Problemario 25 de mayo de 2006

Transcripción

1 Mecánica Clásica Problemario 25 de mayo de Considere el problema de Kepler, es decir, un cuerpo de masa µ en el potencial central V (r) = α/r. a) Demuestre que el vector de Laplace Runge Lenz, A = p L µα r r, es una constante de movimiento, es decir, d dt A = 0. b) Verifique que el vector A cae en el plano de la órbita. Calcule el producto escalar (A r) e identifique el resultado con la ecuación para la órbita. A partir de esta identificación, demuestre que A apunta hacia el perihelio de la órbita y tiene módulo A = µαe, en donde e es la eccentricidad de la órbita. 2. Considere un sistema descrito por las coordenadas generalizadas (q 1,...,q n ) y la función lagrangiana L(q, q, t). Sea (Q 1,...,Q n ) otro conjunto de coordenadas generalizadas y q 1 = q 1 (Q 1,...,Q n,t). =. = q n (Q 1,...,Q n,t) q n la ley de tranformación que permite de pasar de las coordenadas (Q 1,...,Q n ) a las coordenadas (q 1,...,q n ). Usando el cálculo elementar muestre que, si L (Q, Q,t) es la lagrangiana del sistema en función de las nuevas coordenadas, resulta d L dt Q = L, i Q i esto es, que las ecuaciones de Euler-Lagrange son invariantes respecto a un cambio de coordenadas.

2 3. Una cuenta de masa m es ensartada en un alambre y puede deslizarse a lo largo de ello sin fricción. El alambre se halla en un plano vertical y la cuenta está sujeta a la fuerza de gravedad F = mgŷ. Considere dos casos: a) alambre de forma parabólica (con ecuación y = ax 2 ); b) alambre de forma circular (con ecuación x 2 + y 2 = c 2 ). Usando el método de los multiplicadores de Lagrange determine en los casos a) y b) a) las ecuaciones dinámicas del punto; b) la fuerza de reacción de la ligadura en función de la posición y velocidad del punto. Solucione el caso b) usando tanto coordenadas cartesianas cuanto coordenadas polares. 4. La función de Lagrange de una partícula puntual de masa m y carga eléctrica Q en un campo electromagnético externo (independiente de la posición y velocidad de la carga Q) está dada por L(r,ṙ,t) = m (ṙ ) 2 ṙ2 + Q A(r,t) φ(r,t) c (en unidades de Gauss). Note que el argumento r de los potenciales vectorial A y escalar φ es la posición de la partícula. Verifique que las ecuaciones de Euler Lagrange para esta función de Lagrange coinciden con las ecuaciones de Newton para la fuerza de Lorentz, ( m r = Q E(r,t) + ṙ ) c B(r,t), en donde E = φ 1 A c t, B = A. Sugerencias: Escriba las ecuaciones de Euler Lagrange para las componentes cartesianas de r (y ṙ), utilice el tensor de Levi Cività para la representación de los productos vectoriales y emplee la identidad ɛ ijm ɛ mkl = δ ik δ jl δ il δ jk (con la convención de sumación).

3 5. Considere una variante del principio de Hamilton donde la función de Lagrange de un sistema físico depende además de la segunda derivada respecto al tiempo de las coordenadas generalizadas. La trayectoria del sistema se determina entonces como la que extremiza la acción S[q i (t)] = t1 t 0 dtl(q i (t), q i (t), q i (t),t), manteniendo q i (t 0 ), q i (t 0 ), q i (t 1 ) y q i (t 1 ) fijas. a) Derive las ecuaciones de Euler Lagrange correspondientes a esta variante del principio de Hamilton. b) Escriba explícitamente las ecuaciones de movimiento que resultan de la función de Lagrange L = m 2 q q k 2 q2. 6. Considere un sistema unidimensional que consiste de un cuerpo de masa m que se encuentra en un extremo de un resorte de constante k y sin masa. El otro extremo del resorte se mueve con velocidad constante v 0. Escriba el Lagrangiano de este sistema usando dos diferentes sistemas de coordenadas: a) la coordenada del cuerpo en el sistema inercial en el que el otro extremo del resorte se mueve con velocidad v 0, b) la coordenada del cuerpo relativo al otro extremo del resorte, es decir, la distancia entre los dos extremos del resorte. Para los dos sistemas de coordenadas, calcule el Hamiltoniano. En qué caso el Hamiltoniano es independiente del tiempo, y en qué caso corresponde a la energía física del sistema? 7. Considere un sistema de dos péndulos idénticos de masa m y longitud l acoplados por un resorte de constante k. La longitud en reposo del resorte sea tal que no ejerce ninguna fuerza sobre los péndulos cuando éstos se encuentran en reposo. Para el caso de que los movimientos de los dos péndulos y el resorte caen en el mismo plano, calcule las frecuencias normales y los modos normales del sistema para pequeñas desviaciones del equilibrio.

