NÚMEROS COMPLEJOS: C

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1 NÚMEROS COMPLEJOS: C Alejandro Lugon 21 de mayo de 2010 Resumen Este es un pequeño estudio de los números complejos con el objetivo de poder usar las técnicas de solución de ecuaciones y sistemas diferenciales y en diferencias que usan el polinomio característico asociado. 1. Cómo aparecen los números complejos? Dada una ecuación de segundo grado: ax 2 + bx + c = 0 si el discriminante: = b 2 4ac es no negativo, sabemos que tiene dos raíces reales: r 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Si el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales. Esto nos lleva a pensar que podemos extender dicho conjunto para incorporar todas las soluciones posibles de una ecuación cuadrática. Si pensamos que existe un número (no real) tal que su cuadrado es igual a 1 podremos realizar la extensión. Llamemos i a dicho número imaginario, entonces sabemos que: i = 1 y que: i 2 = 1 1

2 2. El espacio C A partir de esta definición construimos el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS: C = {a + b i a, b R} para el cual definimos el concepto de igualdad: IGUALDAD: Dados dos números complejos u = a + bi y v = c + di decimos que son iguales, u = v, si: a = c y b = d y dos operaciones básicas: SUMA: Dados dos números complejos u = a + bi y v = c + di definimos su suma u + v: u + v = (a + c) + (b + d)i PRODUCTO: Dados dos números complejos u = a + bi y v = c + di definimos su producto u v = u v = uv: uv = (ac bd) + (ad + bc)i Notemos que las definiciones están basadas en la suma y producto de los números reales y son coherentes con estas operaciones: u + v = a + bi + c + di = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i 2

3 y u v = (a + bi)(c + di) = ac + adi + (bi)(c) + (bi)(di) = ac + adi + bci + (bd)(ii) = ac + adi + bci + (bd)( 1) = ac + adi + bci + (bd)( 1) = (ac bd) + (ad + bc)i Dado el número complejo z = a+bi, llamaremos parte real de z al valor a y escribimos: Re(z) = Re(a + bi) = a igualmente llamamos parte imaginaria de z al valor b y escribimos: Im(z) = Im(a + bi) = b Si un número complejo tiene parte real cero se dice que es imaginario puro, por otro lado si tiene parte imaginaria cero lo identificaremos con el número real correspondiente y hablaremos de un real puro. Dos números complejos son iguales si tienen partes reales iguales y partes imaginarias iguales. Las operaciones suma y producto cumplen las propiedades: Propiedades de la suma y producto de números complejos 1. Asociatividad: x, y, z C: (x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz) 2. Conmutatividad x, y C: x + y = y + x xy = yx 3

4 3. Distributividad x, y, z C: x(y + z) = xy + xz 4. Elemento Neutro 0 = 0 + 0i cumple: x C : x + 0 = x 1 = 1 + 0i cumple: x C : x 1 = x 5. Elementos Inversos x = a + bi C, x = a + ( b)i = a bi cumple: x + ( x) = 0 x = a + bi C, x 0, x 1 a = a 2 + b b 2 a 2 + b i cumple: 2 x(x 1 ) = 1 Todas estas propiedades se pueden demostrar a partir de las definiciones dadas y las propiedades de las operaciones en los números reales. La existencia de elementos inversos nos permiten definir las operaciones inversas; resta para la suma y división para el producto: RESTA: Dados dos números complejos u = a + bi y v = c + di definimos su resta o diferencia u v: u v = u + ( v) = (a c) + (b d)i DIVISIÓN: Dados dos números complejos u = a + bi y v = c + di 0 definimos su división o cociente u/v = u v : u v = uv 1 = Casos particulares interesantes de la división son: ac + bd bc ad + c 2 + d2 c 2 + d i 2 a + bi c a + bi i = a c + b c i = b ai 1 c + di = c c 2 + d d 2 c 2 + d i 2 1 i = i 4

5 3. Conjugación y Módulo Para trabajar en el espacio C las siguientes definiciones son muy útiles: CONJUGADO: Dado un número complejo z = a + bi definimos su conjugado como: z = a bi MÓDULO o NORMA: Dado un número complejo z = a + bi definimos su módulo (o norma) como: z = a 2 + b 2 Así podemos decir que todo número complejo tiene su conjugado, que dos complejos conjugados tienen la misma parte real y la parte imaginaria con el mismo valor absoluto pero signos diferentes. Notemos que un número complejo es igual a su conjugado si y solo si es real puro, es decir tiene parte imaginaria cero. Para todos u, z C, son válidas las propiedades: 1. u + z = u + z 2. uz = u z 3. Re(z) = z+z 2 4. Im(z) = z z 2 5. (z) = z 6. z = 0 z = 0 7. z = z = z 8. z = z z 9. zu = z u 10. z + u z + u 11. z u z + u 5

