ecuación quede de la forma y' + A(x) y = B(x) 2- Buscar el factor integrante, el cual depende solo de "x" y viene dado por

Transcripción

1 76 por el factor integrante resulta donde µ () = e e dy + A () e y d = e B () d e dy + A () e y d = d ( e y) = d (µ () y) Abran sus guías en la página 6 y leamos la información que allí aparece acerca de los pasos que deben seguirse para obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal. PASOS PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN LINEAL DE LA FORMA a 0 () y' + a () y = b() - Multiplicar la ecuación diferencial por (a 0 () 0) para que la a0() ecuación quede de la forma y' + A() y = B() - Buscar el factor integrante, el cual depende solo de "" y viene dado por µ = ( ) e - Multiplicar la ecuación diferencial obtenida en el paso por el factor integrante µ () y por "d" e 4- Sustituir A () d dy + A() e e A () d dy + A() e y d = e y d por la diferencial total de µ () y, es decir, por d e A() d quedando d e y = e B() d B() d y

2 77 5- Integrar la ecuación obtenida en el paso 4 d e y = e B() d + C o equivalentemente e y = e B() d + C 6- Despejar "y" multiplicando la ecuación obtenida en el paso 5 por e y = e e B() d + C e 7- La función obtenida en el paso 6 es la solución general de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal y' + A() y = B() Resuelvan el Problema que aparece a continuación en sus guías. Disponen para ello de 0 min. Trabajen en forma individual PROBLEMA : Obtenga la solución general de la ecuación diferencial ( ) y' + y = Cos Revisemos como resolvieron el Problema. Observen la ecuación diferencial dada Podrá clasificarse esa ecuación diferencial como lineal? Si, ya que, las potencia tanto de la variable dependiente "y" como de su derivada y' es igual a ; además el coeficiente de la variable dependiente "y", de su derivada y', así como el término independiente dependen sólo de la variable independiente "".

3 78 Muy bien. Qué deben hacer como primer paso para obtener la solución general de la ecuación diferencial dada? Como primer paso tenemos que transformar a el coeficiente de y', para ello multiplicamos la ecuación diferencial por el factor ( 0) Cos y' + y = Eacto. Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es determinar un factor integrante d ln( ) µ() = e = e = Bien. Con qué finalidad buscamos el factor integrante? Con la finalidad de multiplicar la ecuación diferencial que obtuvimos al realizar el paso para transformarla en homogénea µ()d? Cómo queda entonces la ecuación diferencial al multiplicar por el factor La ecuación diferencial queda ( ) dy + y d = Cos d La epresión ( -) dy + y d función Saben de que función se trata? representa la diferencial total de cierta

4 79 La epresión ( ) dy + y d debe representar la diferencial total del producto entre el factor integrante µ() y la variable dependiente "y". Es decir, ( ) dy + y d = d[( -)y] Correcto. Cómo queda la ecuación diferencial? La ecuación diferencial queda d[( -)y] = cos d Qué deben hacer a continuación? Se debe integrar [( ) y] d = cos d ( -) y = Sen + C Se puede despejar y? Despejando "y" resulta que y = ( Sen + C ) ( -) Qué concluyen? Sen + C Concluimos que la función y = - diferencial ( ) y' + y = Cos es la solución general de la ecuación Muy bien. Para afianzar un poco más los aspectos aquí estudiados, resolvamos el Problema. Disponen para ello de 0 min. Pueden trabajar en grupo

5 80 PROBLEMA : Obtenga la solución general de la ecuación diferencial ( + ) dy = ( 5 + y + y) d Revisemos el procedimiento que siguieron para resolver el Problema. Recuerden que para que una ecuación diferencial sea lineal, debe poder escribirse de la forma a o () y' + a () y = b(), con a o (), a () y b(), funciones que sólo dependen de. La ecuación diferencial dada es lineal? Para saber si la ecuación diferencial dada es lineal tenemos que verificar si se puede escribir de la forma a o () y' + a () y = b() Multiplicamos por d ( dy + ) = 5 + y + y d luego sacamos factor común (y) ( dy + ) = 5 + y ( + ) d y restamos y(+) ( + ) y' ( + ) y = 5 entonces si es lineal, donde a o () = + a () = ( + ) b() = 5 Muy bien. Ya saben que es lineal Cuál es el paso a realizar para buscar la solución general? Se debe multiplicar por el factor +

6 8 simplificando 5 ( + ) ' y = + + y y' y = 4 + Correcto. Hemos escrito la ecuación diferencial de la forma y' + A()y = B() Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es buscar el factor integrante µ() = e A()d = e = e ln = e ln = = es decir, µ() = Obtenido el factor integrante Qué deben hacer ahora? Debemos multiplicar la ecuación diferencial por µ() d = d así obtenemos 4 y' y = + dy 4 y d = d + Muy bien. Pueden identificar que representa la epresión dy y d? 4 Representa la diferencial total de y esto es,

7 8 d y = dy 4 y d Eacto. Cómo les queda la ecuación diferencial? La ecuación diferencial queda d y = d + Cómo obtienen "y"? Integrando d y = + d y = - ln ( + ) + C Se puede despejar y? Si, despejando "y" y = 4 ln( + ) + C Qué concluyen? Concluimos que la función y = 4 ln( + ) + C, es la solución general de la ecuación diferencial ( + ) dy = ( 5 + y + y) d El Problema, les queda como asignación con la finalidad de que refuercen lo tratado en esta lección.

8 8 PROBLEMA : Obtenga la solución general para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. En los casos indicados, obtenga la solución particular que satisfaga la condición dada. - y' + y = Sen - y' + (tg ) y = sen - y' + (cotg ) y = cosec y (π/) = 4- y ' + y = sen y (π) = /π 5- y' + y = e 6- y ' + y = + y () = π/ 7- y' + y = 8- y' + y = Cos 9- Cos. Sen dy + (y Cos ) d = 0 0- y' + 4y = - ( Cos) dy + (y Sen tg ) d = 0 - y d + (y + y e y ) dy = 0 - y' + y = e + ln 4- ( + 4y ) dy + y d = 0 5- (- dy ) = y d 6- ( + ) y ' y = + 7- ( + ) dy + (y + + ) d = 0 8- ( ) y' + y = ( + ) 9- ( + ) y' = 5 8y 4y dp 0- + tp = P + 4t - dt

9 84 CIERRE Qué estudiamos en esta Lección? Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales Qué característica, en cuanto a la forma como se escribe, debe tener la ecuación diferencial para clasificarla como una ecuación diferencial lineal? Debe poderse escribir de la forma a 0 () y' + a () y = b() donde a 0 (), a (), b() son funciones que dependen de o pueden ser constantes Si b() = 0 Cómo dijimos que se denominaba la ecuación? Si b () = 0, es decir, si la ecuación tiene la forma a o () y' + a () y = 0, la ecuación se denomina ecuación diferencial lineal homogénea. Cómo se obtiene la solución general en este caso? La solución general se obtiene separando las variables. Para ello se multiplica por el factor d, resultando y a () o dy a + () y a () o d = 0 Muy bien. Qué tipo de ecuación diferencial resulta? Resulta una ecuación diferencial de variable separada. Cómo llegan a la solución?

10 85 Integrando cada término. Correcto. Ahora, si b() 0 Cómo se denomina la ecuación diferencial? La ecuación diferencial se denomina, ecuación diferencial lineal completa. Cómo se obtiene la solución general en este caso? La solución general se obtiene siguiendo los pasos que se enumeran a continuación - Multiplicar la ecuación diferencial por a () 0 (a 0 () 0) y ' + a a o () () y = b() a () o equivalentemente y' + A () y = B () - Buscar el factor integrante, el cual depende sólo de, y viene dado por µ () = e A () d - Multiplicar la ecuación obtenida en el paso por [µ () d] e A () d dy + A () e A () d. y d = B () d 4- Sustituir la epresión que está al lado izquierdo de la igualdad anterior, por la diferencial total del producto [µ () y] 5- Integrar d [µ () y] = d [e A () d A () d y] = e d [µ () y] = e A () d B () d + C equivalentemente e A () d y = e A () d B () d + C -A () d 6- Despejar y multiplicando por el factor e 7- La función obtenida en el paso 6, es la solución general de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal completa y ' + A() y = B()