Líneas y Planos en el Espacio

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1 Líneas y Planos en el Espacio Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM de enero de Índice..Introducción Ecuación paramétrica de la recta ecuación de un plano: Forma paramétrica Ecuación Estándar de un Plano Introducción Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen soluciones infinitas tienen una versión geométrica interesante y conocida. En el caso de sistemas con dos variables, los conjuntos solución infinitos son líneas rectas. En el caso de sistemas con tres variables, los conjuntos solución infinitos son rectas o planos en el espacio. En esta sección veremos las rectas y los planos en el espacio por su relación que tienen con los sistemas de ecuaciones lineales. Un objetivo secundario es agregarlos al conocimiento propio de las áreas de Ingeniería... Ecuación paramétrica de la recta La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto P(x o,y o,z o ) y que es paralela al vector de dirección n =< a,b,c > es: x = p+tn () donde t es el parámetro de la ecuación. Esta ecuación también puede escribirse en función de sus componentes x = x o +ta y = y o +tb z = z o +tc () Ejemplo. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,, ) y que tiene dirección n =<,7, 4 >. Utilizando en forma directa la fórmula anterior, la ecuación paramétrica queda: x =< x,y,z >=<,, > +t <,7, 4 > () De donde la ecuación paramétrica en función de las componentes queda: x = +t() = +t y = +t(7) = +7t z = +t( 4) = 4t

2 P+t*N L P N t*n Figura : Línea en el Espacio Si intentamos despejar de cada una de las igualdades anteriores el parámetro t obtenemos: Como el valor de t es el mismo, obtenemos: x t = x t = y 7 t = z + 4 = y 7 = z + 4 a esta forma se le conoce como las ecuaciones simétricas de la recta Ejemplo. Determine la recta que pasa por los puntos P(,, ) y Q(,,). En este caso no se proporciona el vector de dirección, pero lo podemos calcular fácilmente debido a que la recta debe tener dirección PQ, así la dirección de la recta es: Y por consiguiente, la ecuación paramétrica queda: n = Q P =<,, ( ) >=<,,6 >. x =< x,y,z >=<,, > +t <,,6 > x = +t() = +t y = +t() = z = +t(6) = +6t

3 Para obtener las ecuaciones simétricas, observamos que no es posible despejar t de la segunda ecuación quedando solamente: t = x y = t = z + 6 De donde las ecuaciones simétricas se describen como: x = z + 6 Ejemplo. Diga si el punto P(, 4,) pertenece a la recta:, y = x = +t, y = t, z = +t Este tipo de problema puede resolverse de diferentes maneras. Una forma de resolverlo es mediante el uso de las ecuaciones simétricas de la línea reacta, que en este caso queda: x+ = y = z Recordamos que un punto del espacio pertenece a la línea si y sólo si satisface sus ecuaciones. Hacemos la sustitución de las coordenadas del punto: + =, 4 =, como las tres cantidades son iguales, el punto pertenece a la recta. Otra alternativa de solución consiste en determinar si existe un valor de t que cumpla las ecuaciones de la recta si el punto se sustituye: = = +t t = t = 4 = t t = t = = +t t = t = como el valor de t es el mismo, el punto pertenece a la recta Ejemplo.4 Indique si se intersectan las rectas L : x = t, y = t, z = +t L : x = +t, y = +4t, z = +t En caso de intersección en un sólo punto, determínelo. Este problema puede ser resuelto al menos de dos maneras. En una primera solución trabajemos con el sistema formado por las ecuaciones simétricas: L : x = y = z +

4 x+ L : = y + = z 4 Para cada línea, convertimos sus ecuaciones simétricas en dos ecuaciones: L : x = y y y = z + x+ L : = y + y y + = z 4 4 Ahora resolvamos el sistema formado por estas 4 ecuaciones lineales. Para ello, escribimos cada una en su forma canónica: x = y x+ y = Formando la aumentado y reduciendo obtenemos: y = z+ y z = x+ = y+ 4 x 4 y = y+ 4 = z 4 y z = 9 / / / / / / / /4 / /4 / 9/ Como el sistema es consistente, las rectas se intersectan. Como tiene solución única, la intersección consta exactamente de un punto, el cual es P(,,). Otra forma de hacer el problema es la siguiente. Utilizamos la forma vectorial paramétrica en cada recta y diferenciamos los parámetros de las líneas para tener: L : < x,y,z >= <,, > +t <,, > L : < x,y,z >= <,, > +t <,4, > Para encontrar la intersección igualamos los vectores < x,y,z > y buscamos determinar consistencia para t y t : <,, > +t <,, >=<,, > +t <,4, > de donde t <,, > +t <, 4, >=<,, > Formando la aumentada y reduciendo tenemos: 4 Como el sistema es consistente, las rectas se intersectan. Como tiene solución única t = y t = las rectas se intersectan en un punto, el cual es < x,y,z > = <,, > +t <,, > = <,, > + <,, > = <,, > 4

