Ecuaciones diferenciales exactas

Transcripción

1 Definición 1: sea f, una región del plano, Ecuaciones diferenciales eactas una función con derivadas parciales de primer orden continuas en Llamamos diferencial total de f, f f df, definida por: df, d d a la epresión notada Definición : una epresión diferencial es una diferencial eacta en una región del plano, si corresponde a la diferencial total de alguna función f,. En matemáticas, una ecuación diferencial eacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:, d, d 0, en donde las derivadas parciales de las funciones : (son iguales). Esto es equivalente a decir que eiste una f f f función f, tal que df, d d donde, Dado que f, iguales esta es la condición f, es una función diferenciable entonces las derivadas mitas deben ser d d 0 1 cos d cos d 0 f. Ejemplos de diferenciales eactas son:. El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar su una diferencial es eacta, veamos: Teorema: Sean,,, continuas en una región del plano, continuas con derivadas parciales de primer orden entonces, una condición necesaria suficiente para que, d, d 0, sea una diferencial eacta es que f étodo de resolución. Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

2 Comprobar la eactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de (con respecto a ) de (con respecto a ) son iguales. Se integra o a conveniencia ( respecto a o respecto a ) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es: f, d g d g equivalente. en cualquiera de las dos direcciones es Para despejar la función g se deriva f, con respecto a la variable independiente de g. Se iguala g' con o (si se integró se iguala a viceversa.), despejando luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g. Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general, f. En resumen:

3 Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales d d 0. d ( 1) d 0 3. sen cos d cos d 0 d 4. ( 3 ) ( 3 ) 0 d 5. 0 d d d d 6. cos e sen e ln d ln d 0 8. d - d 0 (4) d d 0 (1) e d e d0 () 4 Factor integrante. Si una ecuación diferencial no es eacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial, llamada factor integrante, tal que:,,d,,d 0 Sea eacta. Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre eiste, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente: Factor integrante solo en función de.

4 Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a (es decir, se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: ), entonces Factor integrante solo en función de. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a (es decir, se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: ), entonces Factor integrante solo en función de +. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a + (es decir, entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: ), Con Factor integrante solo en función de. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: Con Donde

5 Cabe mencionar que:, Ejercicios: para cada una de las siguientes E. D. halle un factor integrante que dependa solo de, ó, un factor integrante que dependa solo de. 1. 3)d ( 1) d 0 (. ( )d d 0 ( 4. ( ) sen d cos d 0 3. ) d d 0 5. ln d 1d ( )d d 0 d 7. ( 1) 4 d 8. 6 d 4 9 d 0 Bibliografía Tom. Apostol (1979): Análisis matemático. ISB

6 Zill, Dennis G. (006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de odelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. éico D.F., éico. ISB Olivos, Elena; ansilla, Angélica (005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile