Lección 4. Integrales múltiples. 4. Superficies parametrizadas.
|
|
- Alejandro Carrasco Soto
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples 4 Superficies parametrizadas Representación paramétrica de una superficie La primera idea intuitiva que se tiene de la noción de curva es la de ser una deformación de un intervalo De ahí la definición dada: es la imagen en el espacio de una determinada aplicación continua definida en un intervalo de números reales Las coordenadas de los puntos de la curva vienen dadas por las componentes de dicha aplicación, cada una de las cuales es una función de un sólo parámetro De manera análoga, la primera idea intuitiva de la noción de superficie es la de ser una deformación de una determinada región del plano Siguiendo el mismo esquema, diremos entonces que una superficie es la imagen en el espacio de una aplicación continua definida en una región del plano Las coordenadas de los puntos de la superficie vienen dadas por las componentes de dicha aplicación, cada una de las cuales es una función de dos parámetros DEFINICIÓN Una superficie parametrizada en es la imagen de una función continua S definida en una región D que toma valores en, esto es, S uv D Suv uv yuv zuv :(, ) (, ) = (, ), (, ), (, ) Las variables independientes de la función S se llaman parámetros de la superficie y la propia función S recibe el nombre de parametrización de la superficie La imagen por S de la frontera de la región D se llama borde o contorno de la superficie Si S es inyectiva, lo que significa que no hay puntos dobles, entonces se dice que la superficie es simple Como en el caso de las curvas, la palabra superficie se utilizará, por abuso del lenguaje, para nombrar tanto al conjunto de puntos SD como a la propia parametrización S El conteto siempre aclara si se refiere a una cosa o a otra También como en el caso de las curvas, una misma superficie puede ser representada por distintas parametrizaciones GRÁFICAS DE FUNCIONES En secciones anteriores hemos considerado superficies definidas por una ecuación eplícita de la forma z = f(, y), donde f es una función escalar continua definida en una región plana D En ese caso, los parámetros de la superficie son e y y la parametrización viene dada por S:(, y) D S(, y) = (, y, f(, y) ) Entre las superficies que son gráficas de funciones destacamos los planos de la forma a + by + cz = d, siempre que c 0, el paraboloide z = + y, el paraboloide hiperbólico z = y, una de las hojas del hiperboloide
2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples de dos hojas z y = + + y el hemisferio = También podemos citar en este bloque de superficies a una de las hojas del cono z y z = + y SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Consideremos una curva C contenida en el plano = 0 Si hacemos girar esta curva alrededor del eje OZ obtenemos una superficie conocida como superficie de revolución Vamos a obtener una parametrización de dicha superficie Para ello partimos de una parametrización de la curva C dada por la función Ct () = ( 0, yt (), zt ()) con t I Fijado un punto Ct () de dicha curva, si lo giramos alrededor del eje OZ un ángulo θ [0, π ], obtenemos el punto St (, θ): = yt ()cos θ, yt ()sen θ, zt () De esta forma obtenemos la parametrización de la superficie de revolución S t I S t y t y t z t :(, θ) [0, π] (, θ) = ()cos θ, ()sen θ, () Muchos de los ejemplos de superficies que han aparecido a lo largo del curso son ejemplos de superficies de revolución Citemos por ejemplo la esfera centrada en el origen, el paraboloide de ecuación z = + y, una de las hojas del hiperboloide de dos hojas, de ecuación z = + + y Además de estos tres ejemplos aparecen otros de bastante importancia que detallamos a continuación EJEMPLO Si consideramos la semicircunferencia en el plano y = 0, centrada en el origen y de radio π π r > 0, parametrizada mediante Cu = (0, rcos ur, sen u), donde u,, obtenemos la siguiente parametrización de la esfera π π S u θ π S u θ = r u θ r u θ r u :(, ), [0, ] (, ) ( cos cos, cos sen, sen ) Es interesante observar que con esta parametrización se obtienen dos puntos que no son simples Concretamente el polo sur y el polo norte de la esfera son puntos múltiples Esta situación se presenta siempre que tengamos una superficie de revolución obtenida a partir de una curva en el plano y = 0 que corte al eje OZ EJEMPLO Consideremos el cilindro de ecuación + y = r, con z En este caso hacemos girar el segmento contenido en el plano = 0, con y = r y z [, ] Obtenemos la parametrización S:( z, θ) [,] [0, π] S( z, θ) = ( rcos θ, rsen θ, z) EJEMPLO Consideremos el cono de ecuación + y = z En este caso hacemos girar la recta de z = y, ecuación parametrizada por Ct () = (0,,) tt Obtenemos la parametrización = 0, S t S t = t t t :(, θ) [0, π] (, θ) ( cos θ, sen θ, ) EJEMPLO El toro de revolución es la superficie que se obtiene al girar una determinada circunferencia, contenida en un plano que contiene al eje OZ, alrededor del eje OZ Concretamente, si fijamos dos números 0 < b< a y consideremos la circunferencia en el plano = 0 centrada en el punto
3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples ( a,0,0) y de radio b, entonces llamaremos toro a la superficie que se obtiene al girar dicha circunferencia alrededor del eje OZ Teniendo en cuenta que una parametrización de la circunferencia es Cu = (0, a+ bcos ub, sen u), cuando el parámetro u [ 0, π ], obtenemos que una parametrización del toro es S u θ π π S u θ a b u θ a b u θ b u : (, ) [0, ] [0, ] (, ) = ( + cos )cos,( + cos )sen, sen OBSERVACIÓN De forma análoga a como se ha realizado aquí se pueden obtener superficies de revolución con otros ejes de giro En concreto, consideremos una curva C contenida en un plano que contiene al eje sobre el que se gira Si hacemos girar C sobre este eje, se obtiene una superficie de revolución Se deja como ejercicio para el alumno, puesto que también son importantes, obtener las ecuaciones de las superficies de revolución con ejes de giro los ejes OX y OY Plano tangente y vector normal a una superficie parametrizada Si sólo nos conformamos con eigir que la parametrización S sea continua, entonces la superficie S puede degenerar en un punto o en una curva Evitaremos estos casos eigiendo que la parametrización S cumpla ciertas condiciones que, esencialmente, significan que, en cada uno de sus puntos, la superficie admite un plano tangente Consideremos una superficie S que está parametrizada por una función S uv D Suv uv yuv zuv :(, ) (, ) = (, ), (, ), (, ) Sea ( ut (), vt ()), con t en un intervalo I, una curva regular contenida en D Entonces C: t I Ct (): = Sut ( (), vt ()) = ut ( (), vt ()), yut ( (), vt ()), zut ( (), vt ()) es una curva contenida en S que se llama curva parametrizada sobre la superficie En particular, se pueden considerar sobre S las curvas que se obtienen al hacer u constante y v= t, o bien v constante y u = t Estas curvas se llaman líneas coordenadas sobre la superficie La red de líneas coordenadas sobre la superficie corresponde a la red de líneas rectas paralelas a los ejes en el plano de A = ( u, v ) = u( t ), v( t ) de la curva en la región D y sea los parámetros Consideremos un punto P= C( t ) Si la función S es diferenciable, entonces, por la regla de la cadena, tenemos ( C ( t0) = u( u( t0), v( t0)) u ( t0) + v( u( t0), v( t0)) v ( t0), yu( ut ( 0)) u ( t0) + yv( ut ( 0)) v ( t0), zu( ut ( 0)) u ( t0) + zv( ut ( 0)) v ( t0) = S ( A) u ( t ) + S ( A) v ( t ) u 0 v 0 Si convenimos que un vector es tangente a la superficie en P si es el vector tangente en dicho punto a una curva sobre la superficie, entonces la igualdad anterior prueba que el conjunto de todos los vectores tangentes a una superficie en P está generado por los siguientes dos vectores { Su A = ( u A yu A zu A ) Sv A = ( v A yv A zv A )},,,,,, siempre que estos sean linealmente independientes Estos vectores Su ( A ) y Sv ( A ) son tangentes a las líneas coordenadas Stv (, 0) y Su ( 0, t ) OBSERVACIÓN La idea intuitiva que tenemos de lo que es una superficie eige que en cada punto de la misma eista un plano de vectores tangentes En consecuencia, tenemos que imponer que, en )
