TEMA 6 Ejercicios / 3

Transcripción

1 TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores directores i 1, 0, 0 y j 0, 1, 0 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z t 1, 0, 0 s 0, 1, 0 ECUACIONES PARAMÉTRICAS: x t y s z 0 ECUACIÓN GENERAL: x y z z 0 Ecuaciones del plano XZ: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores directores i 1, 0, 0 y k 0, 0, 1 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z t 1, 0, 0 s 0, 0, 1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS: x t y 0 z s ECUACIÓN GENERAL: x y z y 0 Ecuaciones del plano YZ: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores directores j 0, 1, 0 y k 0, 0, 1 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z t 0, 1, 0 s 0, 0, 1 ECUACIONES PARAMÉTRICAS: x 0 y t z s

2 TEMA 6 Ejercicios / 2 ECUACIÓN GENERAL: x y z x 0 2. Ecuación general del plano de determinación lineal A 1, 0, 1, v 2, 1, 0, w 0,, 2 x 1 y z x 4 4y 6z 0. Ecuación segmentaria del plano que corta a los ejes X, Y, Z en los puntos A 2, 0, 0, B 0, 4, 0, C 0, 0, 7 x 2 y 4 z Son coplanarios los puntos A 1, 2,, B 4, 7, 8, C, 5, 5, D 1, 2, y E 2, 2, 2 Consideramos los vectores AB, 5, 5, AC 2,, 2, AD 2, 4, 6 y AE 1, 0, 1 y estudiamos el rango de la matriz, cuyas filas son estos vectores Para que sean coplanarios el rango de esta matriz tiene que ser 2. 5 Existen menores 2x2 distintos de cero ( 1). Si orlamos este menor 2x2 con la fila tercera y la columna tercera el menor obtenido vale cero( 2 2 0), pero si orlamos con la cuarta fila y tercera columna el menor obtenido es distinto de cero

3 TEMA 6 Ejercicios / 5 5 ( Por tanto rang 4) Los puntos no son coplanarios. 5. Ecuación del plano que contiene a la recta x 2 y 1 z 1 1 y a el punto A 2, 1, 2 El plano pedido estará determinado por el punto A 2, 1, 2 y los vectores u 2, 1, 1 (vector director de la recta) y v 2, 4, 1 (vector que va desde el punto P 0,, 1 de la recta hasta el punto A 2, 1, 2 ). Por tanto si llamamos al plano pedido, se tiene que A 2, 1, 2, u 2, 1, 1, v 2, 4, 1 La ecuación general será: det AX, u, v 0 x 2 y 1 z x 4y 10z Ecuación del plano determinado por la recta r A, 2, 1, u, 2, 1 y el punto O 0, 0, 0 De forma análoga al ejercicio anterior tendremos que la determinación lineal del plano pedido es O 0, 0, 0, u, 2, 1, v, 2, 1 Se puede comprobar que los vectores u y v son iguales (o proporcionales), lo cual significa que el punto O 0, 0, 0 pertenece a la recta y por tanto existen infinitos planos que pasen

4 TEMA 6 Ejercicios / 4 por la recta dada (Todos los del haz de planos de recta r). 7. Calcula las coordenadas del punto D a, b, c para que los puntos A 1, 0, 1, B 1, 1, 0, C 0, 1, 1 y D a, b, c sean coplanarios. Para que los puntos A, B, C y D sean coplanarios, debe ser el rang AB, AC, AD Si calculamos la matriz: AB, AC, AD La condición necesaria y a 1 b c 1 suficiente para que el rango de esta matriz sea 2, es que el determinante sea cero a 1 b c 1 c 2 b a 0 La condición necesaria y suficiente para que los puntos sean coplanarios es que c 2 b a Por tanto cualquier punto de la forma D a, b,2 a b, será solución Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A 2,, 4 y B 8, 2,. Estudia si el punto C 2, 1, está alineado con A y B. La recta que pasa por A y B es: r A 2,, 4, AB 6, 5, 1. La ecuación continua de esta recta es: x 2 y Para ver si el punto C está alineado con A yconb, basta con ver si pertenece a la recta determinada por A y por B. Se pude comprobar que C no pertenece a la recta determinada por A y por B, ya que no verifica su ecuación: Luego C no está alineado con A yconb. 9. Halla la ecuación del plano que pasa por la recta r x 2t, y t, z 1 t; t R y por el punto A 2, 1, 2. En esta ocasión nos ofrecen las ecuaciones paramétricas de la recta. Pero si escribimos la determinación lineal de r, comprobaremos que se trata de la recta del ejercicio 5 y del

5 TEMA 6 Ejercicios / 5 mismo punto A. La determinación de la recta r es: r P 0,, 1, u 2, 1, 1, por tanto el plano que contiene a r y al punto A es x 4y 10z 22 0 (Ejercicio 5). 10. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y por la recta de ecuación z 1. 1 x y 2 2 La determinación lineal de dicho plano será: O 0, 0, 0, u, 2, 1, v, 2, 1 Se puede ver que los vectores u y v son linealmente dependientes, es decir el punto O (el origen) pertenece a la recta (se puede comprobar que verifica su ecuación), por tanto existen infinitos planos que pasen por la recta dada. 11. Halla la ecuación del plano que corta a los ejes coordenados en puntos situados a distancia a del origen. Averigua el valor de a para que el plano sea x y z 7 0 La ecuación segmentaria del plano que corta a los ejes coordenados en puntos situados a distancia a del origen (plano que corta a los ejes en los puntos A a,0,0, B 0, a,0 y C 0, 0, a ), será: x a a y a z 1 También la podemos escribir, eliminando los denominadores: x y z a x y z a 0 Evidentemente si a 7 el plano que corta a los ejes a distancia a del origen será el plano x y z Un plano tiene como vectores de dirección u 1, 0, 1 y v 0, 1, 1. Halla un vector normal a dicho plano. Un vector perpendicular a dicho plano será u v i j k i j k 1. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A, 2, 1 y B 4, 0, 2 yes

