Parte II. Cálculo Diferencial para Funciones de Varias Variables Reales

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1 Parte II Cálculo Diferencial para Funciones de Varias Variables Reales

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3 Capítulo 5 Derivadas Direccionales y Derivadas Parciales Iniciamos, con este capítulo, el cálculo diferencial para funciones de varias variables reales. Aunque el marco de trabajo será, con frecuencia, el de los espacios normados, nuestro interés se centra en la generalización del concepto de derivada, y el estudio de sus propiedades, a las funciones de varias variables reales. Si esta extensión se hace a las funciones definidas sobre un espacio normado, es para aprovechar las técnicas ya estudiadas de los espacios normados y también porque, en ocasiones, necesitaremos de esta generalidad para poder establecer con comodidad algunos de los resultados clásicos del cálculo diferencial. Si f es una función real de una variable real, sabemos que f es derivable en el punto a si existe (5.1) f f(a + h) f(a) (a) = lim. h 0 h Es obvio que el concepto anterior de función derivable puede extenderse, sin modificación alguna, a las funciones de una sola variable, pero que toman valores en un espacio normado cualquiera F. En particular si f : A R R p, es fácil ver que f (a) = (f 1 (a), f 2 (a),..., f p(a)). Esta fórmula es igualmente válida si f es una función de 1 variable que toma sus valores en un producto finito de espacios normados. Sin embargo, cuando f es una función varias variables (o de variable vectorial ), no podemos definir f (a) como en (5.1) pues el h por el que habría que dividir no sería, en ese caso, elemento de un cuerpo. Aún sería esto posible para las funciones de variable compleja, pero éstas no son objeto de estudio en este curso. En lo sucesivo, por tanto, 49

4 50 Derivadas Parciales 5.1 el término variable habrá que entenderlo como variable real, y del mismo modo un espacio normado será, siempre, un espacio normado real. No obstante, hemos de señalar que no existen diferencias esenciales entre un cálculo diferencial real y un cálculo diferencial complejo. Antes de proceder a la extensión definitiva del concepto de derivada a las funciones de varias variables, vamos a dedicar un primer capítulo a la introducción de dos conceptos básicos, el de derivada direccional y el de derivada parcial. Aunque pueda parecer exagerado, se podría afirmar que el Cálculo Diferencial en dimensión finita consiste en el cálculo con derivadas parciales. Derivadas direccionales Definición 5.1 Sea f : A E F, a o A y h 0 un vector de E. Se dirá que f es derivable en el punto a, siguiendo el vector h, si existe f(a + th) f(a) (5.2) D h f(a) = lim. t 0 t Al elemento de F, D h f(a), se le denominará derivada de f en a, siguiendo el vector h. Cuando f admite derivada siguiendo cualquier vector no nulo, se dirá también que f admite derivadas en todos las direcciones. Sea f, para concretar, una función de A R n en R. Consideremos la recta de ecuación x = a + th, t R (recta que pasa por a y tiene a h como vector director). Entonces f(a + th) son los valores que toma f sobre esta recta, y por tanto, por analogía con los límites direccionales, podría pensarse en denominar al límite 5.2, como la derivada de la función f en a siguiendo la recta x = a+th. Esto sería correcto, de no ser porque para cada vector director de esa recta puede resultar un valor distinto para D h f(a). Concretamente, es fácil ver que D λh f(a) = λd h f(a). Debido a esto, se ha convenido en destacar por cada dirección dos de estas derivadas: D h f(a) y D h f(a), siendo h uno de los dos vectores de esa dirección y norma 1, denominando derivada direccional en a al valor D h f(a) = D h f(a). (Sólo hablaremos de derivada direccional en el sentido anterior para funciones escalares varias variables reales, y la norma que se utilizará en ese caso será la norma euclídea).

5 5.4 Derivadas Parciales La existencia de derivadas en todas las direcciones, será una condición necesaria para que una función sea derivable en un punto. Pero ésta condición es muy débil. Es posible, por ejemplo, que una función verifique esto y no sea ni siquiera continua. Ejemplo (Una función no continua en un punto, que admite en ese punto derivadas en todas las direcciones). f(x, y) = x2 y x 4 + y 2 si (x, y) (0, 0); f(0, 0) = 0. Si tomamos v = (h, k) y aplicamos la definición para calcular la derivada en el punto (0,0) siguiendo el vector v, resulta Si k 0, f(th, tk) t 3 h 2 k D v f(0, 0) = lim = lim t 0 t t 0 (t 4 h 4 + t 2 k 2 )t = h2 k Si k = 0, D v f(0, 0) = 0. Sin embargo, esta función no es continua en (0,0), pues aunque los límites iterados y direccionales existen todos y valen 0, los límites siguiendo las curvas y = mx 2 son todos diferentes. Derivadas parciales Definición 5.3 Sea f : A R n F y sea a A. o Se dirá que f admite derivada parcial j-ésima en a, si f es derivable en a, siguiendo el vector e j = (0,..0, 1, 0,.., 0). Emplearemos la notación ( f/ x j )(a) o, también, D j f(a), para designar a la derivada parcial j-ésima de f en a. Es decir: f f(a + te j ) f(a) (a) = D ej f(a) = lim x j t 0 t f(a 1,..., a j + h j,..., a n ) f(a) = lim h j 0 h j f(a 1,..., a j 1, x j, a j+1,..., a n ) f(a) = lim. x j a j x j a j De las igualdades anteriores resulta: Proposición 5.4 La función f admite derivada parcial j-ésima en a si, y sólo si, la aplicación g : x j f(a 1,.., a j 1, x j, a j+1,.., a n ) es derivable en a j, siendo ( f / x j )(a) = g (a j ).

6 52 Derivadas Parciales 5.4 De lo que ya hemos visto, se deduce que la existencia de derivadas parciales en un punto, respecto a cualquier índice, no implica la continuidad en ese punto. Asimismo tampoco puede derivarse la existencia de otras derivadas direccionales. Por ejemplo, la función f(x, y) = xy x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0); f(0, 0) = 0. admite derivadas parciales en (0,0), respecto a las dos variables, sin embargo, en ese punto no es, ni continua, ni admite otras derivadas direccionales que las parciales. El concepto de derivada parcial es, a pesar de la aparente descalificación que ejemplos como el anterior suponen, el más importante del cálculo diferencial en dimensión finita. Vamos a ver a continuación un resultado, que se enuncia exclusivamente en términos de derivadas parciales, y que constituye un auténtico teorema de valor medio para funciones de varias variables no necesariamente derivables (en estos momentos aún no sabemos qué es una función derivable de varias variables). Precisaremos de un sencillo lema de carácter geométrico. Lema 5.5 Sean x 0, x 1,..., x p un número finito de puntos de R n alineados, (es decir existe un vector u tal que x 1 = x 0 + t 1 u, x 2 = x 0 + t 2 u,..., x p = x 0 + t p u), y supongamos que 0 t 1 t 2... t p. Entonces x p x 0 = p x i x i 1, i=1 cualquiera que sea la norma que consideremos en R n. Demostración. Es inmediato comprobar que p x i x i 1 = u (t 1 + (t 2 t 1 ) (t p t p 1 )) = t p u, i=1 x p x 0 = t p u. Escribiremos x 0 x 1... x p para denotar que los puntos x 0, x 1,..., x p están en las condiciones del lema.

7 5.6 Derivadas Parciales 53 Teorema 5.6 Sea U un conjunto abierto convexo de R n y f : U R p una función que admite derivadas parciales respecto a cualquier índice en cada punto de U. Supongamos además que existe M > 0 tal que f i (x) x j M, x U; i = 1,..., p ; j = 1,..., n. Entonces f es lipschitziana en U. Más precisamente, para todos x, y U, se tiene (5.3) f(x) f(y) M x y 1. Demostración. Puede suponerse que f es una función escalar, pues si el teorema fuese cierto para funciones escalares, entonces para una función vectorial, f = (f 1, f 2,..., f p ), se tendría también: f(x) f(y) = max 1 i p f i(x) f i (y) M x y 1. Veamos, en primer lugar, que la desigualdad 5.3 se verifica sobre cada n-cubo cerrado contenido en U. Por definición, un n-cubo (cerrado) es un producto cartesiano de n intervalos (cerrados) de R de la misma longitud. Es decir, un conjunto de la forma C = [c 1, d 1 ]... [c n, d n ], con d 1 c 1 = d 2 c 2 =... = d n c n. Por tanto un punto z = (z i ) está en C si y sólo si c i z i d i, para todo i. Supongamos C U y tomemos dos puntos x, y de C. Entonces f(x) f(y) =f(x 1, x 2,..., x n ) f(y 1, x 2,..., x n ) + f(y 1, x 2,..., x n ) f(y 1, y 2, x 3,..., x n )... + f(y 1, y 2,..., y n 1, x n ) f(y 1,..., y n ). Evidentemente cada uno de los nuevos puntos que utilizamos en esta descomposición pertenecen a C, y en cada paso los dos puntos que aparecen sólo se diferencian en una de las coordenadas. Entonces, la existencia de derivadas parciales en cada punto de C, nos permite aplicar en cada uno de los pasos anteriores el teorema de valor medio para funciones de una variable, de lo que resulta que f(x) f(y) = f x j (y 1,..., y j 1, θ j, x j+1,..., x n )(x j y j ),

