Capítulo 4. Integración

Transcripción

1 Capítulo 4. Integración En este capítulo vamos a estudiar cómo se puede hacer integración con funciones multivariables. Estudiaremos los siguientes temas: 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini. 4.. Teorema del cambio de variables Coordenadas polares, ciĺındricas y esféricas Cálculo de áreas y volúmenes. Capítulo 4. Integración 1 / 37

2 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini Para empezar, veamos cómo se puede calcular el volumen que hay bajo la gráfica de una función de dos variables. Más precisamente, sea f (x, y), sea R un rectángulo con lados paralelos a los ejes, R = {(x, y) [a, b] [c, d]}, y sea B = {(x, y, z) : (x, y) R, z [, f (x, y)]}. Cómo podemos calcular el volumen de B? Aproximándolo por uniones de paralelepípedos con base rectangular en R. Dividimos R en rectángulos similares cada vez más pequeños, para aproximar cada vez mejor el volumen. Para cualquier selección de puntos c jk R jk, j, k [, n 1], la suma S n = n 1 j,k= f (c jk) x y es una aproximación del volumen de B. Nótese que S n tiene sentido incluso si f <. La suma S n se llama suma de Riemann de f. Una pregunta natural es Cómo se comporta S n cuando n? Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini / 37

3 Integral de Riemann Definición (Integrabilidad de Riemann para funciones de variables) Sea R un rectángulo en R y sea f : R R una función acotada. Si la sucesión (S n ) converge a un ĺımite S cuando n, y este ĺımite es el mismo para cualquier selección de puntos c jk R jk, entonces decimos que f es integrable sobre R y escribimos S = R f (x, y) dx dy. Se puede abreviar la notación escribiendo R f da, o incluso R f. (Aquí da denota el elemento infinitesimal de área dx dy.) En la práctica querremos criterios simples para decidir si una función es integrable. El resultado siguiente nos da una condición suficiente que resulta ser muy útil. Teorema Cualquier función continua f (x, y) definida en un rectángulo cerrado es integrable. No obstante, a menudo querremos integrar sobre conjuntos más generales que rectángulos, e integrar incluso ciertas funciones discontinuas. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 3 / 37

4 Integral de Riemann Para tales integraciones más generales, nos ayudará el resultado siguiente. Teorema Sea R un rectángulo en R y sea f : R R una función acotada. Si el conjunto de puntos donde f es discontinua es una unión de un número finito de gráficas de funciones continuas, entonces f es integrable sobre R. Hemos definido la integral como ĺımite de sumas de Riemann. De esta definición podemos deducir varias propiedades de la integral: Linealidad: para f, g : R R y α, β R cualesquiera, tenemos R (αf + βg) da = α R f da + β R g da. Monotonía: ( (x, y), f (x, y) g(x, y) ) R f da R g da. Aditividad: si Q es una unión de rectángulos Q = i R i tales que o o i j, R i Rj =, entonces tenemos Q f da = i R i f da. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 4 / 37

5 4.1.. Teorema de Fubini Cómo podemos calcular tales integrales en casos concretos? Una herramienta muy útil para esto es el resultado siguiente, que nos permite evaluar una doble integral calculando dos integrales sucesivas. Teorema de Fubini (para funciones continuas sobre rectángulos) Sea R = [a, b] [c, d] un rectángulo en R y sea f : R R una función continua. Entonces R f (x, y) da = b d a c f (x, y) dy dx = d b c a f (x, y) dx dy. Este teorema se extiende muy naturalmente a funciones acotadas más generales. Teorema de Fubini (para ciertas funciones discontinuas) Sea R = [a, b] [c, d] un rectángulo en R y sea f : R R una función acotada tal que las discontinuidades de f forman una unión de un número finito de gráficas de funciones continuas. Entonces R f (x, y) da = b a d c f (x, y) dy dx = d c b a f (x, y) dx dy. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 5 / 37