6 TEMA 6 Ejercicios / 6 perpendicular al plano de ecuacion x 5y 2z 6 0. Sea el plano pedido, por ser perpendicular al plano x 5y 2z 6 0, el vector normal de éste último n 1, 5, 2, será un vector director del plano, además tenemos dos puntos del plano, por tanto el plano estará determinado por: A, 2, 1, AB 1, 2,, n 1, 5, 2. La ecuación general de será: det AX, AB, n 0 x y 2 z x y z Dado el triángulo de vértices A 2, 2, 4, B, 6, 7 y C, 2, 1, halla las ecuaciones de las medianas y el baricentro del triángulo. La mediana es la recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, y el baricentro es el punto en el que se cortan las medianas. Por tanto en primer lugar, calculamos los puntos medios de los lados del triángulo. M 2 2, 2 2 6, ,4, N, , , 4, 4 P 2, , ,2, Ahora calculamos las medianas: Mediana que pasa por A y por N. La determinación lineal de esta recta será m 1 A 2, 2, 4, AN 2, 2, 0, por

7 TEMA 6 Ejercicios / 7 tanto sus ecuaciones paramétricas son x 2 2t y 2 2t z 4 Mediana que pasa por B y por P. La determinación lineal de dicha mediana será m 2 B, 6, 7, BP 7 2, 4, 9, por tanto sus ecuaciones paramétricas son 2 x 7 2 s y 6 4s z s Mediana que pasa por C y por M. La determinación lineal será m C, 2, 1, CM 11 2,2, 9 2 x 11 2 h ecuaciones paramétricas son y 2 2h z h, por tanto sus Para calcular el baricentro basta con considerar dos de las medianas y encontrar el punto de corte (si queremos podemos comprobar que la otra mediana también pasa por el punto encontrado). Para hallar el punto de corte de m 1 y m 2, resolvemos el sistema x 2 2t y 2 2t z 4 x 7 2 s y 6 4s z s 2 2t 7 2 s 2 2t 6 4s s Si resolvemos este sistema obtenemos t 2 y s 2, valores que sustituidos en el sistema anterior nos dan como solución para x, y, z Por tanto el baricentro es B 2, 10,4 x 2 y 10 z 4

8 TEMA 6 Ejercicios / Ecuación del plano paralelo a x 2y 4z 1 0 que pasa por el punto A 1, 0, 0 Todos los planos paralelos al dado, tienen como ecuación general: x 2y 4z D 0 De todos ellos, el que pasa por el punto A 1, 0, 0, será D 0 D 1 Luego el plano pedido es x 2y 4z Dada la recta r x 1 y 2 z 4 1 las rectas: s 4 x y 2 hallar la ecuación de una paralela a ella que corte a 2 z y t x 1 1 y 2 z 1 5 Sea r la recta paralela a r que corta a s yat, y sean P y Q los puntos donde r corta a s ya t respectivamente. Como P y Q son puntos de r (recta paralela a r), el vector PQ debe ser proporcional al vector director de r ( u r, 4, 1 ). Si encontramos las ecuaciones paramétricas de s y t, tendremos la expresión de un punto cualquiera de cada una de estas dos rectas. Ecuaciones paramétricas de s: x 4s y 2 s z 2s Ecuaciones paramétricas de t: x 1 t y 2t z 1 5t Por tanto los puntos P y Q los podemos expresar P 4s,2 s, 2s Q 1 t, 2t, 1 5t El vector PQ será PQ 1 t 4s, 2t 2 s, 1 5t 2s 1 t 4s,1 2t s, 1 5t 2s Este vector debe ser proporcional al vector u r, 4, 1 Por tanto: 1 t 4s Obtenemos las siguientes igualdades: 1 t 4s 1 2t s 4 1 2t s 4 1 2t s 4 1 5t 2s 1 1 5t 2s 1

9 TEMA 6 Ejercicios / 9 4 4t 16s 6t 9s 1 2t s 4 20t 8s 2t 25s 7 18t 5s La solución de este sistema es t 1, s Luego los puntos de corte P y Q son: P 12 11, 1 11, 6 11 Como se puede ver las rectas s y t se cortan en el punto 12 11, 1 11, 6 11 y Q 12 11, 1 11, 6 11 La recta pedida es la que pasa por este punto y tiene dirección u r, 4, 1 Es por tanto la recta r x t y t z 6 11 t 17. En el espacio euclídeo, referido a un sistema de coordenadas ortonormal, se eligen sobre los ejes OX, OY, OZ puntos A, B, C distintos del origen O, de coordenadas A a,0,0, B 0, b,0 y C 0, 0, c respectivamente, tales que 1 a 1 b 1 c 1. Demostrar que todos los planos ABC obtenidos al variar A, B y C verificando las condiciones anteriores, pasan por un mismo punto P cuyas coordenadas se determinarán. Si los planos pedidos pasan por los puntos A a,0,0, B 0, b,0 y C 0, 0, c, entonces su ecuación segmentaria será x a y b z c 1 Además nos dicen en el enunciado del problema que se verifica 1 a 1 b 1 c 1 Luego evidentemente el punto P 1, 1, 1 verifica las ecuaciones de todos estos planos, lo que significa que todos pasan por este punto.