Analicemos ahora el siguiente ejemplo: (2x 4y) dx + (12y - 6x + 1) dy = 0. Será ésta una ecuación diferencial reducible a homogénea?
|
|
- Alicia Navarrete Caballero
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 82 Analicemos ahora el siguiente ejemplo: (2x 4y) dx + (2y - 6x + ) dy = 0 Será ésta una ecuación diferencial reducible a homogénea? Si observamos la ecuación diferencial, tenemos que 2x 4y = 0 2y 6x + = 0 representan rectas. Por lo tanto, podría considerarse una ecuación diferencial reducible a homogénea. Qué debemos determinar para saber si podemos resolverla como una ecuación diferencial homogénea del Caso? Debemos determinar la posición relativa de las dos rectas involucradas. Muy bien. Cómo lo hacen? Buscando las pendientes de las rectas. Para la recta 2x 4y = 0, la pendiente es m = 2 ; para la recta 2y 6x + = 0, la pendiente es m2 = 2. Como m = m 2, resulta que las rectas son paralelas. Excelente. Observen que el procedimiento explicado anteriormente sólo funciona si las rectas se cortan, es decir, si tienen un punto en común. Cuando las rectas son paralelas Cómo son sus vectores normales? Los vectores normales de dos rectas paralelas son proporcionales. Correcto. Podrían decirme cuáles son los vectores de las rectas del ejemplo?
2 83 Los vectores normales son N = (2, -4) y N 2 = (-6,2) vectores? Cómo pueden expresar la relación de proporcionalidad entre los dos La relación de proporcionalidad entre N y N 2 se expresa como N 2 = -3 N, es decir, (-6,2) = -3 (2,-4). Si les pido escribir la ecuación de la recta 2y - 6x + = 0 usando el vector normal N.= (2,4) Cómo la escribirían? La escribiríamos -3(2x 4y) + = 0 Si sustituyen en la ecuación diferencial Cómo queda? La ecuación diferencial queda (2x 4y) dx + [(-3) (2x 4y) + ] dy = 0 Observen la ecuación diferencial que se obtuvo y díganme que característica común observan entre las funciones que multiplican a los diferenciales dx y dy respectivamente. Qué se repite el término 2x 4y. Exacto. Por eso se sugiere aquí realizar el cambio de variable: z = 2x 4y dz = 2dx 4dy dy = dx 2 dz 4
3 84 Cómo se transforma la ecuación diferencial con este cambio de variable? La ecuación diferencial se transforma en: zdx + (-3 z +) dx dz = Qué sugiere hacer ahora? Sacar factor común dx. Así se tiene 3 z z + dx = ( 3z + ) dz 0 o equivalentemente z + dx ( 3z + ) dz = 0 4 A qué tipo de ecuación diferencial hemos llegado? Hemos llegado a una ecuación diferencial de variable separable. Correcto. Por qué factor deben multiplicar para separar las variables? Se debe multiplicar por el factor z Cómo queda la ecuación al multiplicar por dicho factor? La ecuación queda.
4 85 o equivalentemente dx - 2 (3z ) dx + 4 dz = 0 ( z + ) 2 3z dz = 0 z Ya están separadas las variables Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es integrar cada término: dx - 3z 2 dz = C (#) z Cómo resuelven dx? Es inmediata dx = x 3z Cómo resuelven z dz? Cómo es un cociente de polinomios de igual grado, deberá efectuarse la división de polinomios, de donde resulta que integrando respecto de z ambas integrales inmediatas 3z 2 = 3 + z z 3z dz = z 3 dz + 2 dz z
5 86 3z dz = 3z + 2ln z z Muy bien. Ya resueltas las integrales Qué deben hacer? Debemos sustituir los resultados de las integrales en (#). Así: x - 2 [3z + 2 ln z - ] = C Correcto. Qué les falta hacer? Falta devolver el cambio de variables z = 2x 4y; al sustituir queda 2x 3(2x 4y) 2 ln 2x 4y = 2C esto es, 2x 6x + 2y ln 2x 4y 2 = 2C aplicando "e" de donde: e 2y 4x 2C = e 2 ln 2x 4y k e 4(3y x) = (2x 4y ) 2 Excelente. Cuál es la conclusión del problema? Que la función (2x 4y ) 2 = ke 4(3y x) es la solución general de la ecuación diferencial (2x 4y) dx + (2y 6x + ) dy = 0 Abran sus guías en la página 3 y leamos la información que allí aparece.