4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples cada punto, los vectores Su ( A ) y Sv ( A ) sean linealmente independientes, lo que ocurre si, y sólo si, su producto vectorial Su( A) Sv( A) es distinto de cero, o equivalentemente Su( A) Sv( A) 0 En este caso, este producto vectorial es un vector perpendicular a toda curva regular contenida en la superficie que pasa por el punto correspondiente Decimos en este caso que el punto P= S( A) es un punto regular de la superficie y se define el plano tangente a la superficie S en el punto P con el plano que pasa por P con vector normal Su( A) Sv( A) El producto vectorial Su( A) Sv( A) se llama producto vectorial fundamental de la superficie S EJEMPLO Si la superficie es la gráfica de una función z = f(, y), definida en el conjunto D, hemos visto que se pueden considerar las variables e y como parámetros y obtener así la para- S:(, y) D S(, y) =, y, f(, y) En este caso, metrización S (, y) = (,0, f (, y)) y S (, y) = (,0, f (, y)) por lo que el vector normal viene dado por S(, y) Sy(, y) ( f(, y), fy(, y),) = y, por tanto, el producto vectorial fundamental nunca es cero y todos los puntos son regulares Por tanto, el plano, y, f(, y ) tiene la forma tangente a S en el punto f (, y )( ) f (, y )( y y ) + ( z f(, y )) = 0, y es decir, z = f( 0, y0) + f( 0, y0)( 0) + fy( 0, y0)( y y0), fórmula que ya hemos obtenido EJEMPLO Para una superficie de revolución parametrizada por Stθ = ( yt θ yt θ zt) donde ( t, θ ) I [0, π ] se obtiene, que y y (, ) ()cos, ()sen, (), = ( ) y S t = ( y t y t ) S (, t θ) y ()cos t θ, y ()sen t θ, z () t t De esta forma su producto vectorial fundamental es θ (, θ) ()sen θ, ()cos θ,0 ( ) S Sθ ( t, θ) = ytzt cos θ, ytzt sen θ, ytyt t En particular, obtenemos que St t θ Sθ t θ y t ( y t z t ) (, ) (, ) = () () + () De esta forma, el punto Stθ (, ) es regular si, y sólo si, yt () 0(esto es, la curva C que genera la superficie de revolución no toca al eje de revolución) y el punto (0, yt, zt ) es un punto regular de la curva C En particular, si todos los puntos de la curva C tienen primera coordenada positiva y son puntos regulares entonces todos los puntos de la superficie obtenida son regulares Esto es lo que sucede, por ejemplo, con el toro de revolución En este caso el producto vectorial fundamental es u S ( u, θ) S ( u, θ) = ( a+ bcos u) bcosucos θ, ( a+ bcos u) bcosusen θ, bsen u( a+ bcos u) θ y, por tanto, obtenemos que φ(, θ) θ(, θ) ( cos ) 0 S u S u = b a+ b u puesto que a > b> 0 Por tanto, si se verifica que yt ( 0) 0, el plano tangente en el punto St ( 0, θ 0) = ( 0, y0, z0) es z ( t )cos θ ( ) z ( t )sen θ ( y y ) + y ( t )( z z ) = Por ejemplo, si consideramos el toro parametrizado por 4
5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples Su (, θ) = ( + cos u)cos θ,( + cos u)sen θ,sen u, donde (u, θ ) [0, π] [0, π] En el punto S π, π = (0,,) π π este caso, zu = senuy z = cos = 0 el plano tangente es z = ya que, en EJERCICIO En los siguientes casos, describe las superficies mediante una ecuación si es posible y determina el producto vectorial fundamental: () El plano Suv (, ) = ( a+ bu + cva, + bu + cva, + bu + cv ) () El paraboloide Suv (, ) = ( aucos vbu, sen vu, ) () La superficie de revolución Suv (, ) = ( ucos vu, sen vzu, ), siendo zu una función real (4) El cilindro elíptico Suv (, ) = ( ua, sen vb, cos v) (5) El elipsoide Suv (, ) = ( asen