6 Todo lo establecido anteriormente nos permite pensar en el espacio de números complejos C como una extensión del espacio de los números reales R. Es por esto que podemos trabajar en C en muchos sentidos de manera similar a como se trabaja en el conjunto de números reales R y en muchos otros de manera muy diferente. Por ejemplo una característica de los reales que no se puede extender a los complejos es el concepto de orden: los números reales pueden ser ordenados pero los complejos no. El sentido de extender los números reales es el de poder tener un juego completo de raíces de polinomios. Al inicio vimos que podíamos tener polinomios de grado dos con coeficientes reales que no tenían raíces reales. Al extender nuestro espacio a los complejos es fácil ver que todo polinomio de grado dos tiene dos raíces complejas. Por ejemplo: x 2 + x + 1 = 0 no tiene raíces reales, sin embargo si aplicamos la formula usual para las raíces de polinomios de grado 2, obtendríamos: x 1,2 = 1 ± 1 2 4(1)(1) 2(1) = 1 ± 3 2 = ± 2 i dos raíces, pero ahora en el espacio de los números complejos. En la sección siguiente veremos un resultado muy importante y bastante más general al respecto. 4. El Teorema Fundamental del Álgebra Hemos visto que en el espacio de números complejos C podemos encontrar dos raíces 1 para cualquier polinomio de grado dos, ax 2 +bx+c, con coeficientes reales, a, b, c R. No es difícil extender este resultado para polinomios con coeficientes complejos, la misma fórmula, b± b 2 4ac, es válida. Lamentablemente para polinomios de mayor grado no 2a se dispone de fórmulas cerradas que nos permitan calcular las raíces. A pesar de esto sigue siendo válido que un polinomio de grado n, n i=0 a i x i, con coeficientes complejos, a i C para i = 1,..., n, tiene n raíces en el espacio C. A este resultado se le conoce como el Teorema Fundamental del Álgebra. Existen algunas formulaciones equivalentes del mismo, pero esta es la más usual y la que nos interesa. 1 Tomando en cuenta la multiplicidad 6

7 Sin dar la prueba damos el teorema formalmente: Teorema 1 (TFA) Dado un polinomio de grado n, p n (x) = n i=0 a i x i con coeficientes a i C para todo i = 1,..., n, existen n números complejos r i C, i = 1,..., n, no necesariamente todos diferentes, tales que: p n (x) = a n n i=1 (x r i ) = a n (x r 1 )(x r 2 )... (x r n ) Los r i son las raíces del polinomio, es fácil ver que p n (r i ) = a n (r i r 1 )(r i r 2 )... (r i r i )... (r i r n ) = 0 El número de veces que aparece una raíz en el desarrollo se llama multiplicidad. Una raíz simple tiene multiplicidad 1. Sean m 1, m 2..., m k las multiplicidades de las raíces de un polinomio de grado n, el teorema nos indica que es verdad: k m j = n j=1 Aunque el teorema es válido para polinomios con coeficientes complejos, nosotros solo trataremos con polinomios con coeficientes reales. El teorema nos dice que en este caso particular también se tienen n raíces en el espacio complejo. Un resultado interesante y útil es que si el polinomio tiene coeficientes reales entonces las raíces complejas se presentan en pares conjugados. Formalmente probaremos que si r C es tal que p n (r) = 0 entonces p n (r) = 0. Veamos primero que: p n (r) = = = = n a i r i i=0 n a i r i i=0 n a i r i i=0 n a i r i i=0 = p n (r) 7