6 Teorema de Fubini Ejemplo: calcular R (x + y) da para R = [, 1] [, 1]. Podemos hacerlo de dos formas distintas: por un lado, la integral es 1 x + y dx dy = 1 [ x xy]1 dy = [ ] y dy = y 3 + y Ahora calculemos la integral en el otro orden: 1 1 x + y dy dx = 1 [x y + y ]1 dx = [ 1 x + 1 dx = x x ] 1 = = 5 6. = = 5 6. Ejemplo: calcular el volumen del sólido acotado por los planos x =, x = 1, y =, y = 1, z = y la superficie z = x + y 4. Miremos primero la región en cuestión: Tenemos R x + y 4 da = 1 1 x + y 4 dx dy = 1 [ x y 4 x] 1 dy = y 4 dy = [ y 3 + y 5 5 ] 1 = = Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 6 / 37

7 Integrales sobre dominios más generales Vamos a ver cómo la definición de integrales vista anteriormente se puede extender para tomar integrales sobre regiones (dominios) más generales que rectángulos. Para esto, estudiaremos regiones delimitadas por gráficas de funciones continuas. Consideremos las funciones y = φ 1 (x), y = φ (x), con φ 1 φ, o lo mismo cambiando x, y, es decir x = ψ 1 (y), x = ψ (y), ψ 1 ψ. Llamaremos las regiones de tipo 1 y regiones elementales. Estas son las regiones sobre las cuales queremos integrar. Es importante observar que en las regiones elementales, el borde de la región definida D, a saber D, es una curva continua. Gracias a esto podremos aplicar los teoremas anteriores sobre integrales en un rectángulo, como lo vamos a explicar. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 7 / 37

8 Integrales sobre dominios más generales Sea f (x, y) una función continua definida sobre una región elemental D. { f (x, y), (x, y) D Sea R un rectángulo con R D. Sea f (x, y) =, (x, y) R \ D Los teoremas vistos implican que f es integrable. La propiedad de aditividad justifica entonces la definición siguiente: La integral D f da se puede definir por D f da = R f (x, y) da. Veamos ahora cómo hacer el cálculo de esta integral en concreto. Vamos a centrarnos en el caso de regiones de tipo 1. Esto nos dice que D f da = b a φ (x) φ 1 (x) f (x, y) dy dx. Para un x fijo en [a, b], la variable y se mueve entre φ 1 (x) y φ (x). Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 8 / 37

9 Integrales sobre dominios más generales De modo similar, si la región es de tipo, la integral será de la forma f (x, y) dx dy. b a ψ (x) ψ 1 (x) Ejemplo: Hallar D x 3 y + cos(x) da, donde D es el triángulo {(x, y) : x π/, y x}. Dibujemos primero la región: Para cada x fijado entre y π/, la variable y crece de a x. Tenemos D x 3 y + cos(x) da = π x = π [ x 5 + x cos(x) dx = x 3 y + cos(x) dy dx = π ] π x π [ x 3 y + y cos(x)] x dx π6 x cos(x) dx = π x cos(x) dx. Integrando por partes, esto es π [ x sin(x) + cos(x) ] π = π π 1. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 9 / 37

10 Integrales sobre dominios más generales Ejemplo: hallar el volumen V del tetraedro acotado por los cuatro planos y =, z =, x =, y x + z = 1. Región de integración El volumen V es la integral de la función z = f (x, y) = x y + 1 sobre D. Tenemos V = D (1 y + x) da = 1+x (1 y + x) dy dx = [ 1 1 y y + xy] 1+x dx = (1+x) 1 dx = [ (1+x) ] 3 6 = 1/6. 1 Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 1 / 37

11 Integrales sobre dominios más generales Con las nociones vistas, ya podemos calcular volúmenes de regiones acotadas por funciones de tipo z = f (x, y). Enunciamos a continuación un resultado sobre integrales dobles, que generaliza el teorema del valor medio para funciones de una variable. Teorema del valor medio (para integrales dobles) Sea D una región elemental en R, sea A(D) el área de D, y sea f : D R una función continua. Entonces existe un punto (x, y ) D tal que se tiene D f (x, y) da = f (x, y ) A(D). A continuación, vamos a generalizar a integrales triples todo lo que hemos visto acerca de integrales dobles. El método será similar y se basará en una generalización natural de las sumas de Riemann ya vistas. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 11 / 37

