 1 & & +*, --0 0/13$ En el gráfico anterior puede verse como es cada una de estas distancias Las tres son generalizaciones de la métrica del valor absoluto de la diferencia, y las tres tienen nombre propio: se llama la métrica del taxi, se llama la métrica euclídea o usual y se llama la métrica del ajedrez o del máximo

4 & 21 DISTANCIAS Y ESPACIOS MÉTRICOS 13 e * 0 se define: 1 1 (2) El ejemplo anterior se puede generalizar a Sean - 0 +*, 1 $ La prueba de que y son distancias es una mera comprobación Lo mismo sucede con las propiedades (1) y (2); no así con la desigualdad triangular en la que hay que utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz Veámoslo Sean $#* y consideremos ($#%&'(#) #& (# & # (# #(# aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al último sumando de la expresión anterior, podemos continuar #& (# #& (# &) & # (# # (# #3& (# ( Las tres métricas se pueden considerar generalizaciones de la métrica del valor absoluto en vista en el Ejemplo 103(1) (3) El conjunto de los números complejos con la métrica del módulo de la diferencia (# #21 # #1 con #$#, es un espacio métrico

5 1 14 CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS (4) Sea funciones acotadas, sea! (de la palabra inglesa bounded que significa acotada), el conjunto de Dadas dos funciones (que son los puntos de este espacio), -- ) 1 1 La siguiente gráfica nos da una idea de cómo es esta distancia - El par $ - es un espacio métrico y la métrica se denomina métrica del supremo o métrica - uniforme En concreto podemos destacar por su interés el espacio de las sucesiones acotadas sucesión acotada * acotada con la distancia -- () El espacio sobre un intervalo cerrado con la distancia es también un espacio métrico )0 1 1 continua de las funciones reales continuas 1 (6) Las siguientes métricas se pueden definir en el producto de dos espacios métricos Sean $+ y $ ; se define para 6, * donde! - : 0 3&4

6 $ ( &' +*, -- $ Se ve claramente que se trata de una construcción similar a la seguida en el ejemplo 10(1) para la construcción de tres distancias en ; y juegan el papel de DISTANCIAS Y ESPACIOS MÉTRICOS 1 Proposición 216 Sea 1 $#% $+ un espacio métrico, entonces se verifica (#) 1+" para todo $# Demostración Aplicando la desigualdad triangular tenemos $#%" & $#% 3&' (#), por tanto $#% (#) " De forma análoga podemos poner (#) " (#) & $#% & y tendremos que " $#% (#) Si unimos las dos desigualdades obtenidas en los párrafos anteriores " $#% (#) " Definición 217 (Subespacio métrico) Sea $+ un espacio métrico y sea un subconjunto de Sea también 2, definida por 6 El par $ es un espacio métrico y se llama un subespacio métrico de, y la métrica recibe el nombre de métrica inducida por Si, cuando se hable de como de un espacio métrico, siempre se estará suponiendo que su métrica es la métrica inducida por la métrica euclídea de, salvo que se diga otra cosa en contra En particular esto se aplica a los diferentes tipos de intervalos de números reales Ejemplo (1) + con la métrica inducida por el valor absoluto es subespacio métrico de (2) con la métrica inducida por es subespacio métrico de (3) El espacio de las sucesiones reales con límite 0, es subespacio métrico de - 9 Definición 219 (Distancia de un punto a un conjunto) Sea $+ un espacio métrico, sea un subconjunto Definimos la distancia de un punto al subconjunto como que existe dado que el conjunto sobre el que tomamos el ínfimo, está acotado inferiormente por 0

7 16 CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS Definición 2110 (Distancia entre conjuntos) Sean y dos subconjuntos de Se define la distancia del subconjunto al subconjunto como * Ejemplo 2111 (1) Si es la métrica discreta sobre, y 0 si si * (2) Consideremos con la distancia usual % 4 ; 1 4 ; (+ 1 1% 4 6 Evidentemente, si y, entonces ejemplo (3) Consideremos $ Entonces *, entonces si si 31 y sea 7 2, entonces: El recíproco no es cierto, como muestra este &", y2 &* Una gráfica ayuda a realizar este sencillo cálculo: la distancia que queremos calcular es la diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es y diámetro del círculo que es 1 9

