Ejercicio 3.1. Sea el campo de velocidades de un escurrimiento definido por : v = x 2 yē x + x 2 tē y (3.1)

Transcripción

1 Ejercicio 3.1. Sea el campo de velocidades de un escurrimiento definido por : Se pide: v = x yē x + x tē y (3.1) a. A qué tipo de formalismo corresponde este análisis del escurrimiento, lagrangeano o eulereano? b. Graficar las líneas de corriente que pasan por el origen para t = 0., t = 1. y t =. Ejercicio 3.. Un campo de velocidades (análisis euleriano) esta dado por u = y 1 (componente de la velocidad según el eje x) y v = y (componente de la velocidad según el eje y). Grafique la línea de corriente que pasa por el punto (x, y) = (4, 3) y compárela con la línea de emisión que pasa por dicho punto. Ejercicio 3.3. Dado el siguiente campo de velocidades: x u = t + t 0 v = v 0 a. Encontrar la ecuación de la línea de corriente que pasa por el punto (x 0, y 0 ) para el tiempo t 1. b. Hallar la ecuación de la trayectoria para una partícula fluida genérica. c. Determinar la velocidad de la partícula en su trayectoria. d. Determinar la ecuación de la línea de emisión definida por las partículas que pasaron por el punto: (f 1 (t ), f (t )) = (1, 1), siendo 0 < t < t 1. a. La ecuación general de la línea de corriente: dx u = dy v = dz w (3.) Se aplica para un instante dado t 1 y se resuelve reemplazando: dx x t 1 + t 0 = dy v 0 Sea (t 1 + t 0 )v 0 = A. Luego: 1

2 67.18 Mecánica de Fluidos A ln(x) = y + C representa las lineas de corriente. En particular para el punto (x 0, y 0 ),: A ln(x 0 ) = y 0 + C se despeja el valor de C que define a la linea de corriente. Y la linea buscada resulta la curva definida por: b. La ecuación general de la trayectoria es: (t 1 + t 0 )v 0 ln(x) = y + A ln(x 0 ) y 0 u = df v = dt Reemplazamos a coordenadas de la partícula a la velocidad: c. f 1 u = t + t 0 v = v 0 Luego, f 1 = dt = f 1 = C 1 (t + t 0 ) t+t 0 (3.3) df = dt = f = v 0 t + C v 0 La ecuación de trayectoria de una partícula (f 1, f ) se describe según una coordenada inicial (ξ 1, ξ ) y el tiempo t. Señalamos entonces en forma explícita esta dependencia: Reescribimos (3.3) según: ξ 1 = f 1 (t = 0) ξ 1 = C 1 t 0 ξ = f (t = 0) ξ = C f 1 = ξ 1 t 0 (t + t 0 ) f = v 0 t + ξ (3.4) dt = ξ 1 = C 1 = f 1 t 0 t + t 0 df dt = v 0 d. Las líneas de emisión se forman a partir del conjunto de partículas que pasan por una posición definida, p. ej. (x 1, x ) en un intervalo de tiempo dado t [0, t 1 ]. Podemos pensar que las partículas son marcadas cuando para cierto tiempo t se encuentran en (x 1, x ). Sobre nuestro ejemplo: f 1 = x 1 = ξ 1 t 0 (t + t 0 ) f = x = v 0 t + ξ Notemos que desconocemos las coordenadas iniciales (ξ 1, ξ ) pero que a partir de la ecuación anterior, las podemos identificar. ξ 1 = x 1t 0 t + t 0 ξ = x v 0 t (3.5)