4 8. a) Demuestre que los campos eléctrico y magnético quedan invarianten ante una transformación de norma de los potenciales, φ(r,t) φ (r,t) = φ(r,t) 1 c t λ(r,t) A(r,t) A (r,t) = A(r,t) + λ(r,t), en donde λ(r, t) es una función dos veces continuamente diferenciable pero por lo demás arbitraria. b) Demuestre que la función de Lagrange de una partícula cargada en un campo electromagnético externo cambia ante transformaciones de norma de los potenciales por la derivada total respecto al tiempo de una cierta función y determine esta función. 9. Considere una masa m que se mueve sin fricción a lo largo de un círculo de radio R que se encuentra verticalmente parado en el campo gravitacional de la tierra, y que gira con la velocidad angular fija Ω alrededor de su eje vertical. a) Escriba la función de Lagrange del sistema en términos del ángulo θ que forma la posición de la masa, vista desde el centro del círculo, con la vertical (dirigida hacia abajo). b) Calcule la función de energía, h(θ, θ) = L θ θ L(θ, θ), del sistema. Argumente que es una cantidad conservada. Ahora calcule la energía física del sistema y compárela con h. Concluya que la energía del sistema no se conserva. c) Demuestre que el cambio de la energía en el tiempo se puede atribuir al trabajo que efectúa la fuerza de restricción sobre el sistema en contra de la fuerza de Coriolis, al mantener la velocidad angular Ω constante. 10. La lagrangiana de un sistema mecánico con un grado de libertad tiene la forma L(q, q,t) = m ( q 2 sin 2 (ωt) + ωq q sin(2ωt) + ω 2 q 2 cos(2ωt) ). 2

5 Determine la función hamiltoniana correspondiente y diga si la hamiltoniana se conserva. Sea Q = q sin(ωt) una nueva coordenada generalizada. Exprese la lagrangiana en función de Q y Q y la hamiltoniana en función de Q y de su momento asociado P y diga si la nueva hamiltoniana se conserva. 11. Considere la transformación de norma de una función de Lagrange, L (q i, q i,t) = L(q i, q i,t) + d dt F(q i, t), en donde F(q i,t) es una función dos veces continuamente diferenciable. Determine la relación entre los momentos conjugados y entre las funciones de Hamilton correspondientes a las dos diferentes funciones de Lagrange. Verifique explícitamente la equivalencia de las ecuaciones de Hamilton en las dos formulaciones. Sugerencia: Para la última parte, distinga cuidadosamente entre derivadas parciales con p k constante y con p k constante (p k y p k los momentos conjugados asociados con las dos diferentes funciones des Lagrange). 12. Demuestre que la transformación ( ) 1 Q = log q sin p es canónica. P = q cot p 13. Considere la transformación, definida por las ecuaciones Q = log (1 + q cos p) P = 2 (1 + q cos p) q sin p, que pone en correspondencia las variables (q, p) con las variables (Q,P). Muestre directamente que la transformación es canónica. Compruebe que la función F 3 (p, Q) = ( e Q 1 ) 2 tanp es una función generatriz de la transformación.

6 14. Considere la siguiente transformación en el espacio fase: Q i = q i, P i = p i + f q i, en donde f(q i,t) es una función arbitraria dada (dos veces continuamente diferenciable e independiente de los p i ). a) Utilice los brackets de Poisson para demostrar que esta transformación es canónica. b) Determine la función generatriz G(q i,p i,t) de la transformación. Verifique la condición de invertibilidad, ( ) 2 G det 0, q i P j y calcule el Hamiltoniano K(Q i,p i,t) para un Hamiltoniano H(q i,p i,t) dado. Comentarios: Esta transformación canónica corresponde a una transformación de norma del Lagrangiano. 15. Sea S(q i,α i,t) una solución de la ecuación de Hamilton Jacobi, con ( ) 2 S det 0. q α Demuestre directamente que las funciones q i (t) y p i (t) definidas a través de ( ) ( ) S S β i = y p i = (1) α i q j q i α j (con α i y β i constantes), satisfacen las ecuaciones de Hamilton. Indicaciones: Considere la primera derivada respecto al tiempo de las ecuaciones (1), intercambie el orden de las derivadas parciales y utilice la ecuación de Hamilton Jacobi. Empiece con la primera ecuación en (1). 16. Un punto material de masa m sujeto a la fuerza de gravedad F = mg se mueve sin fricción a lo largo de un plano inclinado (con inclinación θ). Escoja como coordenada generalizada la distancia x que separa

7 el punto material del punto O del plano inclinado (véase figura 1) y escriba la hamiltoniana de la partícula. Use el método de Hamilton- Jacobi para obtener la ley horaria x = x(t) que corresponde a las condiciones iniciales x(0) = 0 y ẋ(0) = 0. O x m θ Figura 1: Plano inclinado 17. Para un oscilador armónico en una dimensión con Hamiltoniano H = 1 2m p2 + mω2 2 x2, determine las variables de acción y ángulo, calcule la frecuencia de la trayectoria en el plano (x, p), y despeje x(t) para obtener la solución de las ecuaciones de movimiento. Sugerencias: En las integrales sobre x, sustituya mω 2 y = 2E x y en seguida sin θ = y.

8 18. Considere la densidad lagrangiana bidimensional del sistema Sine Gordon para el campo Φ(x,t) L [Φ(x,t)] = 1 2 ( µφ) 2 + m4 λ donde m y λ son constantes. [ cos( ] λφ/m) 1, a) Explique la naturaleza de la no linealidad del sistema. b) Derive la ecuación de campo correspondiente. c) Desarrolle en serie de Taylor con respecto al parámetro λ tanto la densidad lagrangiana como la ecuación de campo y comente sobre los resultados obtenidos a primer orden.