6 87 CASO 2: LA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIENE LA FORMA (a x + b y + c ) dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) dy = 0 CON a x + b y + c = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 RECTAS PARALELAS Este tipo de ecuación diferencial es reducible a variable separable. Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variable separable, se deben realizar los siguientes pasos: - Obtener la constante k tal que (a 2, b 2 ) = k (a, b ) 2- Escribir la ecuación diferencial como (a x + b y + c ) dx + [k(a x + b y) + c 2 ] dy = 0 z a = + = x z ax by y b 3- Realizar el cambio de variables dz a = dx dy b 4- Resolver la ecuación diferencial de variable separable que resulta en el paso 3 5- Devolver los cambios de variables 6- De ser posible despejar "y" A continuación disponer de 0 minutos para resolver el Problema 3 que aparece en sus guías en la página 3 PROBLEMA 3: Obtenga la solución general de la ecuación diferencial: (2x + 3y + 4) dx + (4x + 6y + ) dy = 0 Revisemos como resolvieron el Problema 3.
7 88 Qué es lo primero que deben hacer? Estudiar la posición relativa de las rectas involucradas en la ecuación diferencial 2x + 3y + 4 = 0 y 4x + 6y + = 0 Muy bien. Cómo lo hacen? Buscando sus vectores normales y chequeando si son o no proporcionales. Correcto. Qué obtenemos? El vector normal de la recta es N = (2,3) y el vector normal de la recta 2 es N 2 = (4,6). Se puede observar que N 2 = (4,6) = 2 N = 2 (2,3) Exacto. Cómo puede entonces escribir la ecuación diferencial? La ecuación diferencial puede escribirse: (2x + 3y + 4) dx + [2 (2x + 3y) + ] dy = 0 diferencial? Pueden identificar que expresión se repite en cada término de la ecuación Se repite el término 2x + 3y. Qué sugiere hacer en este caso? Se sugiere realizar un cambio de variable
8 89 z = 2z + 3y dz 2dx dy = 3 y = z 2x 3 se transforma? Muy bien. Sustituyan el cambio de variable en la ecuación diferencial Cómo Al sustituir el cambio de variable la ecuación diferencial se transforma en dz 2dx (z + 4) dx + (2z + ) = 0 3 Correcto. Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es sacar factor común dx, obteniendo o equivalentemente: esto es, 2 ( z + 4) (2z + ) dx + (2z + ) dz = (3z + 2 4z - 2) dx + (2z + ) dz = 0 (0-z) dx + (2z + ) dz = 0 Qué tipo de ecuación diferencial resultó? Resultó una ecuación diferencial de variables separables. separadas? Cuál es el factor por el cual se debe multiplicar para que las variables queden
9 90 Se debe multiplicar por el factor dx + obteniéndose así 0 z 2z + 0 z dz = 0 Ya están separadas las variables. Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es integrar cada término de la última ecuación dx + 2z + dz = C (#) 0 z Cómo resuelven? dx Es inmediata dx = x Cómo resuelven 2z + dz? 0 z Cómo es un cociente de polinomios de igual grado, deben dividirse los polinomios. Exacto. Una vez efectuada la división de polinomios Cómo puede escribirse 2z + el cociente? 0 z Se puede escribir 2z + 2 = z 0 z
10 9 Qué hacen ahora? Lo que hacemos es integrar cada término respecto de x. 2z + 0 z dz = - 2 dz + 2 dz 0 z = - 2z - 2 ln 0 z Resueltas ya las integrales. Cuál es el siguiente paso? Sustituir los resultados de las integrales en (#), obteniendo x 2z - 2 ln 0 z = C Qué falta por realizar? Falta devolver el cambio de variable z = 2x + 3y, así x 4x 6y 2 ln 0 2x 3y = C o equivalentemente: -3x 6y 2 ln 0 2x 3y = C Se podrá simplificar más? Si, se puede dividir todo entre 3 y sumar 3x + 6y, resultando así: o equivalentemente, aplicando "e": 7 ln 0 2x 3y = 3 C + x + 2y esto es, 0 2x 3y 7 = 3 C e e x+2y 0 2x 3y 7 = k e x+2y
11 92 Qué concluyen? Concluimos que la función 0 2x 3y 7 = k e x+2y es la solución general de la ecuación diferencial (2x + 3y +4) dx + (4x + 6y + ) dy = 0 El Problema 4 les queda como ejercicio. PROBLEMA 4: Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. - (x + y) dx + (3x + 3y 4) dy = 0 2- (2x + 2y + ) dx + (x + y + ) dy = 0 3- (x + y + ) y = (x + y ) 4- (2x + y) dx - (4x + 2y ) dy = 0 5- dy dx 2x 4y = 6x 2y CIERRE: Qué estudiamos en esta lección? Estudiamos un tipo de ecuación diferencial la cual puede reducirse a homogénea. Qué forma tiene este tipo de ecuación diferencial?
12 93 Tiene la forma (a x + b y + c ) dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) dy = 0 donde a x + b y + c = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 son dos rectas que se cortan. diferencial? Podrían decirme que pasos se siguen para resolver dicha ecuación Lo primero que hacemos es buscar las coordenadas (h,k) del punto de intersección entre las dos rectas. Luego se realiza el cambio de variables: x = u + h dx = du y = v + k dy = dv obtiene? Al sustituir el cambio de variables Qué tipo de ecuación diferencial se Se obtiene una ecuación diferencial homogénea. Correcto. Qué otro aspecto estudiamos? Estudiamos las ecuaciones diferenciales de la forma (a x + b y + c ) dx + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) dy = 0 donde a x + b y + c = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 son rectas paralelas. Qué debe hacerse en este caso? En este caso se debe escribir: a 2 x + b 2 y + c 2 = k (a x + b y) + c 2
13 94 donde k representa la constante de proporcionalidad entre los vectores normales de las dos rectas. Muy bien. Cuál es el siguiente paso? El siguiente paso es realizar el cambio de variable z = ax + by dz a = x dy b y = z a b : Al realizar este cambio Qué tipo de ecuación diferencial resulta? Resulta una ecuación diferencial de variables separables.
LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS.
160 LECCIÓN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS. JUSTIFICACIÓN En esta lección centraremos nuestro estudio en aquellas ecuaciones diferenciales homogéneas mediante
Más detallesLECCIÓN 11: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A LINEAL
86 LECCIÓN : ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A LINEAL JUSTIFICACIÓN: Muchas ecuaciones diferenciales pueden ser reducidas a ecuaciones diferenciales lineales mediante un
Más detallesLECCIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EXACTAS
195 LECCIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EXACTAS JUSTIFICACIÓN En esta lección, basados en la teoría de diferenciales de funciones de dos variables, la cual involucra las derivadas
Más detallesAPLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS 5 TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS: Se dice que una familia de curvas T(,, k) 0 (k una constante arbitraria)
Más detallesLECCIÓN 10: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN LINEALES
58 LECCIÓN 0: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN LINEALES JUSTIFICACIÓN: Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales comprenden una clase especial de las ecuaciones
Más detallesecuación quede de la forma y' + A(x) y = B(x) 2- Buscar el factor integrante, el cual depende solo de "x" y viene dado por
76 por el factor integrante resulta donde µ () = e e dy + A () e y d = e B () d e dy + A () e y d = d ( e y) = d (µ () y) Abran sus guías en la página 6 y leamos la información que allí aparece acerca
Más detallesTEMA 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
TEMA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 8 INTRODUCCIÓN: Eisten algunos tipos elementales de ecuaciones diferenciales para los cuales se cuenta con procedimientos canónicos que permiten
Más detallesOBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS
60 LECCIÓN 3: OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS JUSTIFICACIÓN: En el curso de Análisis Matemático II, cuando se resuelven integrales indefinidas se obtienen primitivas o
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas Elementos de una expresión algebraica Números de cualquier tipo Letras Signos de operación: sumas, restas, multiplicaciones y
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES 1. Determinar si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o una identidad:
Más detalles3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI
TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es
Más detalles3 Aplicaciones de ED de primer orden
CAPÍTULO 3 Aplicaciones de E de primer orden 3.2 ecaimiento radioactivo Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radioactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la
Más detallesTema 2. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Estructura del tema. Definiciones básicas Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Teorema
Más detalles2. Actividad inicial: Crecimiento del dinero.
