4 Ecuaciones diferenciales de orden superior
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- Raquel Rico Paz
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1 CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4. educción de orden allar un método para encontrar soluciones que formen un conjunto fundamental de la ED será nuestro trabajo en las siguientes secciones. 4.. educción de orden en ED lineales de segundo orden Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: a.x/ C a.x/y 0 C a 0.x/y D 0; de la cual se conoce una solución que llamaremos y. De acuerdo con lo visto en la sección anterior, requerimos una segunda solución y de la ecuación diferencial de tal manera que el conjunto f y ; y g constituya un conjunto fundamental de soluciones. A fin de encontrar esta segunda solución, aplicaremos un método llamado variación de parámetros que se debe a D Alembert. La idea fundamental es la siguiente: debido a que la ecuación es lineal, y dado que y es solución, entonces ay para a constante, también es solución. La pregunta que se formula en este método es cómo encontrar una función u, de tal manera que y D uy también sea solución de la ecuación? Para el desarrollo de la idea de D Alembert, requerimos, en primer lugar, normalizar la ecuación; esto es, necesitamos que el coeficiente de sea. Para ello, dividimos la ecuación entre a.x/: C p.x/y 0 C q.x/y D 0, donde p.x/ D a.x/ a.x/ y donde q.x/ D a 0.x/ a.x/, con a.x/ 0: Queremos ahora determinar bajo qué condiciones podemos asegurar que y D uy es solución. Constatamos que, por ser y solución de la ED, tenemos:. canek.azc.uam.mx: 3/ 9/ 00 C py 0 C qy D 0:
2 Ecuaciones diferenciales ordinarias Si derivamos y dos veces, hallamos: y D uy : y 0 D uy 0 C u 0 y : D uy 00 C u 0 y 0 C u 00 y : Sustituyendo en la ED C py 0 C qy D 0, obtenemos: uy 00 C u 0 y 0 C u 00 y C puy 0 C pu 0 y eagrupamos en términos de u, u 0, u 00 y así resulta: œ py 0 C qy u D 0: qy u. C py 0 C qy / Cy u 00 C y 0 u 0 C py u 0 D 0 y u 00 C y 0 u 0 C py u 0 D 0: L.y / D 0 Si hacemos el cambio de variable w D u 0, se tiene u 00 D w 0, por lo que la ED se reduce a otra de orden uno, concretamente: y w 0 C y 0 w C py w D 0 y C y 0 w C py w D 0: Si escribimos ahora la ecuación en forma diferencial, hallaremos: y C y 0 w C py w D 0: Esta última expresión es una ED que puede resolverse mediante separación de variables. En efecto, multiplicando por, tenemos: wy 0 w C y C p D 0: y Integrando, encontramos: y 0 w C C y p D C ln w C ln y C p D C: Aplicando propiedades de logaritmos encontramos: ln.y w/ C p D C ln.y w/ D C p: Si ahora aplicamos la función exponencial, y w D ec p D e C e p D Ce p : Así, w D du D C e p y e p u D C C K: De esta manera, cualesquiera de las funciones u 0 que resulten de esta fórmula será de utilidad para construir una segunda solución y D uy. Como W.y ; y / D y y y 0 y 0 D y uy y 0 uy 0 C u 0 y D uy y 0 C u 0 y uy y 0 D u 0 y D D C e p y. y / D Ce p 0; y
3 4. educción de orden 3 resulta que f y ; y g es un conjunto fundamental de soluciones. Tomamos el caso más sencillo para la función u, esto es C D y K D 0; u toma la forma de e p u D : En resumen, tenemos el siguiente resultado:. Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y una solución no nula y, entonces:. La función y D uy, donde y C p.x/y 0 C q.x/y D 0 (4. e p u D ; es también solución y, además, f y ; y g conforma un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial.. La solución general de la ED (4. está dada por: y y D c y C c y : Ejemplo 4.. Consideremos la ED lineal homogénea de segundo orden x C xy 0 6y D 0.. Verificar que y D x es una solución de la ED.. Encontrar una segunda solución y de la ecuación. 3. Escribir la solución general de la ecuación.. En primer lugar calculamos la primera y segunda derivada de y : y D x y 0 Si sustituimos en la ecuación diferencial: x./ Cx.x/ y 0 D x & y 00 D : 6.x / D 0 6x y concluimos que y es una solución de la ecuación diferencial.. Usamos ahora el resultado anterior. Determinamos u. 6x D 0; Primero necesitamos normalizar la ecuación para lo cual dividimos entre x. Obtenemos: C x y 0 6 x y D 0: Usamos la fórmula del resultado anterior con p D x & y D x ; encontramos: e x e ln x e ln.x / x u D.x / D D D x 4 x 4 x D 4 x 6 D 5 x 5 : Por lo tanto, y D uy D 5 x 5 x D 5 x 3.
4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3. La solución general es y D c y C c y D c x C c ( 5 x 3 D c x C c x 3 : Ejemplo 4.. Utilizando el método de reducción de orden, calcular una segunda solución de la ED dada y escribir su solución general. x C xy 0 y D 0; y.x/ D x: Vamos a usar dos procedimientos.. Procedimiento : uso de la fórmula. Primero, normalizamos la ED; para ello, dividimos entre x : C x y 0 x y D 0: Usamos ahora la fórmula de esta sección con p D x & y D x; encontramos: e x u D Por lo tanto, x e ln x e ln.x / x D D D D x x y D uy D 3 x 3 x D 3 x : x x 4 D 3 x 3 : Así, la solución general de la ED es y D c y C c y D c x C c ( 3 x : O bien y D c x C c x :. Procedimiento : sustitución de y D u.x/y.x/. Si y D ux, entonces: y 0 D u 0 x C u & D u 00 x C u 0 : Sustituimos en la ED para garantizar que y D uy sea solución: Se debe cumplir: Dividiendo entre x 3 : x C xy 0 y D 0: x.u 00 x C u 0 / C x.u 0 x C u/.ux/ D 0 x 3 u 00 C x u 0 C x u 0 C xu xu D 0 x 3 u 00 C 4x u 0 D 0: u 00 C 4 x u 0 D 0: (4.
5 4. educción de orden 5 Si u 0 D w, entonces u 00 D. Sustituyendo en (4. se tiene que Pero C 4 x w D 0 D 4 x w w D 4 x w D 4 x ln w D 4 ln x C C ln w D ln x 4 C ln C D ln.c x 4 / w D C x 4 : w D u 0 D du du D C x 4 u D C u D C 3 x 3 C C u D C x 3 C C : Si tomamos C D & C D 0, obtenemos que u D x 3. Pero y.x/ D ux, por lo tanto: y.x/ D x 3 x D x y.x/ D x : x 4 D C x 3 3 C C Por lo tanto, la solución general de la ED x C xy 0 y D 0, es y D c y C c y y D c x C c x : Ejemplo 4..3 Utilizando el método de reducción de orden, calcular una segunda solución de la ED proporcionada y escribir su solución general. x C 3xy 0 C y D 0; y.x/ D x : Si y.x/ D u.x/y.x/, entonces: y D ux I y 0 D u 0 x ux I D u 00 x u 0 x C ux 3 : Sustituyendo en la ED x C 3xy 0 C y D 0, se obtiene: x.u 00 x u 0 x C ux 3 / C 3x.u 0 x ux / C ux D 0 u 00 x u 0 C ux C 3u 0 3ux C ux D 0 u 00 x C u 0 D 0: Dividiendo entre x para normalizar la ED: Si u 0 D w, entonces u 00 D ; sustituyendo en (4.3 se tiene que u 00 C x u 0 D 0: (4.3 C x w D 0 w D x w D x ln w D ln x C C D ln x C ln C D ln.c x / w D C x :
6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Pero w D u 0 D du, por lo que du D C x u D C x D C x u D C ln x C C : Si tomamos, por ejemplo, C D y C D 0, hallamos que u D ln x. Ya que y.x/ D ux, entonces y D ln x x. Por lo tanto, la solución general de la ED: y D c x C c x ln x: Ejemplo 4..4 Utilizando el método de reducción de orden, calcular una segunda solución de la ED dada y escribir su solución general..x C / C 4xy 0 4y D 0; y.x/ D e x : Si y.x/ D u.x/y.x/, entonces: Sustituyendo en se obtiene y D ue x I Multiplicando por e x se tiene que y 0 D u 0 e x ue x D.u 0 u/e x I D u 00 e x 4u 0 e x C 4ue x D.u 00 4u 0 C 4u/e x :.x C / C 4xy 0 4y D 0;.x C /.u 00 4u 0 C 4u/e x C 4x.u 0 u/e x 4ue x D 0:.x C /.u 00 4u 0 C 4u/ C 4x.u 0 u/ 4u D 0.x C /u 00 C. 8x 4 C 4x/u 0 C.8x C 4 8x 4/u D 0.x C /u 00 C. 4x 4/u 0 D 0: Dividiendo entre.x C / para normalizar: Si u 0 D w, entonces u 00 D. Sustituyendo en (4.4: w D 4x C 4 x C w D 0 w D 4x C 4 x C ( C x C ln w D x C ln.x C / C C w D e x e ln.xc/ e C D e x.x C /C w D C.x C /e x ; pero w D du u D C.x C /e x : u 00 4x C 4 x C u 0 D 0: (4.4 t D x C dt D I dv D e x v D ex :
7 4. educción de orden 7 Aplicando integración por partes: [ u D C.x C /ex ] e x u D C xe x C C : Tomando C D & C D 0, hallamos que y.x/ D ue x D xe x e x D x. Por lo tanto, la solución general de la ED es y D c y C c y D c e x C c x: Ejemplo 4..5 Utilizando el método de reducción de orden, calcular una segunda solución de la ED conocida y escribir su solución general. ( x C xy 0 C x y D 0; y.x/ D x sen x: 4 Si y.x/ D u.x/y.x/, entonces: y D ux sen xi y 0 D u 0 x sen x C u x cos x D u 00 x sen x C u 0 x cos x Sustituyendo en x C xy 0 C ( De donde, dividiendo entre x 3 : x 4 x 3 sen x I x 3 sen x C u x sen x x 3 cos x C 3 4 x 5 sen x y D 0, se obtiene, después de algunas operaciones: u 00 x 3 sen x C u 0 x 3 cos x D 0: Si u 0 D w, entonces u 00 D. Sustituyendo en (4.5 se tiene que u 00 sen x C u 0 cos x D 0: (4.5 sen x C w cos x D 0 sen x D w cos x w D cos x sen x cos x w D sen x ln w D ln.sen x/ C C D ln.sen x/ C ln C D ln [ C.sen x/ ] w D C.sen x/ : Pero w D u 0 D du, por lo tanto: du D C sen x D C csc x u D C csc x D C. cot x/ C C Si se toma C D & C D 0, obtenemos u D cot x, con lo que: u D C cot x C C u D C cot x C C : y D ux sen x D.cot x/x sen x D cos x sen x y D x cos x: ( x sen x :
8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias Por lo tanto la solución general de la ED ( x C xy 0 C x y D 0; 4 está dada por y.x/ D c y.x/ C c y.x/ D c x sen x C c x cos x y.x/ D x.c sen x C c cos x/: Ejercicios 4.. educción de orden. Soluciones en la página 9 Obtener la solución general de la ED conocida, considerando que y es una solución de ella.. C 3y 0 y D 0I y D e x... 4 y 0 C 9y D 0I y D e 3x.. 3. C 4y D 0I y D sen x.. 4. C 6y 0 C 9y D 0I y D e 3x.. 5. C 4y 0 C 3y D 0I y D e x cos 3x y D 0I y D e x x 6xy 0 C 0y D 0I y D x.. 8. x xy 0 3y D 0I y D x.. 9. x C 8xy 0 C y D 0I y D x x C xy 0 C 8y D 0I y D x x/ C xy 0 y D 0I y D x... x C y 0 C xy D 0I y D sen x x.. 3. x.ln x / xy 0 C y D 0I y D x.. 4. x C.x /y 0 y D 0I y D e x.. 5. x.x C /y 0 C.x C /y D 0I y D e x..
9 4. educción de orden 9 Ejercicios 4.. educción de orden. Página 8. y D c e x C c e x.. y D.c C c x/e 3x. 3. y D c sen x C c cos x. 4. y D.c C c x/e 3x. 5. y D e x.c cos 3x C c sen 3x/. 6. y D c e 3 x C c e 3 x. 7. y D c x C c x y D c x C c x y D c x 3 C c x y D c x 4 C c x.. y D c x C c e x.. y D x.c sen x C c cos x/. 3. y D c x C c ln x. 4. y D c e x C c.x /. 5. y D e x.c C c x /.
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