Integración múltiple

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1 Integración múltiple IABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna Índice 1. Introducción 1 2. Integrales múltiples 1 3. Caso particular: la integral triple 2 4. Algunos ejemplos 4 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

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3 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 1/6 1. Introducción Ya indicamos con anterioridad que la teoría desarrollada para integrales dobles es susceptible de ser generalizada a dimensiones superiores. Puesto que el proceso y los resultados que se obtienen son completamente análogos a los ya estudiados en el caso bidimensional, nos limitaremos a resumir los puntos principales. 2. Integrales múltiples upongamos que f es un campo escalar definido y acotado en un conjunto R p (p N, p 3). La integral de f sobre, llamada integral p-múltiple o, simplemente, integral múltiple si no hay ambigüedad sobre p, se denota por f, ó f (x 1,...x p ) dx 1 dx p, o bien f (x) dx, donde x = (x 1,...,x p ) (x i R; i N, 1 i p). i a = (a 1,...,a p ) R p y b = (b 1,...,b p ) R p, llamamos intervalo cerrado (respectivamente, abierto) p-dimensional al conjunto [a,b] = p i=1 [a i,b i ] (respectivamente, ]a,b[= p i=1 ]a i,b i [). El proceso de definición de la integral comienza con funciones escalonadas definidas en un intervalo cerrado p-dimensional [a, b]. i P i es una partición de [a i,b i ] (i N, 1 i p), el producto cartesiano P = p i=1 P i será una partición de [a,b]. Una función f definida en [a,b] se dice escalonada si toma un valor constante c k en cada uno de los subintervalos abiertos Q k determinados por una cierta partición P de [a,b]. La integral p-múltiple de una tal f viene dada por la fórmula [a,b] f = c k Q k ; k aquí, Q k denota el volumen de Q k (producto de las longitudes de sus lados), y la suma se extiende al conjunto de estos subintervalos. Una vez definida la integral múltiple de funciones escalonadas es posible definirla para funciones f más generales cuyo dominio sean intervalos. i existe un único número real I tal que s I [a,b] t [a,b] cualesquiera sean las funciones escalonadas s, t que satisfacen s f t en [a,b], entonces se dice que f es integrable en [a,b] y que I es la integral p-múltiple de f en [a,b]: I = f. [a,b] CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

4 2/6 I. MARRERO Al igual que ocurría en el caso bidimensional, la integral existe si f es continua en [a,b], o si f es acotada en [a,b] y su conjunto de discontinuidades D tiene contenido p-dimensional nulo, esto es, si para cada ε >, existe una colección finita de intervalos p-dimensionales (abiertos o cerrados) que recubre D, tal que la suma de sus volúmenes no excede ε. Para definir la integral p-múltiple de una función acotada f sobre un conjunto acotado más general, consideramos una extensión f de f a un rectángulo cerrado R que contenga a y que sea nula fuera de, y definimos f = f. R Existen muchas fórmulas de integración iterada para las integrales p-múltiples. Por ejemplo, si Q es un intervalo k-dimensional y R un intervalo l-dimensional, entonces una integral (l + k)-múltiple sobre Q R es la iteración de una integral k-múltiple y otra l-múltiple: (l+k) f = Q R (k) Q [ ] (l) f dx 1 dx l dx l+1 dx l+k, R siempre que las integrales involucradas existan. eñalaremos, finalmente, que también es posible extender el concepto de medibilidad Jordan al caso p- dimensional y desarrollar una teoría de la integración en este contexto. El concepto de volumen puede ser generalizado a conjuntos p-medibles Jordan de tal manera que si es medible, su volumen V () es igual a la integral, extendida a, de la función constantemente igual a 1: V () = dx 1 dx p. 3. Caso particular: la integral triple Cuando p = 3 escribimos (x,y,z) en vez de (x 1,x 2,x 3 ) y denotamos la integral triple de f sobre por f ó f (x,y,z) dx dy dz. Algunas de estas integrales pueden calcularse mediante integrales iteradas de dimensión inferior. Por ejemplo, supongamos que = { (x,y,z) R 3 : (x,y) Q, ϕ 1 (x,y) z ϕ 2 (x,y) }, OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