8 54 Derivadas Parciales 5.6 luego f(x) f(y) M n x j y j = M x y 1. j=1 Veamos ya que la desigualdad anterior se verifica en todo el abierto convexo U: Sean x, y dos puntos de U. Puesto que el segmento K = [x, y] es un compacto contenido en U, K dista una cantidad positiva de U c. Sea entonces 0 < λ < d (K, U c ). Es evidente que cualquiera que sea el punto z de K, el n-cubo cerrado, B [z, λ], está totalmente contenido en U. Sea u el vector unitario en la dirección del vector y x, es decir u = y consideremos los puntos de K, y x y x, x 0 = x, x 1 = x 0 + λu, x 2 = x λu,..., x p = y, donde p es el primer natural para el que x 0 +p λu y. Es claro entonces que cada dos puntos consecutivos de los anteriores se encuentran en un mismo n-cubo contenido en U (basta observar que ellos están a una distancia λ uno del otro). Aplicando la etapa anterior, se tiene entonces que n 1 f(x) f(y) f(x i ) f(x i+1 ) M i=0 n 1 x i x i+1 1 = M x y 1. i=0 Corolario 5.7 Sea U un conjunto abierto de R n y f : U R p una función que admite derivadas parciales en U localmente acotadas. Entonces f es localmente lipschitziana en U. Demostración. Para cada x de U, existe una bola centrada en x, B(x, r x ), tal que en ella todas las derivadas parciales están acotadas por el mismo número M x. Teniendo en cuenta que las bolas son conjuntos convexos, del teorema anterior se sigue que f(u) f(v) M x u v 1, u, v B(x, r x ). Corolario 5.8 Si todas las derivadas parciales de una función f : U R n R p son nulas en U y U es conexo, entonces f es constante.

9 5D Derivadas Parciales 55 Demostración. Puesto que todas las derivadas parciales están acotadas por 0, del corolario anterior se deduce que f es localmente constante. En particular f es continua en U. Resulta por tanto que, si a U, el conjunto A = {x U : f(x) = f(a)} es abierto y cerrado de U, luego A = U ya que U es conexo. Ejercicios 5A Estudiar continuidad y existencia de derivadas parciales para las funciones { ln(1 + (x y) 2 ) si x y > 1 1. f(x, y) = x y + ln 2 si x y 1 5B 2. f(x, y) = x 4 + sen 2 xy x 3 3. f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 4. f(x, y) = { sen x sen y x y cos x si x y si x = y (a) Probar que si es una norma cualquiera sobre R n, entonces la aplicación x x es una aplicación lipschitziana que no admite derivadas direccionales en 0. (b) Sea U = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1} \ {0} [0, 1], y consideremos la función f definida sobre U por { y 2 si x > 0 e y 0 f(x, y) = 0 en otro caso 5C Probar que U es un abierto conexo (no convexo) sobre el que f es continua, admite derivadas parciales acotadas, pero no es lipschitziana. (a) Probar que si f es una función lipschitziana sobre un abierto U de R n y admite derivadas parciales, respecto a cualquier índice, en todo punto de U, entonces sus derivadas parciales están acotadas en U. (b) Estudiar si la función f(x, y, z) = sen(x 2 y 2 + z 2 ) es lipschitziana o localmente lipschitziana en R 3. 5D (a) Probar que toda aplicación lipschitziana f : A E F, donde E y F son espacios de Banach, se extiende a una aplicación lipschitziana sobre A.

10 56 Derivadas Parciales 5D (b) Sean A, B dos conjuntos no vacíos de un espacio normado, con B A, y supongamos que cada uno de los conjuntos B, A \ B y A es convexo. Probar entonces que una aplicación f es lipschitziana sobre A si y sólo si es lipschitziana sobre B y sobre A \ B. (c) Estudiar si las aplicaciones f(x, y) = sen x y, g(x, y, z) = sen x 2 + y 2 z 2 son lipschizianas o localmente lipschitzianas. 5E Consideremos la función { x sen ln(x 2 + y 2 ) si (x, y) (0, 0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) Probar que f es una función continua en todo punto, que admite derivadas parciales acotadas en R 2 \ (0, 0) Es lipschitziana? 5F (a) Sea U un abierto conexo de R n y supongamos que f, g : U R p son dos funciones tales que, en cada punto x U, f i / x j (x) = g i / x j (x), cualesquiera que sean los índices i, j. Probar entonces que las funciones f y g se diferencian en una constante. (b) Determinar las funciones f : R 2 R que satisfacen las ecuaciones f f (x, y) = 1 ; x (x, y) = y, y (x, y). 5G Sea I un intervalo abierto de R, U un abierto de R n y f : (t, x) I U f(t, x) una función escalar. Demostrar que si f (t, x) = 0, t (t, x) I U entonces f no depende de t, es decir f(t 1, x) = f(t 2, x) cualesquiera que sean t 1, t 2, x.