5 Ejemplo. Respecto al conjunto de R formado por las soluciones a x y +z = 7 4x 4y +z = 6x 6y +9z = Qué se puede decir? Formando la matriz aumentada y reduciéndola obtenemos: Si convertimos cada renglón no cero en ecuación y despejamos las variables delanteras obtenemos: Que en forma vectorial queda: x y z x = +y z = = +y La cual es la ecuación de una línea en forma paramétrica con vector de dirección <,, > Ejemplo.6 Encuentre el coseno del ángulo que forman las líneas L : < x,y,z >= <,,4 > +t <,, > L : < x,y,z >= <,, > +t <,, > Aunque no se usa en la determinación ángulo, compruebe que las líneas se intersectan. El concepto del ángulo entre las líneas sólo aplica a líneas que se intersectan. El ángulo de intersección de dos rectas es el ángulo entre los vectores de dirección. Utilice la fórmula que da directamente el coseno del ángulo entre vectores que hace referencia al producto punto. Ejemplo.7 Indique si los puntos P(,, ), Q(,,) y R(,, ) son colineales. Determine la línea que pasa por los dos primeros. La forma conveniente en este caso son las ecuaciones simétricas. Tome el tercer punto y vea si satisface la ecuación encontrada: son colineales si el tercer punto satisface la ecuación de la línea que pasa por los dos primeros. La definición precisa para que un conjunto de puntos sea colineal es que exista una recta que los contiene.

6 N x. P z y Figura : Plano en el Espacio.. Ecuación de un plano: Forma paramétrica Considere un punto en el espacio P o (x,y,z ) y dos vectores de dirección v =< a,b,c > y v =< a,b,c >; un punto cualquiera P(x,y,z) pertenece al plano que pasa por P o y que tiene dirección dada por los vectores v y v si existen escalares t y s tales que P = P o +tv +sv Esta relación se transforma en: x = x o +a t+a s y = y o +b t+b s z = z o +c t+c s (4) Estas ecuaciones se conocen como las ecuaciones paramétricas del plano. Es importante señalar que en caso que los vectores v y v tengan la misma dirección entonces lo que se tiene es una línea recta. Por otro lado, si t = s la ecuaciones también representan una línea..4. Ecuación Estándar de un Plano La ecuación estándar de un plano en R es de la forma: a(x x )+b(y y )+c(z z ) = () Los datos necesarios para determinar un plano son un punto P(x o,y o,z o ) que pertenezca al mismo y un vector perpendicular, o también conocido como vector normal al plano n =< a,b,c >. Ejemplo.8 Determine el plano que pasa por el punto P(,, ) y que tiene como vector normal n =<,, > Sustituyendo en la ecuación del plano: ()(x )+( )(y )+(z ( )) = o simplificando: x y +z = 6

7 De las ecuaciones paramétricas se puede obtener la forma estándar del plano eliminando los parámetros t y s para ello se forma el sistema: a t+a s = x x o b t+b s = y y o c t+c s = z z o se reduce y se aplica la condición de consistencia. Ejemplo.9 Determine el plano que pasa por los puntos P(,, ), Q(,, ) y R(,,). En nuestro caso tomaremos v = PQ =<,, ( ) >=<,, > y v = PR =<,, ( ) >=<,, > y por tanto las ecuaciones paramétricas quedan: Encontrando la ecuación estándar: x y z + El sistema es consistente si y solamente si x = ++()t+( )s y = ++()t+()s z = +()t+()s y x z +4 y +x x y +z +4 = Esta última relación es la ecuación estándar del plano. Otra alternativa para hacer el ejercicio anterior es calcular el vector normal al plano n = PQ PR Por tanto Y la ecuación del plano queda: n = i j k = i j+k n =<,, > (x ) (y )+(z ( )) = Ejemplo. Indique si los siguientes planos se intersectan: P : 4x+4y z = 4 P : x y +z = 6 Forme un sistema con las dos ecuaciones de los planos. 7

8 Resuelva el sistema formado: Los planos se intersectan si y sólo si el sistema es consistente. (No importa si hay solución única o infinitas, sólo importa la consistencia). Ejemplo. Determine la ecuación del plano que consiste de todos los puntos que son equidistantes a los puntos R(,, ) y a S(,,). Tome un punto cualquiera del plano P(x,y,z). Encuentre la fórmula de la distancia d de P a R y la fórmula de la distancia d de P a S. Iguale las distancias (éste es el concepto de equidistantes). Eleve al cuadrado ambos miembros de la igualdad; esto cancelará raíces cuadradas. Desarrolle los cuadrados en ambos miembros. Al pasar las variables al lado derecho deberán cancelarse los cuadrados de ellas y quedará una ecuación lineal en x y y z que corresponde a la ecuación del plano. Ejemplo. Indique si los puntos P(,, ), Q(,,), R(,, ) y S(,,) son coplanares. Determine plano que pasa por los tres primeros. La forma conveniente en este caso es la forma estándar. Tome el cuarto punto y vea si satisface la ecuación encontrada: son coplanares si y sólo si el cuarto punto satisface la ecuación del plano que pasa por los tres primeros. La definición precisa para que un conjunto de puntos sea coplanar es que exista un plano que los contiene. Ejemplo. Respecto al conjunto de R formado por las soluciones a x+y z = x y +z = x+6y z = x+9y z = Qué se puede decir? Formando la matriz aumentada y reduciéndola obtenemos: 6 9 La renglón que no es cero representa la ecuación de un plano en el espacio: x+y + z = Para obtener ecuaciones paramétricas del mismo, despejamos la variable delantera: x = y +z 8

9 Que en forma vectorial queda: x y z = +y +z Cambiando de nombre las variables: x y = z +t +s 9