ucos vb, sen usen vc, cos u) (6) El cono Suv (, ) = ( avcos ubv, sen uv, ) (7) El paraboloide hiperbólico Suv (, ) = ( uvu,, v) EJERCICIO Determina la ecuación del plano tangente y de la recta normal a cada una de las siguientes superficies en el punto que se indica () La copa parabólica z = + y, en el punto (,,5) () La semiesfera unidad z = y, en el punto,, () La hoja triangular + y+ z =,, y, z 0 en,, 4 4 (4) El cono Suv (, ) = ( vcos uv, sen uv, ) en el punto (, 0,) (5) El paraboloide hiperbólico Suv (, ) = ( uvu,, v) en el punto (,, 0) (6) La superficie Suv (, ) = ( u vu, + vuv, ) en el punto P = (,, ) 5
Superficies paramétricas
SESIÓN 7 7.1 Introducción En este curso ya se han estudiando superficies S que corresponden a gráficos de funciones de dos variables con dos tipos de representaciones: Representación explícita de S, cuando
Más detallesSuperficies. Conceptos generales
Repaso Superficies. Conceptos generales Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso 2005 2006 REPASO: Superficies. Conceptos generales 1. Conceptos generales Definición
Más detallesIntegral de superficie.
Tema 4 Integral de superficie. 4.1 uperficies. Definición 4.1 ean IR 2 un conjunto conexo y κ: IR 3 una función continua. La imagen = κ se llama superficie descrita por κ. También se dice que κ es una
Más detallesLección 4. Ecuaciones diferenciales. 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Traectorias ortogonales. Muchas aplicaciones problemas de la ciencia, la ingeniería la economía se formulan en términos
Más detallesApuntes de dibujo de curvas
Apuntes de dibujo de curvas El objetivo de estas notas es dar unas nociones básicas sobre dibujo de curvas definidas por medio de ecuaciones cartesianas explícitas o paramétricas y polares: 1. Curvas en
Más detallesVolumen de Sólidos de Revolución
60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución 6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido
Más detalles1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos.
1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma del cuadrado de las distancias a los puntos P 1 = (, 0) y P = (, 0)
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado
Más detallesEn este curso nos centraremos en un nuevo concepto de curva la cual estará descrita por una o mas ecuaciones denominadas ecuaciones paramétricas.
Unidad I - Curvas en R ecuaciones paramétricas.. Ecuaciones paramétricas En cursos anteriores se ha considerado a una curva como una sucesión de pares ordenados ubicados en un plano rectangular provenientes
Más detalles1. Sistema de coordenadas polares.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Sistema de coordenadas polares. En esta sección estudiaremos las coordenadas polares y su relación con las coordenadas cartesianas. Un punto del plano tiene
Más detallesSecciones cónicas. Tema 02: Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros. Secciones Cónicas. Aplicaciones de las cónicas
Secciones cónicas Tema 02: Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros Juan Ignacio Del Valle Gamboa Sede de Guanacaste Universidad de Costa Rica Ciclo I - 2014 Las secciones cónicas toman su
Más detallesSUPERFICIES CUÁDRICAS
SUPERFICIES CUÁDRICAS Un cuarto tipo de superficie en el espacio tridimensional son las cuádricas. Una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado de la forma Ax + By + Cz + Dx +
Más detallesTeoría Tema 9 Ecuaciones del plano
página 1/11 Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano Índice de contenido Determinación lineal de un plano. Ecuación vectorial y paramétrica...2 Ecuación general o implícita del plano...6 Ecuación segmentaria
Más detallesSobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa
Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión
Más detallesVELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.
VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t)
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesa) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que
Más detallesSe puede considerar una superficie, como una lámina infinitamente delgada, que recubre un cuerpo, separa dos medios o dos regiones del espacio.
SUPERFICIES SUPERFICIES Se puede considerar una superficie, como una lámina infinitamente delgada, que recubre un cuerpo, separa dos medios o dos regiones del espacio. Una Superficie puede estar engendrada
Más detallesTeoría Tema 6 Ecuaciones de la recta
página 1/14 Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta Índice de contenido Base canónica en dos dimensiones como sistema referencial...2 Ecuación vectorial de la recta...4 Ecuación paramétrica de la recta...6
Más detalles13. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R 3
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA 13. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R 3 I. Generalidades sobre Geometría analítica en R 3 - II. Ecuaciones
Más detalles7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 49 7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas Cónicas Círcunferencias, elipses, parábolas, e hipérbolas son llamadas secciones cónicas
Más detallesCurvas en paramétricas y polares
Capítulo 10 Curvas en paramétricas y polares Introducción Después del estudio detallado de funciones reales de variable real expresadas en forma explícita y con coordenadas cartesianas, que se ha hecho
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA
LA CIRCUNFERENCIA CONTENIDO. Ecuación común de la circunferencia Ejemplos. Ecuación general de la circunferencia. Análisis de la ecuación. Ejercicios Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia aplicaciones
Más detallesACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto
Más detallesIntegración sobre superficies
Problemas propuestos con solución Integración sobre superficies IABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Parametrizaciones 1 2. Área de una superficie
Más detallesPráctica 5 Cálculo integral y sus aplicaciones
Práctica 5 Cálculo integral y sus aplicaciones 5.1.- Integración con Mathematica o Integrales indefinidas e integrales definidas Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones: Integrate[expresión
Más detallesy cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesUso no comercial 12.4 CUERPOS REDONDOS
1.4 CUERPOS REDONDOS Designamos en general como cuerpos redondos el conjunto de puntos del espacio obtenido cuando una figura gira alrededor de una recta, de tal forma que cada punto de la figura conserva,
Más detallesDecimos que la superficie esférica es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto fijo llamado centro.
8 LAS SUPERFICES COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Como hemos dicho en la página del presente capítulo, los planos, la superficie esférica, los cilindros los conos pueden tratarse con relativa facilidad en el espacio
Más detallesUnidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas
Unidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas 2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta. La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3
Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los
Más detallesDerivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva
Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente
Más detallesTema 7: Geometría Analítica. Rectas.
Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos
Más detallesCONCEPTOS PRELIMINARES
CONCEPTOS PRELIMINARES Matemáticas II En R un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos. Tanto el concepto de conjunto abierto como de intervalo abierto se generaliza en el plano y en el espacio.
