Laboratorio Nº 1 La Descripción Gráfica de la Ecuación Diferencial Ordinaria

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Juan Benítez Martín
hace 7 años
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1 Universidad Diego Portales Segundo Semestre 007 Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Laboratorio Nº 1 La Descripción Gráfica de la Ecuación Diferencial Ordinaria Objetivo general Describir en forma gráfica a la ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya sea a partir de su campo de pendientes como también de la curva solución que pase por un determinado punto. Comprobar, usando calculadora, los métodos de separación de variables y ecuaciones diferenciales homogéneas. Objetivos específicos 1 Obtener los puntos de la curva solución, de una ecuación diferencial de primer orden, de manera aproximada. Dibujar el campo de pendientes (o bien, campo de direcciones) de una ecuación diferencial de primer orden, de manera aproximada. 3 Resolver ecuaciones diferenciales de variables separables. 4 Analizar y resolver ecuaciones diferenciales homogéneas. Actividades Nº de actividad Contenido 1 Curva solución de una ecuación diferencial de primer orden Campo de pendientes de una ecuación diferencial de primer orden 3 Ecuación diferencial de primer orden de variables separables 4 Ecuación diferencial Homogénea 5 El alumno desarrollará actividades propuestas Metodología En las dos primeras actividades desarrollaremos un método gráfico basado en el método de Euler que permite calcular aproximadamente los valores de la curva solución de una ecuación diferencial y sus correspondientes campos de pendientes. En las actividades 3 y 4

2 desarrollamos los métodos tradicionales y cuando sea posible nos apoyaremos en el uso de calculadoras. El método de Euler y los programas, construidos a partir de él, se muestran a continuación. Usaremos el método de Euler para determinar, en forma aproximada, la solución de la ecuación diferencial = F( x, y), que pase por el punto ( x, ) 0 y0. Método de Euler: Dada la condición inicial y ( x0 ) = y0 y el tamaño del paso h, calcule el punto ( x k + 1, yk + 1) a partir del punto precedente ( x k, yk ) como sigue: 1. Use la ecuación diferencial para determinar la pendiente F( xk, y k).. Calcule el siguiente punto x, y ) mediante las fórmulas ( k + 1 k + 1 xk +1 = xk + h y y k 1 = yk + hf( xk, yk ) +. Programas para calcular y graficar la curva solución Este programa crea dos listas, que contienen los puntos de la curva solución de manera aproximada.

3 Usando este programa podemos visualizar la curva solución, de manera aproximada. Usando el siguiente programa podemos visualizar el campo de direcciones de una ecuación diferencial, de manera aproximada.

4 Actividad 1: Use calculadora y el programa ListEul1, con el tamaño del paso h = 0.1 para construir una curva solución aproximada, al problema de valor inicial = y 1, y ( 0) = 1, 0 x 1, 1 y 5. Su respuesta debe incluir una tabla de valores aproximados de la variable dependiente. Incluya, también, un croquis de la gráfica de la solución aproximada y la ecuación aproximada de esta. Solución: La calculadora entrega el siguiente resultado: Al usar el programa ListEul1, se obtiene: Construcción de la Tabla. Una vez ingresados los valores en las listas 1 y, se pueden ver y trabajar con ellas en el programa de Estadísticas o desde el programa Principal. En los gráficos siguientes, pueden verse estas dos alternativas.

5 En la figura se muestra el primer valor de y k, usando el programa ListEul1. En el programa Estadística, que se muestra a continuación, se indica como obtener la gráfica de la solución aproximada y la ecuación correspondiente.

6 En este último gráfico se obtiene la regresión cuadrática, cuyo gráfico se aproxima a la curva formada por los puntos obtenidos en las listas 1 y. Gráfica de la solución aproximada. Ingresando los datos en el programa Euler1, se tiene la gráfica de la solución aproximada: La gráfica de la curva solución se muestra en la figura adjunta.

7 Actividad : (a) Dibuje el campo de pendientes de la ecuación de la actividad 1, usando los programas CamDirec y Graf.Ec.Di, usando la ventana de visualización 0 x 1, 1 y 5. (b) Resuelva la ecuación de la actividad 1, usando comando dsolve y compare los gráficos de la solución aproximada con la solución exacta obtenida. Solución: (a) Usando n = m = 10, se obtiene: (b) Usando el comando dsolve, se obtiene la solución particular siguiente:

8 El gráfico siguiente muestra la aproximación, usando regresión cuadrática y la solución x e 1 exacta y = +. Actividad 3: Resuelva la ecuación diferencial Solución: Factorizando: = ( x + 1)( y + ) ( x 1)( y ) = xy + x + y + xy x y +, ( 0) = 1 y. Separando variables: ( x + 1 ) ( x 1) ( y ) ( y + ) = 0. Integrando: ( 1) + x ( y ) = + C Luego: x + ln x 1 y+ 4ln y+ = C Como: ( 0) = 1 y, tenemos que: C = 1. Luego, la solución única de la ecuación diferencial dada, es: x + ln x 1 y + 4ln y + = 1.

9 La solución, usando la calculadora, es: Verifique que corresponde a la solución dada anteriormente. Actividad 4: Identifique el tipo de la ecuación diferencial y resuelva: Verifique, usando calculadora. x y = +. y x Solución: La ecuación diferencial se puede escribir en la forma: ( + y ) xy = 0 x. (*) Esta ecuación diferencial es del tipo coeficientes homogéneos con coeficientes M ( x, y) = x + y y N( x, y) = xy, funciones homogéneas de igual grado () pues: M ( tx, ty) = ( tx) + ( ty) = t M ( x, y) y N ( tx, ty) = ( tx)( ty) = t N( x, y). Por lo tanto considerando en (*) la sustitución: que: y = vx, entonces = xdv + v tenemos ( + ( vx) ) x( vx)( xdv + v) = 0 x. Dividiendo por x y separando variables tenemos: vdv = 0. x v Integrando concluimos que: ln x = C, lo que nos lleva a la solución: y = ln x + C. x

10 La solución, usando la calculadora, es: Verifique que corresponde a la solución dada. ACTIVIDADES A DESARROLLAR POR EL ALUMNO En los ejercicios siguientes, use el método de Euler, con el tamaño del paso dado h para aproximar la solución al problema de valor inicial, en el intervalo especificado. Su respuesta debe incluir una tabla de valores aproximados de la variable dependiente. Incluya, también, un croquis de la gráfica de la solución aproximada. 1. dt =, ( 0) = 1 = t y, ( 0) = 1 y, 0 t 1, h = dt seny y, 0 t 3, h = dw = ( 3 w)( w + 1), w ( 0) = 4, 0 t 5, h = 1 dt 4. dw = ( 3 w)( w + 1), w ( 0) = 0, 0 t 5, h = 0. 5 dt 5. Compare sus respuestas a los ejercicios 3 y 4 y dé sus observaciones Considere el polinomio p ( y) = y y +. Empleando la tecnología apropiada, (a) esboce el campo de direcciones para = p(y), (b) dibuje las gráficas de algunas de dt las soluciones usando el campo de direcciones, (c) describa la relación entre las raíces de p (y) y las soluciones de la ecuación diferencial, y (d) con el método de Euler, aproxime la o las raíces reales de p (y) con tres lugares decimales.

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