3 Resta, para obtener las ecuaciones de las lineas de emisión, reemplazar lo anterior como condiciones iniciales en (3.4): x 1 t 0 t f 1 = +t 0 (t + t 0 ) t 0 (3.6) f = v 0 t + x v 0 t Para un dado tiempo t, sabiendo que t [0, t 1 ] las ecuaciones anteriores describen curvas en el plano que son las líneas de emisión. Ejercicio 3.4. La boquilla de una manguera se encuentra en (x, y) = (0, h) y oscila con un ángulo α = α(t). El agua deja la boquilla con una velocidad constante U. Despreciando la fricción entre el aire y el chorro de agua, se pide determinar: a. Las componentes de la velocidad de una partícula que se encontraba en la boquilla en t = t. b. La trayectoria para esa partícula. c. La línea de emisión para las partículas que pasaron por la boquilla entre t = 0 y t = t 1. d. Qué mostraría una fotografía del chorro en t = t 1? a. La velocidad de una partícula =(u, v), dado que el flujo no está sometido a fricción ni a campos externos, tiene la forma: dt df dt = u = C 1 = v = C gt En la boquilla (f 1 = 0, f = h) la velocidad vale (U cos[α(t )], U sin[α(t )]), luego: Resumiendo: u = C 1 = U cos[α(t )] v = C gt = U sin[α(t )] C = U sin[α(t )] + gt b. Integrando las ecuaciones obtenemos las trayectorias (f 1, f ): u = U cos[α(t )] (3.7) v = U sin[α(t )] + gt gt (3.8) f 1 = U cos[α(t )]t + C 3 (3.9) f = (U sin[α(t )] + gt )t gt + C 4 (3.10) Podemos identificar a las constantes de integración C 3 y C 4 observando que para t = 0, f 1 = C 3 = ξ 1 f = C 4 = ξ donde ξ 1 y ξ representan las coordenadas iniciales de la partícula. La ecuación de trayectoria nos queda una expresión que depende en forma explícita del tiempo y de la posición inicial f( ξ, t). 3

4 67.18 Mecánica de Fluidos c. Las líneas de emisión las obtenemos determinando a las partículas que pasaron por la boquilla (0, h) en el instante t [t 1, t ]. Para ello, identifiquemos la posición inicial (ξ) de las partículas: Despejamos los valores de ξ 1 y ξ : f 1 = U cos[α(t )]t + ξ 1 = 0 f = (U sin[α(t )] + gt )t gt + ξ = h ξ 1 = U cos[α(t )]t ξ = h (U sin[α(t )] + gt )t + gt Reemplazando estas posiciones iniciales particulares, que dependen de t [t 1, t ] obtenemos una particular ecuación de trayectoria: f 1 = U cos[α(t )](t t ) (3.11) f = h + (U sin[α(t )] + gt )(t t ) gt gt según (3.1) podemos tomar una foto para el tiempo t = t y las líneas de emisión quedan determinadas por el parámetro t, el instante en el cual pasan por la boquilla. f 1 = U cos[α(t )](t t ) (3.1) f = h + (U sin[α(t )] + gt )(t t ) gt gt Véase ejemplo desarrolado en sage / numpy en Ejercicio 3.5. Para la siguiente función de corriente ψ = xy, Cuál será la velocidad en el punto (x, y) = (, 4)?. Cuál será el potencial de velocidad si el escurrimiento es irrotacional?. Ejercicio 3.6. La cañería mostrada en la figura termina en forma cónica. En dicha zona se pueden considerar a las líneas de corriente como líneas radiales que convergen en el punto A. Al mismo tiempo el módulo de la velocidad en la zona cónica de la cañería se puede aproximar como: V = C/r, siendo C una constante. Al comienzo de la convergencia de la cañería (x = 0) y para la línea de corriente sobre el eje de la cañería la velocidad vale m/s. Se pide: determinar la aceleración del fluido a lo largo del eje de la cañería en la zona cónica. Cuanto vale la aceleración para x = 0 y x = 0, 3? Ejercicio 3.7. El movimiento de un fluido es descrito por la trayectoria de sus partículas según el formalismo Lagrangeano por: f 1 = ξ 1 f = ξ + ξ 3 f 3 = ξ + ξ 3 e at + ξ ξ 3 e at e at ξ ξ 3 e at 4

