Práctico 2: Mecánica lagrangeana

Transcripción

1 Mecánica Anaĺıtica Curso 2016 Práctico 2: Mecánica lagrangeana 1. La polea y la cuerda de la figura son ideales y los bloques deslizan sin roce. Obtenga las aceleraciones de los bloques a partir de las ecuaciones de Lagrange. 2. Una cuenta de masa M desliza libremente y sin fricción sobre un aro vertical de radio R en un campo gravitatorio constante. El aro rota alrededor de su diámetro vertical (fijo) con velocidad angular constante Ω. Use como coordenada generalizada el ángulo θ medido desde la posición más alta. Escriba el Lagrangeano y halle la ecuación de movimiento para θ. 3. La figura muestra una partícula de masa m apoyada sobre un plano inclinado un ángulo α respecto a la horizontal y de masa M. No hay fricción entre el plano inclinado y el piso, ni entre el plano inclinado y la partícula. Los puntos A y B pertenecen al plano inclinado y la longitud AB es D. 1

2 a. Tome como coordenadas generalizadas las variables x y S. Escriba el Lagrangeano y halle ẍ y S. b. Respecto al plano inclinado la partícula parte del reposo y desde el punto A. Demuestre que el tiempo que tarda la partícula en llegar al punto B es: 2D(M + m sen t = 2 α) (M + m)g sen α c. Hay alguna coordenada cíclica? Cuánto vale su momentum generalizado conjugado y qué representa? La funcion energía h se conserva? Es igual a la energía? 4. Un alambre en forma de parábola se hace rotar alrededor de un eje de simetría (eje z) con velocidad angular constante W. El eje z es vertical y cuando el alambre está en el plano xz la ecuación que lo describe es z = ax 2 (con a una constante positiva). Una cuenta de masa m desliza sin fricción por el alambre. a. Escoja coordenadas generalizadas y halle en función de las mismas el vector velocidad de la cuenta. Tome como base de vectores ortonormales la base usual de coordenadas cilíındricas. Halle también las energías cinética y potencial. b. Halle el Lagrangeano y las ecuaciones de movimiento. Que condición debe cumplirse y cuál debe ser la velocidad inicial de la cuenta respecto al alambre, para que ella pueda tener un movimiento circular de radio R, no nulo, alrededor del eje Z? c. Halle una constante de movimiento. Se conserva la energía? La cuenta se suelta del reposo, respecto al alambre, a una altura D sobre el plano xy Halle su rapidez al pasar por el origen y diga qué valores están permitidos para W. 2

3 5. Dos cuentas de masa m cada una están restringidas a moverse sobre un aro fijo, vertical y de radio R. Las cuentas se mantienen unidas por medio de una barra sin masa y de longitud L (L < 2R). a. Diga el número de grados de libertad del sistema y escoja coordenadas generalizadas. Halle la distancia del centro del aro al centro de la barra. b. Escriba el Lagrangeano. c. Obtenga las ecuaciones de Lagrange. d. Calcule la frecuencia de las pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio. e. Si la barra se suelta del reposo desde una posición vertical, halle la rapidez del centro de la barra cuando esta se encuentra en posición horizontal. 6. Una partícula de masa m está confinada a moverse en la superficie de una esfera de radio R y en presencia de un campo gravitacional constante g. Tome el origen en el centro de la esfera y tome el eje z en la dirección vertical hacia arriba. Use como coordenadas generalizadas los angulos esféricos θ (la colatitud) y ϕ. a. Escriba el Lagrangeano y las ecuaciones de movimiento para θ y ϕ. b. Halle los momentos generalizados P θ y P ϕ y demuestre por cálculo directo que corresponden a las componentes u θ y u z del momentum angular respecto al origen. c. Halle dos integrales de movimiento independientes. A partir de ellas escriba una expresión integral que permita obtener t = t(θ). (No resuelva la integral). 3