12 Integrales sobre dominios más generales Sea f una función real de variables x, y, z, definida sobre una región B = [a, a 1 ] [b, b 1 ] [c, c 1 ]. En este caso, las sumas de Riemann son de la forma siguiente: S n = n 1 i= n 1 j= n 1 f (c ijk ) v. Una tal suma se obtiene dividiendo cada lado de B en n intervalos iguales. Sean B ijk, i, j, k [, n 1] los n 3 paralelepípedos resultantes que dividen B, todos de volumen v. Elegimos un punto c ijk en cada B ijk. Del mismo modo que para una integral doble, tenemos lo siguiente. Si S n converge cuando n y el ĺımite no depende de la elección de los puntos c ijk, decimos que f es integrable sobre B. k= En este caso, el ĺımite cuando n se denota como sigue: lim S n = f dv = f (x, y, z) dx dy dz. n B Del mismo modo que para la doble integral, tenemos un resultado que nos permite integrar funciones continuas y ciertas funciones discontinuas. B Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 1 / 37

13 Integrales sobre dominios más generales Teorema (Condición suficiente para la integrabilidad) Sea B un paralelepípedo rectangular en R 3, y sea f : B R una función acotada cuyas discontinuidades están contenidas en una unión finita de gráficas de funciones continuas (como x = a(y, z), y = b(x, z), z = c(x, y)). Entonces f es integrable sobre B. El teorema de Fubini se extiende a estas triple integrales, de modo que podemos permutar el orden de las integraciones en B f (x, y, z) dx dy dz. Ejemplo: sea B = [, 1] [ 1, ] [, 1 3 ]. Evaluar B (x + y + 3z) dx dy dz. 1 1 Esta integral es igual a 1 3 (x + y + 3z) dx dy dz = 1 3 [ (x+y+3z) 3 ] dy dz = ( (1 + y + 3z) 3 (y + 3z) 3) dy dz 1 = 1 [ (1+y+3z) 4 (y+3z) 4] ( dz = 1 4 (3z+1) 4 (3z) 4 +(3z 1) 4) dz = [ (3z + 1) 5 (3z) 5 + (3z 1) 5] 1 3 = (5 ) = 1/1. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 13 / 37

14 Integrales sobre dominios más generales Ejemplo: integrar e x+y+z sobre B = [, 1] [, 1] [, 1]. Tenemos ex+y+z dx dy dz = 1 1 [ e x+y+z ] 1 dy dz = 1 1 ( e 1+y+z e y+z) dy dz = 1 [ e 1+y+z e y+z] 1 dz = 1 ( e +z e 1+z + e z) dz = [ e +z e 1+z + e z] 1 = e 3 e + e e + e 1 = e 3 3e + 3e 1 = (e 1) 3. Nótese que (e 1) 3 = ( 1 ex dx ) 3. Por lo tanto tenemos ( e x+y+z 1 3. dx dy dz = e dx) x Esto ejemplifica el teorema de Fubini para integrales triples. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 14 / 37

15 Integrales sobre dominios más generales Como hicimos con integrales dobles, vamos a ver ahora como calcular integrales triples en regiones más generales que los paralelepípedos rectangulares [a, a 1 ] [b, b 1 ] [c, c 1 ]. Más precisamente, vamos a definir lo que llamaremos regiones elementales en R 3. Estas son regiones que se obtienen restringiendo sucesivamente cada una de las tres variables. Definición (Regiones de tipo 1 en R 3 ) Decimos que W R 3 es una región de tipo 1 si existen a, b R, funciones continuas φ 1, φ : R R, una región D R de tipo 1, y funciones continuas γ 1, γ : D R con γ 1 (x, y) γ (x, y), tales que tengamos W = {(x, y, z) : x [a, b], y [φ 1 (x), φ (x)], z [γ 1 (x, y), γ (x, y)]}. Ejemplo: consideremos la bola x + y + z 1. Podemos definirla como la región {(x, y, z) : 1 x 1, 1 x y 1 x, 1 x y z 1 x y }. Aquí la región D es el disco {(x, y) : x +y 1}. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 15 / 37

16 Integrales sobre dominios más generales Diremos que W es de tipo 1 también si en la previa definición se intercambian y, x y si la región D es de tipo. Es decir, que en general W es de tipo 1 si se obtiene acotando z entre funciones continuas de x, y. Del mismo modo que para integrales dobles, si W es una región elemental del tipo visto anteriormente, se tiene b φ (x) γ (x,y) f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz dy dx. W a φ 1 (x) γ 1 (x,y) En particular, si ponemos f = 1 en todo W, entonces esta integral es el volumen de W. Llamaremos regiones de tipo las que se obtienen de forma similar pero acotando x entre dos funciones continuas de y, z, y regiones de tipo 3 las que se obtienen de forma similar pero acotando y entre dos funciones continuas de x, z. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 16 / 37

