Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 5 Resumen Unidad n 3

Transcripción

1 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 5 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se denota por R n ; así, R n := {(x 1,..., x n ) x i R, 1 i n}. Los elementos de R n también se suelen denominar vectores de orden n. Observación. (i) Geométricamente, un n-vector a = (a 1,..., a n ) es un segmento de recta dirigido que tiene por punto inicial el origen O = (0,..., 0) y punto final el punto a. En consecuencia, los elementos de R n pueden pensarse como puntos o vectores de acuerdo a lo que requiera el contexto. (ii) Dado un segmento de recta dirigido (o vector en el sentido clásico) con punto inicial P = (P 1,..., P n ) y punto final Q = (Q 1,..., Q n ), existe un n-vector u con las misma logitud y direccción que P Q: basta tomar u := P Q; en consecuencia, a todo vector arbitrario es posible siempre asociarle un vector equipolente 1 que tenga punto inicial en el origen O. (iii) En resumen, a cada n-vector es posible asociarle un segmento de recta dirigido y, recíprocamente, a cada segmento dirigido se le puede asociar uno con la misma longitud y dirección pero con punto inicial en e origen, es decir, un n-vector. Definición. Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) vectores en R n. Se dice que ellos son iguales si, y sólo si, u i = v i para cada 1 i n. Sobre el conjunto R n se definen las siguientes operaciones: (i) Suma Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) R n ; su suma se define de la siguiente forma: u + v := (u 1 + v 1,..., u n + v n ). (ii) Producto por escalar. Dados u = (u 1,..., u n ) R n y λ R un escalar, se define el producto escalar de u con λ como: λ u := (λu 1,..., λu n ). Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades: Teorema. Sean u, v, w R n y λ, µ R. Entonces: (i) u + v = v + u. (ii) u + (v + w) = (u + v) + w. 1 Sean P Q y RT segmentos dirigidos en R n. Se dice que ellos son equipolentes (o equivalentes) si Q P = T R. Geométricamente esto significa que ambos vectores tienen la misma longitud y dirección. 1

2 (iii) Existe un único vector O R n tal que O + u = u + O = u para todo u R n. (iv) Para cada vector u R n existe un único vector u R n tal que u+( u) = ( u)+u = O. (v) λ (u + v) = λ u + λ v. (vi) (λ + µ) u = λ u + µ u. (vii) λ (µ u) = (λµ) u y 1 u = u para todo u R n. Nota. En caso que se advierta lo contrario, dado λ y u un vector, λu denotará el producto escalar de λ con u. Definición. Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) vectores en R n. Se define el producto punto entre dichos vectores por: u v := u 1 v u n v n = n u i v i. La norma o longitud del vector u = (u 1,..., u n ) por su parte se define como: u := u u2 n. Finalmente, la distancia entre los puntos u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) se define como la longitud del vector v u: Observación. u = u u. i=1 d(u, v) := v u = (v 1 u 1 ) (v n u n ) 2 Teorema. (Propiedades del producto punto). Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) y w = (w 1,..., w n ) vectores en R n y λ un escalar. Entonces, 1. u u 0 y u u = 0 u = O. 2. u v = v u. 3. (u + v) w = u w + v w. 4. (λu) v = λ(u v) = u (λv). Prposición. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si u, v son vectores en R n. Entonces, u v u v. Demostración. Nótese inicialmente que si v = O o u = O, la desigualdad es inmediata. Supóngase entonces que v O y sea λ un escalar arbitrario. Entonces, 0 (u λv) (u λv) = u u λu v λv u + λ 2 v v. 2

3 Dado que esta última desigualdad vale para todo λ, será cierta si en particular tomamos λ = u v v 2. Reemplazando tenemos: De esta desigualdad se sigue que, es decir, y en consecuencia, 0 u 2 (u v)2 2 v 2 + = u 2 (u v)2 v 2, (u v) 2 v 2 u 2, (u v) u 2 v 2 ; u v u v. (u v)2 v 4 v 2 Usaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz para definir el ángulo entre dos vectores no nulos de R n : sean u, v vectores no nulos de R n ; la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que u v u v 1, es decir, 1 u v u v 1. Examinando la gráfica de y = cos(θ) en el intervalo 0 θ π, es posible verificar que para cualquier r [ 1, 1] existe un único θ tal que r = cos(θ). Por lo tanto, existe un único θ [0, π] tal que cos(θ) = u v u v, 0 θ π. Este valor θ se denomina en ángulo entre u y v. Definición. Dos vectores u y v en R n se dicen paralelos si existe λ 0 tal que u = λv, equivalentemente si u v = u v. Tienen la misma dirección si u v = u v. Se dice además que estos vectores son ortogonales si u v = 0. Proposición. (Desigualdad del triángulo) Sean u y v vectores en R n ; entonces, Demostración. En efecto, u + v u + v. u + v 2 = (u + v) (u + v) = u u + 2u v + v v u u v + v 2 = ( u + v ) 2 Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 3

4 Tomando raíz cuadrada a ambos de la desigualdad obtenida, se tiene que u + v u + v. Definición. Un vector u en R n se dice unitario si u = 1. Si v es un vector arbitrario en R n no nulo, el vector v := 1 v v es un vector unitario en la dirección de v. Proposición. Dado u R n y λ un escalar, se tiene: (i) λu = λ u. (ii) u = 0 si, y sólo si, u = O. (iii) Para u O, u = u û. Definición. Sean u, v R n. Se define la proyección ortogonal de u sobre v de la siguiente forma: (u v) Proy v (u) := v 2 v. Producto Vectorial Definición. Sean u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k vectores en R 3, donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son los vectores estándar (canónicos) de R 3. El producto vectorial de u con v es el vector u v definido por: u v := (u 2 v 3 u 3 v 2 )i (u 1 v 3 u 3 v 1 )j + (u 1 v 2 u 2 v 1 )k Proposición. (Propiedades del producto vectorial). Sean u, v y w vectores en R 3 y λ un escalar. Entonces, (i) u v = (v u), u u = 0. (ii) u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w. (iii) (λu) v = u (λv) = λ(u v). (iv) 0 u = u 0 = 0. (v) (u v) w = (w u)v (w v)u; u (v w) = (u w)v (u v)w. Ejemplo. De hecho se tiene en particular que i j = k, j k = i, k i = j. (Verificar!!!!!) Observación. (i) Dados u y v vectores en R 3, el vector u v es ortogonal tanto a u como a v; e.d., (u v) u = 0 y (u v) v = 0. (ii) Como consecuencia de (i), el vector u v será perpendicular al plano generado por los vectores u y v. Para determinar su dirección se hace uso de la regla de la mano derecha (véase [1], página 263). (iii) Sean u, v y w vectores en R 3 ; se puede mostrar que (u v) w = u (v w); (1) 4

5 más aún, tenemos que u 1 u 2 u 3 (u v) w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. El producto (u v) w se conoce como el producto triple (o mixto) de los vectores u, v y w. (iv) Se puede mostrar (por favor hacerlo!!!) que los vectores u y v son paralelos 2 si, y sólo si, u v = 0. Por otra parte tenemos: u v 2 = (u v) (u v) = u (v (u v)) por (1) = u ((v v)u (v u)v) = (v v)(u u) (v u)(u v) = u 2 v 2 (u v) 2. La igualdad u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 se conoce como la identidad de Lagrange. Ahora, recordemos que el ángulo entre los vectores u y v (estos últimos distintos de 0), se definió como aquel número real θ [0, π] tal que cos(θ) = u v u v ; de esta igualdad se sigue que u v = cos(θ) u v. Reemplazando en la identidad de Lagrange tenemos: En consecuencia, u v 2 = u 2 v 2 cos 2 (θ) u 2 v 2 = u 2 v 2 (1 cos 2 (θ)) = u 2 v 2 sin 2 (θ). u v = u v sin(θ); sin(θ) = sin(θ) dado que sin(θ) es positiva en el intervalo [0, π]. Área de un paralelogramo Consideremos el paralelogramo determinado por los puntos P 1, P 2, P 3 y P 4 en R 3. Sea u = P 1 P 2 = P 2 P 1, v = P 1 P 3 = P 3 P 1. Entoces, si A P de nota el área de este paralelogramo, A P = v h, pero sin(θ) = es el ángulo entre los vectores u y v. En consecuencia, h u donde θ A P = u v sin(θ) (2) = u v. (3) 2 Recordemos que dos vectores u y v en R n se dicen paralelos si existe un escalar λ 0 tal que u = λv. 5

6 Nótese en particular que el área del triángulo determinado por los puntos P 1, P 2 y P 3 será 1 2 A P. Observación. Si el paralelogramo o triángulo considerado estan sobre el plano xy, basta recordar que los vectores en el plano se pueden ver como vectores en el espacio cuya última entrada es 0. Área de un paralelepípedo Sean u, v y w tres vectores que no están en el mismo plano. Ellos entonces forman los lados de un paralelepípedo (véase la figura a continuación). Calculemos entonces su volumen: la base del paralelepípedo es el paralelogramo con lados u y v. Por lo visto líneas atrás, su área está dada por u v. Recordemos ahora que el vector u v es ortogonal tanto a u como a v, y por lo tanto es ortogonal al paralelogramo determinado por u y v. Nótese que la altura del paralelepípedo es la norma de la proyección del vector w sobre u v, es decir, h = w (u v) u v. Por lo tanto, el area del paralelepípedo es precisamente: V = u v w (u v) u v (4) = w (u v). (5) Bibliografía [1] Grossman, S., Álgebra Lineal, Quinta edición, Mc Graw Hill, [2] Lang, S., Linear algebra, Third Edition, Springer,