TEMA 4.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
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- María Dolores Suárez Reyes
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1 TEMA 4.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ecuación diferencial ordinaria de orden n.- Es una relación entre la variable, la función las sucesivas derivadas de ésta, es decir F(,,,,... (n) ) = 0. Una solución es una función = f() que sustituida en la ecuación, la verifica. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ecuaciones de variables separadas Tienen la forma f ()d = f ()d. La solución es f ()d C f() d Ejemplo: (4 )d d = 0. Integrando (4 )d d C C Ecuaciones de variables separables Tienen la forma f () f ()d = g () g ()d. anteriores dividiendo por f () g (). Se transforma en una de las Ejemplo: ( + e )d ( +)e d = 0. Dividimos por ( + e )( +) queda e d d 0. Integrando ln ( + ) ln ( + e ) = C e Ecuación lineal de primer orden Es de la forma + P() = Q() Para resolverla, hallaremos dos funciones u v (de ) que cumplan = u v. Derivando sustituendo en la ecuación queda: u v + uv + P() uv = Q() [u + P()u]v + uv = Q() (I) u' Hacemos entonces u + P()u = 0, de donde P() u P() d u Sustituendo en (I): P() d P()d P()d v e = Q() v' Q()e v Q()e d Así pues, la solución sería = P() d P()d e Q()e d P() d ln u = e. Ecuaciones diferenciales homogéneas Una función f(.) es homogénea de grado n si f(t, t) = t n f(,) Una ecuación diferencial de la forma P(, ) d + Q(, ) d = 0 es homogénea si P Q son funciones homogéneas del mismo grado. Se resuelven haciendo el cambio = u de donde d = u d + du. Al sustituir se transforma en una de variables separables Ejemplo: ( + ) d d = 0. Es homogénea de grado. Haciendo el cambio mencionado: ( + u )d u (ud + du) = 0. Dividiendo por : ( + u )d u (ud + du) = 0 de donde ( u )d u du = 0 /7
2 d u du 0 u ln + ln( u ) = lnc ln + ln( u ) = lnk ( u ) = K como u = quedaría finalmente = K Ecuaciones diferenciales eactas Una ecuación P(, )d + Q(, )d = 0 es diferencial eacta si eiste una función F F F(,) = C, (que será la solución) cua diferencial es la ecuación, es decir P Q. Supondremos que las primeras derivadas parciales de F son continuas. Luego se cumplirá que P F F Q F Para resolverla, como P Pd C() F (II), donde C() es una constante arbitraria que depende de. Derivando respecto de : Pd C' () Q Pd C' () Q. Integrando respecto de obtenemos C(). Finalmente sustituendo en (II) obtenemos F Ejemplo: (4 ) d + ( 4 ) d = 0, es diferencial eacta pues P Q. Como (4 ) d 4 + C(). Luego 4 = 4 + C () C () = 0 C() = K, luego La solución es 4 = K Factor integrante Supongamos que la ecuación Pd + Qd = 0 no es diferencial eacta pero que podemos encontrar una función = (,) tal que Pd + Qd = 0 sí lo sea. Diremos que es un P Q factor integrante. En este caso se tendrá que P Q (III) En el caso particular que = () dependa sólo de, la epresión (III) queda P Q ' P Q 'Q de donde podemos obtener. Q En el caso particular que = () dependa sólo de, la epresión (III) queda P Q ' Q P 'P de donde podemos obtener. P Ejemplo: Hallar un factor integrante dependiente de para la ecuación diferencial ( + )d d = 0. /7
3 ' P Q ( ) Calculamos Integrando ln ln de aquí Q ln ln de donde. Ecuaciones de Bernoulli Son de la forma + P() = Q() n, donde n entero >. Dividiendo la ecuación por n n n queda. ' P() Q(). Hacemos el cambio n = z derivando ( n) n = = z. Sustituendo en la ecuación queda z' P()z Q(), que es lineal de primer n orden. EJERCICIOS Derivando en la epresión + = C obtenemos: + = 0 = La ecuación diferencial la podemos escribir: ( )d = d e integrando: C + C = 0 Puesto que si = =, se tiene que C =, luego la solución es: + = 0. Es una ecuación lineal de primer orden. Hacemos = u v = u v + uv. Sustituendo en la ecuación: u v + uv = uv ln + v(u` u) + uv = ln +. Una /7
4 solución de u u = 0 es u = e, con lo que la ecuación queda e v = ln + e v = e ln +. Resolviendo por partes se obtiene que v = e ln + C. Luego: = e (e ln + C) = ln + Ce d du du du d Hacemos el cambio = u u u u u. d d d u Integrando: ln C. Sustituendo u: ln C. Para = 5 u C ln 5 tendremos 0 C = +ln5. Luego =. C ln ln 4 Podemos escribir la ecuación de la forma =, que resulta ser una ecuación lineal. Hacemos el cambio = u v sustituendo en la ecuación queda vu' u uv'. Haciendo u' u 0, obtenemos que u =, luego v =, de donde v' v ln C. Así pues la solución de la ecuación diferencial es = ln + C. P Q Q e d sólo depende de luego eiste un factor integrante dependiente de que es () =. Multiplicando por la ecuación queda: (4 4)d 7 d = 0 f(,) = 4 4 d= 4 7 f + C() = = 7 + C () = 7, de donde C () = 0 C() = C. Así pues la solución general de la ecuación diferencial es 4 7 = C. 4/7
5 Q P 4 Puesto que depende sólo de, ha un factor integrante que depende P sólo de. Se tiene que ln() = ln 4 () = 4. Escribimos la ecuación en la forma d + d = 0. Como P Q P d depende sólo de, ha un factor integrante que depende sólo de. Se tiene () e. Luego la ecuación d d 0 es diferencial eacta. Se tendrá que f (, ) d C() f (, ) C'() C () = 0 C() = C. Así pues la solución general de la ecuación es = C Escribamos la ecuación en la forma ( + 9)d d = 0. Puesto que P Q, eiste un factor integrante que depende sólo de, tal que Q ' de donde ln = ln = 9. Así pues, la ecuación d d 0 9 d d 0 es diferencial eacta. Se tendrá que 9 d 9 = C(), luego, derivando respecto de deberá ser C'() de donde 5/7
6 C () = 0 C() = k. Luego la solución de la ecuación diferencial es 9 9 de k = 4 = 0. Así pues 0 = k. El valor Se trata de una ecuación homogénea. Haciendo = u = u + u. Sustituendo: u u u' u du d u u Integrando: ln u ln K ln ln K u K u K u K K u u. Así pues: K Se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividimos por 5 ' Hacemos el cambio z = 4 z = = z'. Sustituendo en la 4 ecuación queda z' z 5 que a es una ecuación lineal. Ponemos z = u v 4 z = u v + uv. Sustituendo de nuevo: u' v uv' uv v u' u uv' 5. Hacemos u' u' u 0 log u log u u =. Luego la ecuación queda: v' 5 v = 0 4 v = C. 4 Así pues z = 4 + C, de donde = 4 4 C 6/7
7 Se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividimos por = Hacemos el cambio z = z =. Sustituendo en la ecuación queda z z = que a es una ecuación lineal. Ponemos z = u v z = u v + uv. Sustituendo de nuevo: u v uv uv = v( u u) uv =. Hacemos u = u u = e. Luego la ecuación queda: e v = v = e que integrando por partes proporciona v = e + e + C. Así pues z = + + Ce, de donde = Ce 7/7
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