17 Integrales sobre dominios más generales Ejemplo: Calcular el volumen de la bola x + y + z 1. Se trata de calcular W 1 dx dy dz con W la región vista anteriormente, es decir 1 1 x 1 1 x y 1 dz dy dx. Esto es 1 x 1 x y x [ ] 1 1 x z y dy dx = 1 x 1 x y 1 1 x 1 x 1 x y dy dx. Para calcular la primitiva de 1 x y, nótese que para todo a R tenemos a a (a y ) 1 dy = a π, pues esta integral es el área del semidisco de radio a centrado en (, ). Sustituyendo a = 1 x, obtenemos que la integral W 1 dx dy dz es igual a 1 (1 x )π 1 dx = π x dx = π[x x3 3 ]1 1 = 4π 3. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 17 / 37

18 Integrales sobre dominios más generales Ejemplo: sea W la región acotada por los planos x =, y =, z = y la superficie z = x + y, y contenida en el primer octante (x, y, z ). Calcular W x dx dy dz, y dibujar la región W. Representemos primero la región. Cómo describimos la región W? Tenemos W = {(x, y, z) : x, y x, x + y z }. Tenemos pues W x dx dy dz = x x +y ( x y ) dy dx = = x x = x 3 ( x ) 3 dx = 3 x dz dy dx x [ ( x )y y 3 3 [ 1 5 ( x ) 5/] = 7/ 15. ] x dx Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 18 / 37

19 Integrales sobre dominios más generales Ejemplo: Calcular 1 integración. x x +y Representemos primero la región. Tenemos W 1 dv = 1 x x +y dz dy dx = 1 = 1 [y x y y 3 3 ]x dx = 1 = [ x x4 4 x4 1] 1 = /3. dz dy dx, y representar la región de x ( x x 3 x3 3 La región es W = {(x, y, z) : x 1, y x, x + y z }. ( x y ) dy dx ) dx Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 19 / 37

20 Integrales sobre dominios más generales Ejemplo: Representar f : [, 1] R, (x, y) { 1 (x + y), x + y 1, en otro caso. Determinar el conjunto de discontinuidades de f, justificar la existencia de la integral, y calcularla. La función es continua. Por lo tanto es integrable. Tenemos D (1 x y) dy dx = 1 1 x (1 x y) dy dx = 1 = 1 (1 x) ((1 x) x(1 x) ) dx = 1 (1 x) dx = [ (1 x) 3 6 ] 1 x [ y xy y dx ] 1 = 1/6. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini / 37

21 Integrales sobre dominios más generales Ejemplo: sea f : [, 1] R, (x, y) { x + y, x + y 1, en otro caso. Como en el ejemplo anterior, representar f, justificar la existencia de la integral sobre la región en R en cuestión, y calcularla. El conjunto de discontinuidades es x + y = 1, x 1, que es una curva continua. Por lo tanto f es integrable. La integral es 1 1 x (x + y ) dy dx = 1 [ x y + y ] 3 1 x 3 dx = 1 x 1 x + (1 x ) 3 3 dx = 1 = 1 1 x dx 1 3 (1 x ) 3 dx. 1 x + (x 1) 1 x + (1 x ) 3 3 dx Calculemos cada integral por separado. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 1 / 37

22 Integrales sobre dominios más generales Para la primera integral 1 1 x dx usamos el cambio de variables x = sin(θ). La integral es pues π cos(θ) dθ = π 1 4 (eiθ + e iθ ) dθ = [ θ + sin(θ) 1 π 1 + cos(θ) dθ = 1 La segunda integral era 3 x = sin(θ). Tenemos pues 3 ] π = π 4. 1 (1 x ) 3 dx. Hacemos el cambio 1 (1 x ) 3 dx = 3 π cos(θ)4 dθ. Usando la fórmula cos(θ) = eiθ +e iθ, deducimos que cos(θ) 4 = 1 16 (ei4θ + 4e iθ e iθ + e 4iθ cos(4θ)+8 cos(θ)+6 ) = 16. Integrando esto obtenemos 1 1 π = π 8. (cos(4θ) + 4 cos(θ) + 3) dθ = 1 1 [ sin(4θ) 4 + sin(θ) + 3θ ] π Tenemos pues que la integral original es igual a π/4 π/8 = π/8. Capítulo 4. Integración 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini / 37