5 a. Mostrar que el determinante del Jacobiano es distinto de cero. b. Determinar las componentes de la velocidad y la aceleración: i) En coordenadas materiales (Lagrange) ii) En coordenadas espaciales (Euler) Ejercicio 3.8. Para el siguiente campo de velocidades: ū = 8xē x + 8yē y 7tē z a. Clasificar el escurrimiento. b. Determinar la ecuación de las líneas de corriente y dibujar en forma aproximada para t=0. c. Determinar y clasificar la aceleración del escurrimiento. Ejercicio 3.9. Conociendo las componentes escalares de la velocidad del escurrimiento bidimensional de la figura: u = A.x v = A.y w = 0 a. Clasificar el escurrimiento (solenoidal, irrotacional, dependencia con el tiempo). b. Determinar la ecuación de las líneas de corriente. c. Determinar y clasificar la aceleración del escurrimiento (en función de los términos convectivos, términos no estacionarios) a. Campo solenoidal: comprobamos que la divergencia del campo es nula, u = 0. Campo irrotacional: el rotor es nulo, u = 0. i j k u = u v w = i j k Ax Ay 0 = 0 El campo no depende explícitamente de tiempo, t u = 0. x y z b. La ecuación para las líneas de corriente puede resolverse en forma análoga al ejercicio 3.3 o bien usar el método de la función corriente, dado que el campo cumple u = 0. Para ello, recordamos que u = ψ y v = ψ x x y z 5

6 67.18 Mecánica de Fluidos Integramos la componente en x del flujo, u: ψ(x, y) = Axy + C(x) Y derivamos para despejar la función incógnita C(x): ψ x = Ay + C (x) = v = Ay luego C (x) = 0 = C(x) = cte. Resulta ψ(x, y) = Axy + C. Señalemos que los valores que toma la función corriente no tienen significado físico sino el valor de sus derivadas espaciales. Por ello, podemos fijar arbitrariamente una valor de C y escribir el resto del campo escalar ψ(x, y) referido a él. Determinemos por ejemplo, la línea de corriente que pasa por (1, 1). Para ello, reemplazamos: (x, y) = (1, 1) ψ(1, 1) = A + C Podíamos entonces elegir un valor arbitrario de C, por comodidad, elijamos C = A. Luego la línea de corriente que pasa por (1, 1) está definida por la curva ψ(x, y) = 0 = Axy A xy = 1 c. La aceleración la calculamos con la ayuda del operador derivada material. la derivada material de un campo ϕ(x, t) en un dominio bajo un campo de velocidades u(x, t) se define según: Dϕ Dt = ϕ t + u ϕ, En el caso de la velocidad, ϕ u y el primer término representa la aceleración local mientras que el segundo, la aceleración convectiva del flujo. En nuestro ejemplo, sólo hay variaciones espaciales, por ello, Du Dt = u u = ( u x v x u y v y ) ( u v ) ( ) Ax = Ay Ejercicio El escurrimiento de un fluido entre dos cilindros concéntricos de radios R 1 y R, que giran alrededor de su eje común con velocidades angulares Ω 1, Ω, puede ser descrito por el siguiente campo de velocidades (en coordenadas cilíndricas): ( v = Ar + B ) ē θ (3.13) r a. Determinar las constantes A y B aplicando: V pared = V fluido. b. Determinar la aceleración de una partícula de fluido. c. qué ocurre cuando Ω 1 = Ω?. Ejercicio Dado un escurrimiento definido en formalismo lagrangiano en la forma: f 1 (t) = ξ 1 (1 + bt) f (t) = ξ Determinar la aceleración de una partícula, directamente y utilizando el formalismo euleriano. 6

7 Ejercicio 3.1. Las componentes de velocidad de un flujo Couette están dadas por u 1 = U h x u = u 3 = 0 a. Determinar el tensor de velocidad de deformación eij y el tensor de spin Ω ij. b. Usando los tensores calcular la velocidad de deformación de los elementos dx y dx. c. Hallar el cambio material del ángulo entre dx y dx. Ejercicio Para un flujo estacionario, el campo de velocidades está dado por ū = 3x 1x ē 1 + x x 3 ē + x 1 x ē 3 Se pide: calcular en P = (1, 1, 1): a. Las componentes del tensor de velocidad de deformación e ij y el de spin Ω ij. b. Las componentes de la velocidad angular de una partícula fluida en P. c. La velocidad de deformación en las direcciones x 1, x, x 3. d. Los ejes principales de deformación y sus direcciones. Ejercicio Dado el campo de velocidades u 1 = ω h x x 3 u = ω h x x 3 u 3 = 0 a. Determinar el tensor gradiente de velocidades, el de deformaciones e ij y el tensor de spin Ω ij. b. La velocidad angular. c. Hallar los ejes principales de deformación en P = (,, ) d. Hallar la trayectoria de una partícula que a t = 0 estaba en P (ξ = (,, )). 7