5 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 3/6 z z=φ (x,y) 2 z=φ (x,y) 1 y x Q Figura 1. ólido OXY -proyectable. donde Q es la región plana obtenida proyectando sobre el plano OXY, y ϕ 1, ϕ 2 son funciones continuas en Q. Los conjuntos de este tipo, que llamaremos OXY -proyectables, están limitados por las dos superficies z = ϕ 1 (x,y) y z = ϕ 2 (x,y) ((x,y) Q) y posiblemente una porción de superficie cilíndrica cuya generatriz es una recta que se desplaza a lo largo de la frontera de Q, manteniéndose paralela al eje OZ (Figura 1). Cuando f es continua en el interior de vale la fórmula [ ϕ2 ] (x,y) f (x,y,z) dx dy dz = f (x,y,z) dz dx dy, Q ϕ 1 (x,y) que se acostumbra a escribir ϕ2 (x,y) f (x,y,z) dx dy dz = dx dy f (x,y,z) dz, Q ϕ 1 (x,y) y que reduce el cálculo a una integral doble sobre la proyección Q. Concretamente, si Q = { (x,y) R 2 : a x b, g(x) y h(x) }, donde g, h son funciones continuas (recinto de tipo I), entonces b h(x) ϕ2 (x,y) f (x,y,z) dx dy dz = dx dy f (x,y,z) dz. a g(x) ϕ 1 (x,y) CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

6 4/6 I. MARRERO En particular, el volumen de viene dado por la expresión, ya obtenida, b h(x) V () = dx dy dz = [ϕ 2 (x,y) ϕ 1 (x,y)] dx dy = dx [ϕ 2 (x,y) ϕ 1 (x,y)] dy, Q a g(x) según la cual V () se calcula integrando sobre la proyección Q la «tapa» de menos su «fondo». Fórmulas análogas a las anteriores valen para sólidos OXZ-proyectables y OY Z-proyectables, en las que los ejes OY y OX desempeñan el papel del eje OZ y la proyección Q se sitúa en los planos OXZ y OY Z, respectivamente. La mayoría de los sólidos tridimensionales que consideraremos en lo sucesivo son proyectables en, al menos, uno de los tres planos coordenados, o bien pueden descomponerse en un número finito de sólidos de alguno de estos tres tipos. 4. Algunos ejemplos Ejemplo 4.1. Calcular y dx dy dz, donde es el sólido limitado por el paraboloide hiperbólico z = xy, el cilindro y = 2x y los planos x+y = 4, y =, z =. REOLUCIÓN. La proyección de sobre el plano OXY es el recinto D del primer cuadrante limitado por y = 2x, x + y = 4 e y =. La «tapa» y el «fondo» de son las superficies z = xy y z =, respectivamente (Figura 2). Figura 2. ólido del Ejemplo 4.1. El único punto de intersección de las curvas y = 2x, x + y = 4 en el primer cuadrante es (2,2). Conside- OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

7 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 5/6 Figura 3. ólido del Ejemplo 4.2. rando D como una región de tipo II, podemos escribir: y dx dy dz = = 1 2 D 2 xy 2 y dx dy dz = xy 2 dx dy = D ) y 2 ( 16 8y + y 2 y4 4 4 y y 2 dy x dx y 2 /2 [ 8y 3 dy = 3 y4 + y5 1 y7 56 ] 2 = El ejemplo queda resuelto. Ejemplo 4.2. Calcular z dx dy dz, siendo el dominio determinado por las condiciones: x, y, z, z 1 y 2, x + y 1. REOLUCIÓN. Nótese que es la región del primer octante cuya proyección en el plano OXY es el triángulo de vértices (,), (1,) y (,1), y cuya «tapa» está sobre el cilindro parabólico z = 1 y 2 (Figura 3). Por tanto, = = 1 2 = 1 2 z dx dy dz = x dx dx 1 x 1 y 2 dy z dz = (1 2y 2 + y 4 ) dy = 1 2 (1 x)2 (1 x)4 [ (1 x)6 3 1 x dx (1 y 2 ) 2 dy 1 ] 1 [(1 x) = (1 x)3 3 + ] (1 x)5 dx 5 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 211/12

8 6/6 I. MARRERO es el valor pedido. OCW-ULL 211/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL