Sistemas de coordenadas

Transcripción

1 Sistemas de coordenadas. Introducción En un sistema de coordenadas un punto se representa como la intersección de tres superficies ortogonales llamadas superficies coordenadas del sistema: u u u = cte = cte = cte Las líneas de intersección de las superficies coordenadas se llaman curvas coordenadas y son ortogonales entre sí. Los vectores unitarios tangentes a las curvas coordenadas son mutuamente ortogonales y coinciden con los vectores unitarios perpendiculares a las superficies coordenadas. En general, los vectores unitarios cambian de dirección de un punto a otro del espacio.

2 Campos 00-00: Sistemas de coordenadas. Estos vectores forman una base que permite representar cualquier vector en función de sus componentes en el sistema de coordenadas: r = a + aˆ + a ˆ ˆ a a a En general, las coordenadas no representan distancias en las direcciones de los ejes del sistema: da da da por lo que para medir distancias en las direcciones de los vectores unitarios son necesarios unos factores de proporcionalidad llamados factores de escala:

3 Campos 00-00: Sistemas de coordenadas. = h da = h = h da da Los sistemas de utilización más frecuente son el cartesiano o rectangular, el cilíndrico y el esférico.. Sistema de coordenadas rectangular Las superficies coordenadas son tres planos ortogonales entre sí: x = cte y = cte z = cte Un punto queda determinado por la intersección de estos tres planos y sus coordenadas vienen dadas por las tres constantes de los planos (x,y,z). Las líneas coordenadas son rectas perpendiculares entre sí y los vectores unitarios, que llevan sus direcciones se denominan xˆ, ŷ, ẑ, por lo que un vector se escribirá: r = x xˆ + y yˆ + z zˆ

4 Campos 00-00: Sistemas de coordenadas. 4 Como caso particular de este sistema de coordenadas, estos tres vectores se mantienen constantes en todos los puntos del espacio. También ocurre que las coordenadas son métricas, por lo que los factores de escala son la unidad y, en las direcciones de los ejes coordenados los diferenciales de longitud son: = dx = dy, = dz y los diferenciales de superficie en cada una de las superficies coordenadas = = = = dy dz = dx dz, = dx dy y el diferencial de volumen: dv = dx dy dz =.

5 Campos 00-00: Sistemas de coordenadas. 5. Sistema de coordenadas cilíndrico Las superficies coordenadas son, planos Z = cte, semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo φ con el semiplano XZ, y cilíndros de eje Z y radio ρ. ρ = cte φ = cte z = cte Las coordenadas de un punto vienen dadas por la intersección de tres de estas superficies, y se especifican mediante la terna (ρ,φ,z). Las líneas coordenadas ya no son todas rectas, y los vectores unitarios se denominan ρˆ,φˆ, ẑ. La dirección de los vectores ρˆ y φˆ, varía según el punto del espacio considerado. Las coordenadas ρ y z son métricas por lo que el factor de escala es la unidad. Sin embargo la coordenada φ es angular, siendo el factor de escala ρ, de modo que un diferencial de arco en la coordenada φ mide dφ =ρ dφ: = dρ = ρ dφ = dz

6 Campos 00-00: Sistemas de coordenadas. 6 Los diferenciales de superficie, sobre las superficies coordenadas serán: = ρ dφ dz = dρ dz = ρ dφ dρ Por último el diferencial de volumen es: dv = ρ dφ dρ dz. 4. Sistema de coordenadas esférico Las superficies coordenadas en el sistema de coordenadas esféricos son, una esfera de radio r, un cono de eje Z y centro el origen de coordenadas, cuya superficie forma un ángulo θ con el eje Z, y un semiplano que contiene al eje Z y forma un ángulo φ con el semiplano XZ. r = cte φ = cte θ = cte Las coordenadas de un punto vienen dadas por la terna (r,φ,θ), y los vectores unitarios rˆ θˆ φˆ. Todos los vectores varían su dirección según el punto del espacio considerado.

7 Campos 00-00: Sistemas de coordenadas. 7 Unicamente la coordenada r es métrica y le corresponde un factor de escala. Para las coordenadas φ y θ los factores de escala son, respectivamente r sen(θ) y r: = dr = r sen( θ ) dφ = rdθ Por lo que respecta a los diferenciales de superficie as expresiones son: = r sen( θ ) dφ dθ = r dθ dr = r sen( θ ) dφ dr

8 Campos 00-00: Sistemas de coordenadas. 8 Por último un diferencial de volumen vendrá dado por: dv = r sen(θ ) dφ dθ dr