8 & 22 BOLAS Bolas Los subconjuntos, quizás más importantes, de un espacio métrico, que vamos a estudiar a continuación, son las bolas abiertas; que darán origen a un concepto fundamental: el de conjunto abierto Se trata de una generalización del concepto conocido de intervalo abierto centrado en un punto en Definición 221 (Bola abierta) Sea $+ un espacio métrico y sean, y un número real Definimos la bola abierta en, centrada en y de radio como el conjunto - Si se necesita especificar con qué métrica se está trabajando, se representará la bola abierta por Ejemplo 222 (1) En 11 la bola abierta de centro y radio es el intervalo abierto de extremos & (2) La palabra bola debe su origen al caso euclídeo En $, tenemos que - &4 y es el interior del círculo de radio centrado en En el espacio $,- esfera sólida de radio centrada en $#% &8&'# es el interior de la bola o Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes y no tener la apariencia de una bola esférica En $ -*, la bola-(+ es el interior del cuadrado de centro y de lados paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud En $ con la métrica, la bola-(+ es el interior del cuadrado centrado en el punto (+$ y con vértices en los puntos (+ (+ $ $ Con la gráfica siguiente nos podemos hacer una idea de cómo son estas tres bolas, con centro 0 y radio 6 en el plano (+ (+ (+

9 - (3) En +,- es el conjunto de todas las funciones continuas en +, cuya gráfica se encuentra entre las gráficas de las funciones y & 18 CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS (4) En el espacio métrico discreto $ se tiene que () Sea si ", si con la métrica del valor absoluto en Entonces, en, (+, mientras que para la métrica inducida en, 0 (+ 9 Las bolas abiertas en un subespacio métrico son la intersección con el subespacio de la bola del espacio total con el mismo centro y radio: Proposición 223 (Bolas en subespacios métricos) Sea $+ un espacio métrico, y sea un subconjunto de ; entonces las bolas abiertas del subespacio métrico $ son la intersección de las correspondientes bolas en el espacio total con el subconjunto Es decir, 23 Abiertos Propiedades Uno de los objetivos de este curso es llegar al concepto de espacio topológico por medio del estudio de los espacios métricos, que son más naturales, y de sus propiedades Empezaremos con una propiedad característica de las bolas abiertas, que nos va a dar lugar a introducir una primera definición de conjunto abierto; en este caso, abierto en un espacio métrico Lema 231 Sea- una bola abierta en un espacio métrico $+, y sea entonces existe un tal que- - -, Demostración Basta tomar de modo que así ya que, como -, entonces #*$- entonces, por la desigualdad triangular, $#% " &' $#% " 3& El número - se puede escoger, puesto que si Entonces- 3&

10 existe 23 ABIERTOS PROPIEDADES 19 Por tanto, # - Teorema 232 (Propiedad de Hausdorff) Si $+ es un espacio métrico y son dos puntos distintos, existen tales que- - Demostración (Ejercicio) Este resultado permite plantearse la definición de un tipo de subconjuntos que verifican esta condición, es decir, de aquellos subconjuntos tales que, para cualquier punto del subconjunto, existe una bola abierta centrada en él y totalmente contenida en el subconjunto Serán los conjuntos abiertos Definición 233 (Conjunto abierto) Sea $+ un espacio métrico Diremos que un subconjunto es abierto en $+ si para cada 4 un tal que- Observemos que el número real depende del punto, es decir, para diferentes serán necesarios diferentes radios Corolario 234 Cualquier bola abierta en un espacio métrico Ejemplo 23 $+ es un abierto (1) Cualquier intervalo abierto de la recta real, incluso los intervalos abiertos no acotados, es en subconjunto abierto de la recta real con la métrica del valor absoluto de la diferencia También lo son las uniones de intervalos abiertos Sin embargo los intervalos, y no lo son (2) Un conjunto abierto no tiene por qué ser una bola abierta Así el subconjunto de : 1 1, 1 31 no es una bola abierta de para la métrica euclídea, y sin embargo sí que es un subconjunto abierto Sin embargo el conjunto siguiente no es abierto 2 1 1, 1 31%" (3) En la métrica discreta, cualquier subconjunto es abierto (4) La condición de ser abierto depende de la métrica El subconjunto métrica discreta, pero no lo es para la métrica euclídea es abierto para la () La condición de ser abierto también depende del conjunto sobre el que se define la métrica Así, el intervalo + es abierto en + $, pero no lo es en el espacio total con la métrica del valor absoluto 9 Teorema 236 Sea $+ un espacio métrico, entonces se verifican: 1 y son abiertos