23 4.. La fórmula del cambio de variables Hasta ahora hemos podido calcular integrales tomadas sobre regiones elementales. A continuación veremos como se puede calcular integrales más generales, usando cambios de variables. Para describir esto, sea D un abierto en R, sea una función T : D R diferenciable, y escribamos D = T (D ). Se dice que T es biyectiva si (x, y) D,! (u, v) D tal que T (u, v) = (x, y). Nuestro objetivo es, dada una integral, aplicar una transformación T de este tipo para transformar la región de integración en una más simple. Dicho de otro modo, dadas dos regiones elementales D, D en R tales que T (D ) = D para una función diferenciable T, y dada f : D R, queremos expresar D f (x, y) da como una integral de f T sobre D. Capítulo 4. Integración 4.. Cambio de variables 3 / 37

24 4.. La fórmula del cambio de variables Un hecho que hay que tomar en cuenta es que la transformación T transforma también los elementos infinitesimales da que aparecen en la integral original. Para ver esto, recordamos que, de la definición de diferenciabilidad se deduce que la función T se aproxima localmente en cada punto x D por la transformación lineal definida por la matriz jacobiana DT x = ( T1 u T u T 1 v T v ). Si aplicamos esta transformación lineal a un cuadrado en R, el volumen de la imagen es el volumen original multiplicado por det(dt ). Por lo tanto el volumen del elemento infinitesimal da en x cambia por un factor det(dt )(x ). T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) el determinante jacobiano (x,y) (u,v) := det(dt (u, v)) es la función que nos permite tomar en cuenta cómo cambia el elemento de área. Capítulo 4. Integración 4.. Cambio de variables 4 / 37

25 4.. La fórmula del cambio de variables Definición (Determinante jacobiano) Sea T : D R R, (u, v) (x, y) una transformación de clase C 1 dada por x = x(u, v), y = y(u, v). El jacobiano de T, denotado por x x (x,y) (x,y) (u,v), es el determinante de DT, a saber (u,v) = u v. (Cuidado: no confundir el jacobiano con la matriz jacobiana). Con esto ya podemos enunciar el resultado principal acerca de cambios de variables. Teorema (Cambio de variables para una doble integral) Sean D, D dos regiones elementales en R, y sea T : D D una aplicación biyectiva de clase C 1. Entonces, para cualquier función integrable f : D R, tenemos f (x, y) dx dy = f ( x(u, v), y(u, v) ) (x, y) du dv, D D (u, v) donde (x,y) es el valor absoluto del determinante jacobiano (x,y) (u,v) y u y v (u,v). Capítulo 4. Integración 4.. Cambio de variables 5 / 37

26 4.. La fórmula del cambio de variables Para integrales triples podemos también querer hacer un cambio de variables. La teoría es similar a la de integrales dobles, pero ahora hay que tomar en cuenta cómo cambia el elemento infinitesimal de volumen dv bajo el cambio. Como en el caso de integrales dobles, este cambio de dv se toma en cuenta con un determinante jacobiano, que aquí será un determinante de una matriz 3 3. Obtenemos el teorema siguiente. Teorema (Cambio de variables para una integral triple) Sean D, D dos regiones elementales en R 3, y sea T : D D una aplicación biyectiva de clase C 1. Entonces, para cualquier función integrable f : D R, tenemos que D f (x, y, z) dx dy dz es igual a f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ) (x, y, z) du dv dw, D (u, v, w) donde (x,y,z) (u,v,w) (x,y,z) es el determinante jacobiano (u,v,w) = det x u y u z u x v y v z v x w y w z w. Capítulo 4. Integración 4.. Cambio de variables 6 / 37