Índice 1. Introducción 6 2. Actividad inicial: Crecimiento del dinero. 6 3. EDO de variables separables 7 3.1. Técnica de resolución de una ODE de variables separables........... 8 3.2. Ejemplos desarrollados...............................
Más detalles5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
EJERCICIOS PARA ENTRENARSE División y regla de Ruffini 5.26 Realiza estas divisiones. a) (12x 2 yz 6xy 3 8xyz 2 ) (2xy) b) (15x 4 3x 3 9x 2 ) (3x 2 ) c) (5a 3 b 2 10ab 2 15a 3 b 4 ) (5ab 2 ) a) (12x 2
Más detallesInecuaciones en dos variables
Inecuaciones en dos variables Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,. Inecuaciones de primer grado
Más detallesClase 8 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 8 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2013 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesClase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales
Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama
Más detallesUNIDAD 4.- INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro)
UNIDAD 4. INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro) 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por
Más detallesIntegración por partes VIII INTEGRACIÓN POR PARTES. Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x se obtiene:
VIII INTEGRACIÓN POR PARTES Área Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x se obtiene: dy d = uv dx dx dy dv du = u + v dx dx dx Multiplicando toda la igualdad por
Más detallesCombinación Lineal. Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. 10 de enero de 2011
Combinación Lineal Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 10 de enero de 011 Índice.1. Introducción............................................... 1.. Combinación lineal entre vectores...................................
Más detallesPolinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +...
Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... + a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n -1... a 1, a o números,
Más detallesUNIDAD IV CONTENIDO TEMÁTICO
UNIDAD IV CONTENIDO TEMÁTICO OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez 1 ESQUEMA-RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD IV Conceptos Mínimo común múltiplo OPERACIONES CON FRACCIONES
Más detallesEjercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Más detallesPOLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Definición de monomio. Expresión algebraica formada por el producto de un número finito de constantes y variables con exponente natural. Al producto de las constantes
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.
Sistemas de Ecuaciones Lineales Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2
Más detalles4 Ecuaciones diferenciales de orden superior
CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4. educción de orden allar un método para encontrar soluciones que formen un conjunto fundamental de la ED será nuestro trabajo en las siguientes secciones.
Más detallesCombinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291)
Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) I. Combinación Lineal Definición: Sean v 1, v 2, v 3,, v n vectores en el espacio vectorial V. Entonces cualquier
Más detallesUnidad 1: Números reales.
Unidad 1: Números reales. 1 Unidad 1: Números reales. 1.- Números racionales e irracionales Números racionales: Son aquellos que se pueden escribir como una fracción. 1. Números enteros 2. Números decimales
Más detallesLección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones
GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 1: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones En la lección anterior hemos visto cómo resolver gráficamente un sistema de ecuaciones. Si bien ese método es relativamente
Más detalles1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matemáticas MA-841: Ecuaciones Diferenciales Lectura #6 Profesor: Victor Segura 1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.3.4 Factores Integrantes Dentro
Más detallesExpresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra
Expresiones algebraicas y ecuaciones Melilla Qué es una expresión algebraica? Los padres de Iván le han encargado que vaya al mercado a comprar 4 kg de naranjas y 5 kg de manzanas. Pero no saben lo que
Más detalles1. Ecuaciones de primer orden
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definición 1. Llamamos ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.) a una ecuación
Más detallesLos números enteros. > significa "mayor que". Ejemplo: 58 > 12 < significa "menor que". Ejemplo: 3 < 12 Cualquier número positivo siempre es mayor
Los números enteros Los números enteros Los números enteros son aquellos que permiten contar tanto los objetos que se tienen, como los objetos que se deben. Enteros positivos: precedidos por el signo +
Más detallesVeamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:
T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
Más detallesPOLINOMIOS. Un polinomio es una expresión algebraica (conjunto de. números y letras que representan números, conectados por las
POLINOMIOS Teoría 1.- Qué es un polinomio? Un polinomio es una expresión algebraica (conjunto de números y letras que representan números, conectados por las operaciones de suma, resta, multiplicación,
Más detalles9. Ecuaciones, parte III
Matemáticas I, 202-I El concepto de información Ya hemos visto ejemplos de ecuaciones con una única solución y otras que admiten dos soluciones. Ahora veremos unos ejemplos más extraños. Ejemplo. Resuelve
Más detallesTema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones
Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Este tema resulta fundamental en la mayoría de las disciplinas, ya que son muchos los problemas científicos y de la vida cotidiana que requieren resolver simultáneamente
Más detallesSistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales Un sistema de dos ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Más detallesSistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 1) (Selectividad 2005) Sea el siguiente sistema de inecuaciones: 3y 6; x 2y 4; x + y 8; x 0; y 0. Dibuje la región que definen y calcule sus
Más detalles1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1 1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 11 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN Un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo dx 1 dt a 11 tx 1 + a 1n tx n + f 1 t dx n dt a n1 tx 1 + a nn tx n + f n t
Más detalles1.9 Sustituciones diversas 49
1.9 Sustituciones diversas 49 1.9 Sustituciones diversas En ocasiones tenemos ecuaciones diferenciales que no corresponden a ninguna forma de ecuación conocida, donde, para resolverlas fácilmente recurrimos
Más detallesFunciones constantes, lineales y afines 1.