8 Donde la primera igualdad es por definición del polinomio, y las siguientes usan las propiedades de la conjugación, incluyendo el hecho que el conjugado de un número real es el mismo número (a i = a i ). Lo que hemos establecido es que p n (r) = p n (r) de esta forma si r es tal que p n (r) = 0 entonces p n (r) = p n (r) = 0 = 0 Observando que: (x r)(x r) = (x (α + βi))(x (α βi)) = (x α βi)(x α + βi)) = (x α) 2 (βi) 2 = (x α) 2 + β 2 = x 2 2αx + (α 2 + β 2 ) podemos afirmar que todo polinomio de grado n se puede descomponer en un producto de polinomios de grado 1 y 2 con coeficientes reales 2 : p n (x) = a n m i=1 (x r i ) para cierto m tal que 0 m n y n m par. 2 (x 2 + b j x + c j ) En resumen, las raíces de un polinomio de grado n pueden ser reales o complejos conjugados, siendo la suma de las multiplicidades de las raíces igual a n. Así en particular un polinomio de grado 2 puede tener: dos raíces reales diferentes, una raíz real repetida (multiplicidad 2) o raíces complejas conjugadas. Un polinomio de grado 3 puede tener: tres raíces reales diferentes, dos raíces reales diferentes con multiplicidades 1 y 2, una raíz real con multiplicidad 3 o una raíz real y un par de raíces complejas conjugadas. 2 Si r > s: s i=r P i = 0 n m j=1 8

9 5. Representación de los números complejos Así como podemos representar al conjunto R como una recta, el espacio C de los números complejos se puede representar por un plano: De esta manera a cada punto (a, b) del plano le asociamos el número complejo a + bi y viceversa. Podemos pensar en el vector con punto inicial en el origen (0, 0) y punto final en (a, b), este vector se puede describir dando su módulo (longitud) R y argumento (angulo) θ: Usando geometría básica podemos calcular: R = a 2 + b 2 que corresponde al módulo. Para el ángulo θ [0, 2π[ sabemos que: cos(θ) = a R 9

10 y que sin(θ) = b R De estas ecuaciones obtenemos otra forma de escribir un número complejo no nulo: a + bi = ( ) a a 2 + b 2 a2 + b + b 2 a2 + b i 2 ( a = R R + i b ) R = R (cos(θ) + i sin(θ)) Observemos que al cero le corresponde módulo R = 0 pero el argumento es indeterminado. Es decir que tanto el par (a, b) como el par (R, θ) describen un número complejo particular. A la representación (R, θ) se le conoce como representación polar. 6. Potencias y exponencial de un número complejo En la solución de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias aparecen las potencias y exponenciales de las raíces de cierto polinomio característico. En el caso que estas raíces sean complejas se hace necesario trabajar con las potencias y exponenciales de números complejos. Para poder trabajar en este sentido empezaremos por dar una tercera forma de escribir un número complejo. Para esto necesitamos las expansiones en series de potencias de las funciones exponencial, seno y coseno: e x = cos(x) = sin(x) = x k k! = 1 + x + x2 2 + x ( 1) k x2k 2k! = 1 x2 2 + x4 4! x6 6! +... ( 1) k x2k+1 2k! + 1 = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... k=0 k=0 k=0 Aceptando estas identidades como ciertas, no solo para x R sino también para 10

11 x C, podemos usarlas para calcular la exponencial de ix: e ix = (ix) k k=0 k! = 1 + (ix) + (ix)2 2 + (ix)3 3! + (ix)4 4! + (ix)5 5! +... = 1 + ix + (x)2 2 + i(x)3 3! + (x)4 4! + i(x)5 5! +... = 1 + ix x2 2 ix3 3! + x4 4! + ix5 5! +... = 1 x2 2 + x4 4! x6 6! + + +i(x x3 3! + x5 5! x7 7! +... ) = cos(x) + i sin(x) Hemos obtenido, no muy formalmente, una identidad importante, llamada la Formula de Euler: e ix = cos(x) + i sin(x) Podemos escribir entonces : a + bi = R (cos(θ) + i sin(θ)) = Re iθ Con esto es fácil establecer: Para u = a + bi = R (cos(θ) + i sin(θ)) = Re iθ y v = c + di = S (cos(φ) + i sin(φ)) = Se iφ tenemos que: uv = Re iθ Se iφ = RSe i(θ+φ) = RS (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)) u v = Reiθ Se = R iφ S ei(θ φ) = R (cos(θ φ) + i sin(θ φ)) S Expresión a partir de la cual es fácil calcular la potencia de un número complejo, 11

12 expresándolo de la forma anterior: (a + bi) t = (R (cos(θ) + i sin(θ))) t = ( Re iθ) t = R t e iθt = R t (cos(θt) + i sin(θt)) y también calcular la exponencial: e a+bi = e a e bi = e a (cos(b) + i sin(b)) 7. Ejercicios 1. Dados los números complejos: x = a + bi 12