11 % 20 CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS 0 2 Si es una familia de abiertos en, entonces es un abierto 3 Si 6 % es una familia finita de abiertos, entonces es un abierto Demostración (1) Es claro ; como es abierto, para algún será que quiere decir que la unión es un conjunto abierto y como cadaes abierto, cada existirá un tal que- Si tomamos tendremos que - - y por tanto- - Ejemplo 237 La intersección arbitraria de abiertos no es, en general un abierto Si consideramos la familia de abiertos en 131, su intersección es, que no es abierto 9 (2) Si,existirá un tal que -, lo (3) Si,entonces para todo % uno de estos conjuntos debe contener una bola de centro, es decir, para cada % para todo 6 % Algunas de las propiedades e ideas más importantes que abordaremos y, que de hecho, ya se están abordando en análisis, necesitan del estudio de lo que ocurre en un punto y, más en concreto, en las cercanías, en los alrededores de un punto; así sucede con la continuidad, con la convergencia, Necesitamos realizar un estudio local Vamos a ver algunos conceptos que facilitarán dicho estudio Definición 238 (Entorno) Sea $+ un espacio métrico, Diremos que es un entorno de si existe un tal que- Ejemplo 239 un subconjunto y (1) Una bola abierta en un espacio métrico, es entorno de todos sus puntos En concreto, en con la métrica usual, un intervalo abierto, es entorno de todos sus puntos (2) El intervalo + es un entorno del punto, pero no lo es del punto 9 Proposición 2310 Un subconjunto de un espacio métrico entorno de todos sus puntos $+ es abierto si y sólo si es Demostración (Ejercicio) 24 Cerrados Tan importantes como los abiertos, son sus complementarios, los llamaremos cerrados

12 ( existe Si ( es 24 CERRADOS 21 Definición 241 (Cerrado) Sea $+ un espacio métrico Diremos que un subconjunto es cerrado en $+ si su complementario un subconjunto abierto en $+ Ejemplo 242 En, con la métrica usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados; también lo son las semirrectas cerradas & o Proposición 243 Un subconjunto de un espacio métrico todo ' un tal que- $ Demostración es cerrado quiere decir que, existe tal que- Si para todo entonces es abierto, luego es cerrado Ejemplo 244 (1) En $, el conjunto 1 No lo son los intervalos de la forma, o 9, es decir,- $, $+ es un cerrado si y sólo si para es abierto, por tanto, para todo, entonces- ), existe tal que- y )" no es cerrado 1%", 1 31+", sí lo es $, cualquier recta es un conjunto cerrado 9 (2) En Definición 24 Sea $+ un espacio métrico, sea, y bola cerrada de centro y radio al conjunto " Las bolas cerradas contienen a las correspondientes bolas abiertas número real Llamaremos Proposición 246 En un espacio métrico, las bolas cerradas son conjuntos cerrados, Demostración (Ejercicio) Teorema 247 Sea $+ un espacio métrico, entonces se verifican: 1 y son cerrados 2 Si es una familia de cerrados en, entonces es un cerrado 3 Si 6 % es una familia finita de cerrados, entonces es un cerrado Demostración Se trata de aplicar las leyes de Morgan (Ejercicio)

13 22 CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS Ejemplo 248 (1) La unión arbitrario de cerrados no es, necesariamente un cerrado Consideremos la familia 3 de intervalos cerrados en ; su intersección + no es cerrado + + (2) En la métrica discreta cualquier subconjunto es cerrado (3) Hay subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo + euclídea con la métrica (4) También es posible que un subconjunto sea a la vez abierto y cerrado Por ejemplo, con la métrica discreta, cualquier subconjunto es a la vez abierto y cerrado 9 Definición 249 Sea $+ un espacio métrico y acotado si eixten y tal que - Ejemplo 2410 (1) con la métrica euclídea es un espacio métrico no acotado (2) con la métrica discreta es un espacio métrico acotado (3) Los subespacios, métricos acotados El subespacio 2 Diremos que es un subconjunto y de con la métrica euclídea son subespacios & no es acotado (4) Cualquier bola, abierta o cerrada, es un subespacio acotado 9 Definición 2411 (Diámetro de un conjunto) Sea $+ un espacio métrico y subconjunto acotado Definimos el diámetro de, y se representa por como Ejemplo (1) Los diámetros de los subconjuntos, y respectivamente, y (2) El subespacio + un de con la métrica usual son + de es un subconjunto acotado para cada una de las tres métricas 9, y - Sus diámetros para cada una de estas tres métricas son, respectivamente,, y