Funciones constantes, lineales y afines 1. 1.- Rectas horizontales y verticales. Ej.1.- A continuación tienes la gráfica de la recta y = 0. Qué puntos de corte tiene con los ejes? Qué posición tiene respecto
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables
Más detallesLECCIÓN 2: SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
7 LECCIÓN : SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. JUSTIFICACIÓN: Ya que uno de los objetivos generales del curso de Ecuaciones Diferenciales es el de hallar las funciones desconocidas que satisfacen la
Más detallesCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II. dy 2
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II TEMA Nº 10 (Última modificación 8-7-015) ECUACIONES DIFERENCIALES En muchos problemas físicos, geométricos o puramente matemáticos, se trata de hallar una función = F()
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las
Más detallesINSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA ECUACIONES DIFERENCIALES. Portafolio Parte 2
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN SEMESTRE ENERO JUNIO 2014 INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES ECUACIONES DIFERENCIALES Portafolio Parte 2 Indicadores 19-23, 25,
Más detallesLos números naturales
Los números naturales Los números naturales Los números naturales son aquellos que sirven para contar. Se suelen representar utilizando las cifras del 0 al 9. signo suma o resultado Suma: 9 + 12 = 21 sumandos
Más detallesLección 3: Introducción a la Factorización y Factorización por Factor Común y Agrupación. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 3: Introducción a la Factorización y Factorización por Factor Común y Agrupación Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Conocerán el
Más detalles7 Sistemas de ecuaciones
89485 _ 0309-0368.qxd 1/9/0 15:3 Página 31 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN Aunque no es el objetivo de este curso, los alumnos deben ser capaces de reconocer ecuaciones con dos incógnitas y obtener
Más detallesSabes cómo simplificar una expresión con fracciones utilizando propiedades? Echa un vistazo a este dilema.
Materia: Matemática de Octavo Tema: Propiedades de la Adición y la Multiplicación en Q Sabes cómo simplificar una expresión con fracciones utilizando propiedades? Echa un vistazo a este dilema. Para simplificar
Más detallesNotas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023
Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #3: jueves, 2 de junio de 2016. 3 Decimales 3.1 Sistema de numeración
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas
º ESO 1. Expresiones algebraicas En matemáticas es muy común utilizar letras para expresar un resultado general. Por ejemplo, el área de un b h triángulo es base por altura dividido por dos y se expresa
Más detallesGEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN
GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO..- Ecuación vectorial Sea Pab (, ) un punto de la recta r, v = ( v, v) dirección que r, y, sea (, ) en el siguiente dibujo: un vector, no nulo,
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO Coordenadas cartesianas Sistema de ejes Cartesianos: Dicho nombre se debe a Descartes, el cual tuvo la idea de expresar un objeto geométrico como un punto o una recta, mediante
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesLíneas y Planos en el Espacio
Líneas y Planos en el Espacio Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM de enero de Índice..Introducción.................................................Ecuación paramétrica de la recta.....................................ecuación
Más detallesClase 8 Sistemas de ecuaciones lineales
Clase 8 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2014 con dos incógnitas Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x e y:
Más detallesSolución de una clase de ecuaciones diferenciales - Método algebraico
Solución de una clase de ecuaciones diferenciales - Método algebraico José Albeiro Sánchez Cano Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT josanche@eafit.edu.co Resumen En este trabajo se presenta
Más detallesCapítulo 12. Sistemas de control
Capítulo 12 Sistemas de control 1 Caso estacionario En un sistema de control el punto de equilibrio se determina resolviendo las ecuaciones que definen el sistema simultáneamente. Supondremos dos procesos