4 7. Dos partículas, cada una de masa m, están unidas por una barra rígida sin masa, de longitud L y cuyo centro está restringido a moverse en un aro vertical de radio R. La barra siempre se encuentra en el plano del aro. Llamaremos S al referencial inercial con origen en el centro del aro (punto O) y donde la terna {û x, û y, û z } está fija. Llamaremos S al referencial con origen en el centro C de la barra y velocidad angular nula respecto a S. a. Escoja coordenadas generalizadas adecuadas y halle en función de ellas (y de las velocidades generalizadas) la energía cinética del sistema en los referenciales S y S. b. Escriba el Lagrangeano del sistema y las ecuaciones de movimiento. c. Considere los referenciales S a y S b con origen en C. En S a están fijos û x y el vector OC y en S b están fijos û x y la barra. Halle Ω Sb S a y la rapidez de una de las partículas en el referencial S a. 8. La figura muestra un péndulo plano que consta de: una varilla sin masa de longitud H, una partícula de masa m 1 atada a su extremo libre y una de masa m 2 en el punto de suspensión. El punto de suspensión se desliza libremente a lo largo de un eje horizontal sin roce. a. Escoja coordenadas generalizadas y halle el Lagrangeano. b. Encuentre dos cantidades conservadas para el sistema. c. Escriba las ecuaciones de movimiento (no las resuelva). 4

5 9. Demuestre que las ecuaciones de Lagrange: pueden escribirse como: d T T = Θ b dt q b q b T q b 2 T q b = Θ b Donde las derivadas parciales se toman considerando como variables independientes las del conjunto (q, q, q, t). Esta forma de las ecuaciones de Lagrange se conoce como la forma de Nielsen. 10. Una partícula de masa m puede moverse sin fricción sobre la superficie interior de un cono de ángulo β. El eje principal del cono, eje z, coincide con la vertical (ver figura). a. Use como coordenadas generalizadas las coordenadas polares (r, θ) y escriba el Lagrangeano. b. Halle dos constantes de movimiento independientes. c. A partir de las ecuaciones de Lagrange escriba una ecuación diferencial para r (sin la variable θ). Diga cuáles deben ser las condiciones iniciales para (r, θ, z) y sus derivadas si se quiere que la órbita de la partícula sea circular de radio R. 11. De acuerdo a un referencial inercial S una partícula de masa m se mueve en el espacio sometida a la influencia del potencial generalizado dependiente de la velocidad: V (r, ṙ) = V 0 (r) + Ω L Donde r es el vector posición de la partícula, L su momentum angular respecto al origen y Ω es un vector constante con unidades de inverso de tiempo. Usaremos como coordenadas generalizadas las coordenadas esféricas de la partícula (r, θ, φ) y llamaremos (û r, û θ, û φ ) a la base de vectores usual de coordenadas esféricas. a. Defina Ω θ = Ω û θ y calcule en función de las coordenadas generalizadas las derivadas: d dt Ω θ, t Ω θ, θ Ω θ, φ Ω θ 5

6 Ayuda: recuerde que la velocidad angular de la base de vectores esféricos respecto a la base cartesiana fija en S es: w = θû φ + φ cos θû r φ sen θû θ b. Escriba en coordenadas esféricas la energía cinética, la energía potencial y el Lagrangeano del sistema. c. Halle los momentos generalizados y la función energía Cuáles de estas cantidades son constantes de movimiento del sistema? Razone su respuesta. 12. Una cuenta de masa m 1 = m se mueve sin fricción ensartada en un alambre con las siguientes características: está contenido en un plano vertical, se encuentra en reposo en un referencial inercial S, tiene forma de parábola con vértice hacia abajo y se describe por la ecuación z = ax 2, con a una constante positiva. De la cuenta cuelga, por medio de una cuerda sin masa y de longitud h, una esferita de masa m 2 = m que se mueve en el plano de la parábola. a. Determine cuántos grados de libertad tiene el sistema (explique con detalle) y seleccione coordenadas generalizadas. b. Halle las velocidades de las dos partículas según el referencial S y en función de las coordenadas generalizadas y de la base cartesiana. c. Escriba la energía cinética, la energía potencial y el Lagrangeano del sistema en coordenadas generalizadas. d. Halle los momentos generalizados y las ecuaciones de movimiento que rigen al sistema (no resuelva las ecuaciones). 6