Más detallesEJERCICIO. Dadas las rectas y
EJERCICIO Dadas las rectas x4 y1 z y z 8 r : y s: x1 1 3 se pide: a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) Determina la ecuación de la perpendicular común. c) Calcula la distancia entre ambas. Perpendicular
Más detallesParametrización de superficies en R 3
Parametrización de superficies en R 3 Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL 11 de abril de 2011 parametrización de una superficie (parametrización de una superficie) parametrización de una superficie (parametrización
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesFunciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de innovación didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Puntos y vectores en En R 3, conviene distinguir
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detallesELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos
Más detallesProyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones
Proyecciones La proyección de un punto A sobre una recta r es el punto B donde la recta perpendicular a r que pasa por A corta a la recta r. Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento
Más detallesTEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA
TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera
Más detallesÁlgebra Lineal Ma1010
Álgebra Lineal Ma1010 Líneas y s en el Espacio Departamento de Matemáticas ITESM Líneas y s en el Espacio Álgebra Lineal - p. 1/34 Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen
Más detallesALGEBRA Y GEOMETRÍA I DPTO. DE MATEMÁTICA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA F.C.E.I.A U.N.R
ALGEBRA Y GEOMETRÍA I DPTO. DE MATEMÁTICA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA F.C.E.I.A U.N.R SUPERFICIES ING. RICARDO F. SAGRISTÁ -2006- SUPERFICIES.- 1.- Ecuaciones de superficies. Ya hemos estudiado la superficie
Más detallesGeometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo,
Geometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo, 2007. 42 Índice. 1. Superficies. 2. El espacio eucĺıdeo tridimensional. Coordenadas Cartesianas. 3. Distancia entre
Más detallesEjercicios Resueltos de Cálculo III.
Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como
Más detallesINTEGRALES TRIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(x, y, z) dzdydx, dibujar la región de integración y escribir
INTEGALES TIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(,, ) ddd, dibujar la región de integración escribir Teniendo en cuenta la gráfica adjunta, si D 1, D 2 D 3 son las proecciones
Más detalles1.1 El caso particular de las curvas planas.
Chapter 1 Complementos de teoría de curvas 1.1 El caso particular de las curvas planas. Una curva en el espacio cuya torsión se anula está contenida en algún plano. Supongamos que ese plano es el z = 0,
Más detalles1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)
Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas
Más detallesMagnitudes y Unidades. Cálculo Vectorial.
Magnitudes y Unidades. Cálculo Vectorial. 1. Se tiene las expresiones siguientes, x es posición en el eje X, en m, v la velocidad en m/s y t el tiempo transcurrido, en s. Cuáles son las dimensiones y unidades
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesPRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad
PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA A Introducción teórica A Módulo y argumento de un vector A Producto escalar A3 Punto medio de un segmento A4 Ecuaciones de la
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS
GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS 1.- GENERALIDADES Se define lugar geométrico como el conjunto de puntos que verifican una propiedad conocida. Las cónicas que estudiaremos a continuación se definen como lugares
Más detallesProblemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos
. Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
Más detallesConceptos geométricos II
Conceptos geométricos II Ángulo Ángulos Consecutivos Ángulos Alternos y Ángulos Correspondientes Polígono Polígono Regular Polígono Irregular Triángulo Cuadrilátero Superficie Círculo Superficie reglada
Más detallesVerifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.
Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..
Más detallesTEMA 9 CUERPOS GEOMÉTRICOS
Tel: 98 9 6 91 Fax: 98 1 89 96 TEMA 9 CUERPOS GEOMÉTRICOS Objetivos / Criterios de evaluación O.1.1 Conocer las fórmulas de áreas y volúmenes de figuras geométricas sencillas de D. O.1. Resolver problemas
Más detallesLímites de funciones de varias variables.
Límites continuidad de funciones de varias variables Límites de funciones de varias variables. En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables algunas de las técnicas
Más detallesUNPSJB - Facultad Ciencias Naturales - Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 2014 CONICAS
Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 014 CONICAS La superficie que se muestra en la figura se llama doble cono circular recto, o simplemente cono. Es la superficie tridimensional generada por una recta
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de
Más detallesCoordenadas polares en el plano. Coordenadas ciĺındricas y esféricas en el espacio. Coordenadas... Coordenadas... Coordenadas...
En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utilize para representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de afín o de vectorial de R n, utilizando
Más detalles1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El
Más detallesProyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias
Más detallesI.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1
PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número
Más detallesSESIÓN 10 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
SESIÓN 0 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS I. CONTENIDOS:. Derivadas de funciones trigonométricas directas. Ejercicios resueltos. Estrategias Centradas en el Aprendizaje: Ejercicios propuestos
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesSESIÓN 6 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA, REGLA GENERAL PARA DERIVACIÓN, REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS.