Más detallesTRANSFORMACIONES DE f (x) = x 2 9.1.1 9.1.2. Ejemplo 1
Capítulo 9 TRANSFORMACIONES DE f () = 2 9.1.1 9.1.2 A fin de lograr un buen dominio de la modelación de datos relaciones en situaciones cotidianas, los alumnos deben ser capaces de reconocer transformar
Más detalles5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
EJERCICIOS PROPUESTOS 5.1 Divide los siguientes monomios. a) 54x 5 9x 2 b) 63x 12 3x 5 c) 35xy 6 7y 3 d) 121x 2 y 6 11yx 4 a) 54x 5 9x 2 5 5 4x 2 5 4 x 5 9x 9 x 2 6x 3 c) 35xy 6 7y 3 3 6 5xy 3 3 5 x y
Más detallesSESIÓN 13 DERIVACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (2ª PARTE)
SESIÓN 13 DERIVACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (2ª PARTE) I. CONTENIDOS: 1. Ejercicios resueltos aplicando exponentes y logaritmos (2ª. Parte) 2. Derivación de funciones exponenciales y
Más detallesC U R S O : MATEMÁTICA
C U R S O : MATEMÁTICA UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituen un sistema de ecuaciones lineales. La forma
Más detallesMétodo de Igualación
Método de Igualación Ya vimos que la solución del S.E.L. debe ser tal que cuando sustituyamos los valores de las variables en cada ecuación obtengamos una igualdad verdadera. Entonces, el valor de x que
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma: ax + by = p cx + dy = q donde
Más detallesLECCIÓN 10 5 PROBLEMAS RESUELTOS
LECCIÓN 10 PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1. Cuál es el menor número de personas con las cuales, usándolas todas, se pueden formar grupos (exactos) de 6 personas o grupos (exactos) de 8 personas? A. 14 D.
Más detallesLección 8: Potencias con exponentes enteros
GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 8: Potencias con exponentes enteros Cuando queremos indicar productos de factores iguales, generalmente usamos la notación exponencial. Por ejemplo podemos expresar x, como
Más detallesEcuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Tema 4 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = b(x) (41) Vamos
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2x + 3y 3 4x +5y 6 a) Escribir la expresión matricial del sistema. b) Discutir el sistema. c) Resolver el sistema por
Más detallesCuando p(a) = 0 decimos que el valor a, que hemos sustituido, es una raíz del polinomio.
Regla de Ruffini Teorema del resto Polinomios y fracciones algebraicas Dividir un polinomio por -a Regla de Ruffini Factorización de polinomios Divisibilidad de polinomios Fracciones algebraicas Operaciones
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA A Introducción teórica A Módulo y argumento de un vector A Producto escalar A3 Punto medio de un segmento A4 Ecuaciones de la
Más detalles1.4 SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES. 36 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
36 CAPÍTULO Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Escriba, en un comentario, la ecuación del polinomio cúbico que se ajusta a los cuatro puntos. Sea x el vector columna que contiene las coordenadas
Más detallesSucesiones (páginas 511 515)
A NMRE FECHA PERÍD Sucesiones (páginas 5 55) Una sucesión es una lista de números en un cierto orden. Cada número se llama término de la sucesión. En una sucesión aritmética, la diferencia entre cualquier
Más detallesEcuaciones de rectas y planos. Un punto O y una base B B = { i, j,
Ecuaciones de rectas y planos. Coordenadas en el espacio. Planos coordenados. El vector OP tiene unas coordenadas( x, y, z ) respecto de la base B, que se pueden tomar como coordenadas del punto P respecto
Más detallesEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado º ESO - º ESO Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo a b donde a y b son números reales conocidos,
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación como 2x + 3y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Es de primer grado porque las letras
Más detallesVOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS
REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9.doc 1 DE 7 Nombre: Fecha: VOCABULARIO A. Valor absoluto de un número complejo B. Eje de simetría C. Completar el cuadrado D. Número complejo E. Plano de números
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables
Productos notables Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos. Debido
Más detallesProyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones
Proyecciones La proyección de un punto A sobre una recta r es el punto B donde la recta perpendicular a r que pasa por A corta a la recta r. Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento
Más detallesx= 1± 1 24 = 1±5 = 6 0 = 6 18 18 = 1 3 x= 7± 49 60 = 7± 11 10
1.- Ecuaciones de segundo grado. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 5x 2 45 = 0, despejando x 2 = 9, y despejando x (3 y 3 son los únicos números que al elevarlo al cuadrado dan 9) obtengo que x1 =
Más detallesLección 6: Factorización de Casos Especiales. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 6: Factorización de Casos Especiales Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán polinomios que representan una Diferencia de
Más detallesTema 8 Ecuaciones diferenciales
Tema 8 Ecuaciones diferenciales 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Definición 1.1: Ecuación diferencial Se llama ecuación diferencial de orden n a una ecuación que relaciona la variable independiente
Más detallesVALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)
VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) En trigonometría plana, es fácil de encontrar el valor exacto de la función seno y coseno de los ángulos de 30, 5 y 60, gracias a la ayuda de
Más detallesmartilloatomico@gmail.com
Titulo: RADICACION Año escolar: 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com
Más detallesCÁLCULO DE PRIMITIVAS
2 CÁLCULO DE PRIMITIVAS REFLEXIONA Y RESUELVE Concepto de primitiva NÚMEROS Y POTENCIAS SENCILLAS a) b) 2 c) 2 a) 2x b) x c) 3x 3 a) 7x b) c) x 4 a) 3x2 b) x2 c) 2x2 5 a) 6x 5 b) x5 c) 3x5 x 3 2 2 POTENCIAS
Más detallesApuntes de matemáticas 2º ESO Curso 2013-2014. Lenguaje algebraico.
Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas
Más detallesINSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA Y LUIS LOPEZ TIPO DE GUIA: NIVELACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8 A/B Abril
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detallesFunciones de varias variables.
Funciones de varias variables. Definición. Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f (x), f :D Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y dependía
Más detallesSistemas de Ecuaciones y Matrices
Sistemas de Ecuaciones y Matrices 0.1 Sistemas de ecuaciones Consideremos las gráficas de dos funciones f y g como en la figura siguiente: P Q y = fx y = gx En la práctica, en ocasiones hay que encontrar
Más detallesEcuación de la Recta en el Espacio
PreUnAB Clase # 21 Octubre 2014 Definición Un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio está determinado por tres planos mutuamente perpendiculares, Los ejes generalmente son identificados por
Más detallesSe dice que una ecuación es entera cuando las incógnitas esta sometidas únicamente a las operaciones de suma, resta y multiplicación.
III. UNIDAD : ECUACIONES DE PRIMER GRADO III.. ECUACIONES DE PRIMER GRADO III... Ecuaciones de Primer Grado con una incógnita Se dice que una ecuación es entera cuando las incógnitas esta sometidas únicamente
Más detallesEscuela de Matemáticas 6 de Mayo de Examen Parcial # 1. Instrucciones
Universidad de Costa Rica MA005 Ecuaciones Diferenciales Escuela de Matemáticas 6 de Mao de 07. Examen Parcial # Instrucciones Cuenta con 3 horas para realizar el examen. El examen cuenta de 7 preguntas
Más detallesGUIA SEMANAL DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO NOVENO
GUIA SEMANAL DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO NOVENO IDENTIFICACIÓN AREA: Matemáticas. ASIGNATURA: Matemáticas. DOCENTE. Juan Gabriel Chacón c. GRADO. Noveno. PERIODO: Segundo UNIDAD: Sistemas de ecuaciones
Más detallesSugerencias al Profesor. RAZÓN DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN
Sugerencias al Profesor. La siguiente es una manera que te sugerimos llevar a cabo para iniciar el desarrollo de la Unidad. Después de señalar algunos conceptos clave, se presentan unos ejemplos desde
Más detallesEcuaciones de primer y segundo grado
Ecuaciones de primer y segundo grado Las ecuaciones de primer y segundo grado es una ecuación porque es una igualdad entre expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejemplo
Más detalles