27 4.3. Coordenadas polares, ciĺındricas, y esféricas Vamos a estudiar algunos de los cambios de variables más habituales. { x = r cos(θ) 1) Cambio a coordenadas polares: dado por el sistema. y = r sin(θ) El jacobiano es (x,y) (r,θ) = cos(θ) r sin(θ) sin(θ) r cos(θ) = r. Veamos una aplicación concreta (e importante): calcular el área bajo la campana de Gauss, a saber e x dx. Observemos primero que, usando el teorema de Fubini, se ve que esta integral es la raiz cuadrada de la doble integral e x y dx dy. Cambiando a coordenadas polares, y usando el teorema de cambio de variables, obtenemos que esta integral es π e r r dθ dr = π Por lo tanto, el área en cuestión es π. r e r dr = π [ ] e r = π. Capítulo 4. Integración 4.3. Coordenadas polares, ciĺındricas, y esféricas 7 / 37

28 4.3. Coordenadas polares, ciĺındricas, y esféricas Ejemplo: evaluar D log(x + y ) dx dy, donde D = {(x, y) R : x, y, a x + y b }, con < a < b. Esta segunda región es de un tipo que sabemos tratar facilmente. Tenemos D log(x + y ) dy dx = b a = π b a r log(r) dr. π log(r ) r dθ dr = π Usando integración por partes, vemos que esta integral es π ([ r log(r)] b a b r a dr) = π [ r log(r) r 4 = π ( b b log(b) 4 a log(a) + a 4 ). ] b a b a r log(r ) dr Capítulo 4. Integración 4.3. Coordenadas polares, ciĺındricas, y esféricas 8 / 37

29 4.3. Coordenadas polares, ciĺındricas, y esféricas x = r cos(θ) ) Cambio a coordenadas ciĺındricas: dado por el sistema y = r sin(θ) z = z El jacobiano esta vez es el determinante de una matriz 3 3: x x x cos(θ) r sin(θ) (x,y,z) (r,θ,z) = r y r z r θ y θ z θ z y z z z = r(cos(θ) + sin(θ) ) = r. = sin(θ) r cos(θ) 1. Capítulo 4. Integración 4.3. Coordenadas polares, ciĺındricas, y esféricas 9 / 37

30 4.3. Coordenadas polares, ciĺındricas, y esféricas x = r cos(θ) sin(φ) 3) Cambio a coordenadas esféricas: dado por y = r sin(θ) sin(φ). z = r cos(φ) De nuevo el jacobiano (x,y,z) (r,θ,φ) es el determinante de una matriz 3 3: x x x r θ φ cos(θ) sin(φ) r sin(θ) sin(φ) r cos(θ) cos(φ) y y y = sin(θ) sin(φ) r cos(θ) sin(φ) r sin(θ) cos(φ) r z r θ z θ φ z φ cos(φ) r sin(φ) = r sin(φ) 3 cos(θ) r sin(θ) sin(φ)(sin(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) ) r cos(θ) cos(φ) sin(φ) = r sin(φ) cos(θ) r sin(φ) sin(θ). = r sin(φ). Capítulo 4. Integración 4.3. Coordenadas polares, ciĺındricas, y esféricas 3 / 37

31 4.4. Áreas y volúmenes En esta sección aplicaremos las nociones vistas anteriormente para calcular varios volúmenes y áreas. 1) Áreas: distinguiremos entre áreas en R y áreas en R 3. En el caso de R, se trata de calcular doble integrales de tipo D 1 dx dy. Podremos evaluar estas integrales usando técnicas que ya hemos visto en este capítulo. En el caso R 3, se trata de calcular áreas de superficies en el espacio. Para ello, tomaremos una parametrización φ : D R R 3 de la superficie S que queremos estudiar. Entonces, el área de la superficie es igual a la integral siguiente: A(S) = T u T v du dv. D Aquí, como vimos anteriormente, T u, T v son los vectores tangentes a la superficie en el punto correspondiente a los parámetros u, v. La norma T u T v es por tanto el área del paralelogramo definido por T u, T v. Integrando esta área para (u, v) D se obtiene esta fórmula para A(S). Capítulo 4. Integración 4.4. Áreas y volumenes 31 / 37

32 4.4. Cálculo de áreas y volúmenes Ejemplo: consideremos la región D = {(r, θ) : θ π, r 1}, sea φ : D R R 3, (r, θ) (r cos(θ), r sin(θ), r), y sea S la superficie correspondiente (es un cono). Hallar el área de S. Tenemos T r = (cos(θ), sin(θ), 1), T θ = ( r sin(θ), r cos(θ), ). Tenemos pues e 1 e e 3 T r T θ = cos(θ) sin(θ) 1 r sin(θ) r cos(θ) = ( r cos(θ), r sin(θ), r ). Por lo tanto T r T θ = r. Deducimos que A(S) = D T r T θ dr dθ = 1 = 3 π [ r / ] 1 = π. π r dθ dr = 3 π 1 r dr Capítulo 4. Integración 4.4. Áreas y volumenes 3 / 37

33 4.4. Cálculo de áreas y volúmenes Ejemplo: consideremos de nuevo la región D = {(r, θ) [, 1] [, π]}. Esta vez sea S la superficie dada por la parametrización φ : R R 3, (r, θ) (r cos(θ), r sin(θ), θ). Superficies de este tipo se llaman helicoides. Calculamos los vectores tangentes: T r = (cos(θ), sin(θ), ), T θ = ( r sin(θ), r cos(θ), 1). Luego e 1 e e 3 T r T θ = cos(θ) sin(θ) r sin(θ) r cos(θ) 1 = (sin(θ), cos(θ), r). Tenemos pues T r T θ = 1 + r. Por lo tanto, 1 π 1 A(S) = T r T θ dr dθ = 1 + r dθ dr = π 1 + r dr. D Para calcular esta integral vamos a usar integración por partes. Capítulo 4. Integración 4.4. Áreas y volumenes 33 / 37

34 4.4. Cálculo de áreas y volúmenes Si ponemos u(r) = 1 + r, tenemos u = r 1+r. Poniendo v = r, tenemos entonces r dr = 1 u v dr. La fórmula de integración por partes nos dice que esto es igual a [ ] 1 uv 1 u v dr = [ r 1 + r ] 1 1 La integral I = 1 es decir r dr = 1+r 1 1+r dr r 1 + r dr satisface pues I = I + 1 I = dr. 1 + r Ahora esto lo podemos evaluar usando el hecho que 1 1+r de la función inversa del seno hiperbólico de r, es decir de arcsinh(r) = log(r + r + 1). Concluimos que 1 1+r dr. 1 1+r dr, es la derivada A(S) = π I = π + π [ arcsinh(r) ] 1 = π + π log(1 + ). Capítulo 4. Integración 4.4. Áreas y volumenes 34 / 37

35 4.4. Cálculo de áreas y volúmenes Vamos a ver ahora que en varios casos se puede establecer una fórmula general que permite calcular todas las integrales concretas en estos casos. 1) Superficie parametrizada de la forma (x, y, z) = ( u, v, f (u, v) ). Tenemos T u = (1,, f u ), T v = (, 1, f e 1 e e 3 f Por lo tanto T u T v = 1 u f 1 v En este caso tenemos pues la fórmula A(S) = D 1 + v ). = ( f u, f v, 1). ( f ) ( f ) + du dv. u v Capítulo 4. Integración 4.4. Áreas y volumenes 35 / 37

36 4.4. Cálculo de áreas y volúmenes ) Superficie de revolución (alrededor del eje de x), dada por (x, y, z) = ( u, f (u) cos(v), f (u) sin(v) ), f, u [a, a 1 ], v [, π]. Tenemos T u = ( 1, f (u) cos(v), f (u) sin(v) ), T v = (, f (u) sin(v), f (u) cos(v) ). Por lo tanto T u T v es e 1 e e 3 1 f (u) cos(v) f (u) sin(v) = ( f (u)f (u), f (u) cos(v), f (u) sin(v) ). f (u) sin(v) f (u) cos(v) Tenemos pues T u T v = f (u) f (u) + 1, de donde sigue la fórmula A(S) = π a1 a a1 f (u) f (u) + 1 du dv = π f (u) f (u) + 1 du. a Capítulo 4. Integración 4.4. Áreas y volumenes 36 / 37

37 4.4. Cálculo de áreas y volúmenes Ejemplo: hallar el área A 1 del cono de revolución definido por la recta y = x, para x [, 1], y también el área A del casquete de cono para x [1, ]. Tenemos A 1 = π 1 u du = π [ u ]1 = π, A = π 1 u du = π [ u = 3π. En cuanto a volúmenes, calcularemos el volumen de regiones limitadas por gráficas de superficies, o de intersecciones de estas. ] 1 Capítulo 4. Integración 4.4. Áreas y volumenes 37 / 37