SESIÓN 6 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA, REGLA GENERAL PARA DERIVACIÓN, REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS. I. CONTENIDOS: 1. Interpretación geométrica de la derivada 2. Regla general
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se denota por : A B A
Más detallesESTÁTICA 3 3 VECTORES
ESTÁTICA Sesión 3 3 VECTORES 3.1. Componentes en dos dimensiones 3.1.1. Operación con vectores por sus componentes 3.1.2. Vectores de posición por sus componentes 3.2. Componentes en tres dimensiones 3.2.1.
Más detallesIntroducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica I Contenido 1 Introducción 2 La Circunferencia 3 Parábola 4 Elipse 5 Hiperbola Objetivos Se persigue que el estudiante:
Más detallesSuperficies Curvas. Guía de clase elaborada por Ing. Guillermo Verger
Superficies Curvas Guía de clase elaborada por Ing. Guillermo Verger www.ingverger.com.ar Superficie cilíndrica Es aquella generada por una recta llamada generatriz que se mueve en el espacio manteniendose
Más detalles2.2 Rectas en el plano
2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto
Más detallesVeamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:
T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,
Más detallesTEMA 6 Ejercicios / 3
TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores
Más detallessea paralela al plano
x = 1+2t 1. [ANDA] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por
Más detallesParcial I Cálculo Vectorial
Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es
Más detalles( ), está dada por: g ( x) = log 2 ( x),x > 0. # % 3x log 2 ( 5), x 1 & + -, . log 2. log 2 ( x 3
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 05 S SEGUNDA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS PARA INGENIERÍAS Y EDUCACIÓN
Más detallesCAPÍTULO I TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Preliminares Fórmula del coseno Fórmula del seno Otras fórmulas Polaridad Triángulos esféricos CAPÍTULO I TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Índice del capítulo Problemas propuestos Bibliografía 1 1. Trigonometría
Más detallesPuntos y rectas en el triángulo
Puntos y rectas en el triángulo En los triángulos hay un conjunto de rectas y puntos importantes. Las rectas son las bisectrices, las mediatrices, las alturas, las medianas y las bisectrices exteriores.
Más detallesRESUMEN DE VARIOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
RESUMEN DE VARIOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA 1.- Figuras Congruentes y Semejantes. Teorema de Thales. Escalas. - Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo
Más detallesDibujo Técnico Curvas cónicas-parábola
22. CURVAS CÓNICAS-PARÁBOLAS 22.1. Características generales. Las curvas cónicas son las secciones planas de un cono de revolución. El cono de revolución es la superficie que genera una recta r al girar
Más detallesTEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media
Más detalles2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 Vector tangente y gráficas en coordenadas polares De la misma forma que la ecuación cartesiana y = yx ( ) define una curva en el plano, aquella formada por los
Más detallesUNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante
Más detallesVECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector
VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema
Más detallesSuperficies cuádricas
Superficies cuádricas Jana Rodriguez Hertz GAL2 IMERL 9 de noviembre de 2010 definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación: definición superficie
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx
Más detallesGEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio
Más detallesAcademia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,
Más detallesTeoría Tema 2 Concepto de función
página 1/7 Teoría Tema Concepto de función Índice de contenido Función, dominio e imagen... Función inyectiva...4 Función sobreyectiva...6 Función biyectiva...7 página /7 Función, dominio e imagen Una
Más detallesTEMA 3: CÁLCULO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
TEMA : CÁLCULO DE FUNCIONES DE AIAS AIABLES. Hallar f,. f, f,. 4 4. Hallar el valor de la función f, en los puntos de la circunferencia.. Calcular los guientes límites: cos lim,, sen lim,, c, lim con,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2011 específico1 [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide
Más detallesUnidad 3: Razones trigonométricas.
Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define
Más detallesUnidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma
Más detalles