Algebra Lineal Tarea No 9: Líneas y planos en R 3 Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

Transcripción

1 lgebra Lineal Tarea No 9: Líneas planos en R 3 a algunos problemas de la tarea (al 9 de junio de 0). Indique las opciones que no contienen ecuaciones de líneas rectas en R 3 :. x = + t, =, z = 3. = = 3 + z 3. x =, = 3, z = 3. = x =, = 3, z = 3 representa un punto P (, 3, 3).. Representa un plano. unque es fácil pensar que = 3 + representa una recta, como estamos en el espacio como la variable z no aparece, significa que es una variable sin restricción; podemos imaginar que en plano x la ecuación representa una línea recta pero que esta recta se mueve libremente en forma vertical. 5. x = + t, = 3 + t, z = 3 + t. x = 3 + = 3 + z. Las ecuaciones representan una línea. Si hacemos un poco de álgebra tenemos: x = + t = = + 0 t z = 3 = t P (,, 3) tiene como vector de dirección d =<, 0, 0 > 5. Las ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de una recta. Si reconocemos las partes: x = + t, = 3 + t, z = 3 + t P (, 3, 3) tiene como vector de dirección d =<,, >. Las ecuaciones representan una línea. Si hacemos un poco de álgebrea tenemos que se convierte en: = = 3 + z x = 0 = z 3 P (, 0, 3) tiene como vector de dirección d =<,, >. Tenemos las ecuaciones simétricas de una recta. Para reconocer adecuadamente los elementos hacemos álgebra de manera que en los numeradores los coeficientes de las variables sean + las constantes en el numerador aparezcan restando. sí se convierte en: x x = 3 + = ( 3) = 3 + z = z 3/ / P (, 3, 3/) tiene como vector de dirección d =<,, / >. iga si el punto P (5, 3, ) pertence a la recta: x = 3 + t, = t, z = + 3 t

2 Ma09, Tarea No 9: Líneas planos en R 3 Falso ierto ebemos ver si existe un mismo valor de t que al ser sustituido en las ecuaciones dé las coordenadas del punto. Lo que haremos es: usando una coordenada cualquiera del punto, determinaremos el valor de t veremos si este valor entrega las otras coordenadas. Usando la coordenada x: 5 = 3 + t t = Y para las coordenadas restantes = () = 3 z = + 3 () = como se obtienen todas las coordenadas de P (5, 3, ) con el valor t =, el punto sí pertenece a la recta x = + t, = + t, z = t tiene como vector de dirección d =<,, 9 > el cual no es un múltiplo escalar de d: [d d ] = por tanto, no representa la ecuación de la recta buscada. x = + t, = + t, z = t tiene como vector de dirección d =<,, 5 > el cual no es un múltiplo escalar de d: [d d ] = por tanto, no representa la ecuación de la recta buscada. 3. Indique la opción que contiene la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (,, 5) Q (,, 9). x = + t, = 3 t, z = 5 + t x = + t, = + t, z = t x = + t, = + 3 t, z = 9 + t x = + t, = + t, z = t La dificultad que tiene este problema es que para las ecuaciones de la recta puede usarse el punto P o el punto Q. Inclusive, podría usarse el punto medio entre P Q o cualquier otro que sepamos está en la recta. simismo, el vector de dirección usando podría ser el que va de P a Q o bien el que va de Q a P, o cualquier múltiplo escalar de éstos. Primero calcularemos el vector de dirección de P a Q lo compararemos con los vectores de dirección que vienen en las ecuaciones. d = P Q = Q P =<,, 9 > <,, 5 >=<, 3, > x = + t, = 3 t, z = 5 + t tiene como vector de dirección d =<, 3, > el cual no es un múltiplo escalar de d: [d d ] = por tanto, no representa la ecuación de la recta buscada. x = + t, = + 3 t, z = 9 + t tiene como vector de dirección d =<, 3, > que es d el punto usado en las ecuaciones es R(,, 9) que es precisamente Q. Por tanto, la opción representa las ecuaciones paramétricas de la recta buscada. Indique la opción que contiene la ecuación de la recta que pasa el punto P (, 5, ) que es paralela a la recta: + x + x + x = = 5 + = 5 + = + 5 = 5 + = + z = + z = + z = + z = + z omo en el caso del plano; la ecuación de la recta se determina usando punto pendiente. Es decir, con punto vector de dirección. Si la recta buscada es paralela a la recta = 5 + = + z significa que tiene la misma dirección. Nos están dando la recta en sus ecuaciones simétricas. e allí podemos deducir su vector de dirección: d =<,, >

3 Ma09, Tarea No 9: Líneas planos en R 3 3 por lo tanto las ecuaciones simétricas de la ecuación que para por P (, 5, ) que tiene la dirección d es: x = 5 = z La opción contiene esta ecuación 5. Indique la opción que contiene la ecuación de la recta que pasa el punto P (, 5, ) que es paralela a la recta: + x + x + x + x x = + t, = 0 + t, z = + t = 5 + = + 5 = 5 + = = + z = + z = + z = + z omo en el caso del plano; la ecuación de la recta se determina usando punto pendiente. Es decir, con punto vector de dirección. Si la recta buscada es paralela a la recta x = + t, = 0 + t, z = + t significa que tiene la misma dirección. e allí podemos deducir su vector de dirección: segunda. Por ello, los representaremos por variables diferentes. Veamos pues si el sistema siguiente tiene solución para t t : L + 3 t = x = 3 t + t = = 3 + t = z = t El sistema lo escribimos como 3 t + 3 t = 3 t 0 t = t + t = al formar la aumentada reducir obtenemos: L () como el sistema es inconsistente, no existen valores de t de t que hagan que se cumpla el sistema. Por tanto, las rectas no se intersectan. Indique si se intersectan las líneas: ierto L : x = t, = 5 t, z = + 3 t L : x = t, = 3 + t, z = 3 + t d =<,, > Falso por lo tanto las ecuaciones simétricas de la ecuación que para por P (, 5, ) que tiene la dirección d es: x = 5 = z La opción contiene esta ecuación. Indique si se intersectan las líneas: L : x = + 3 t, = + t, z = 3 + t L : x = 3 t, =, z = t laramente, debemos igualar un punto (x,, z) de L con un punto de L. Sin embargo, las parametrizaciones son independientes. Por consiguiente, el parámetro usado en la primera línea será en general diferente del parámetro de la segunda. Por ello, los representaremos por variables diferentes. Veamos pues si el sistema siguiente tiene solución para t t : L t = x = t 5 t = = 3 + t + 3 t = z = 3 + t L ierto Falso laramente, debemos igualar un punto (x,, z) de L con un punto de L. Sin embargo, las parametrizaciones son independientes. Por consiguiente, el parámetro usado en la primera línea será en general diferente del parámetro de la El sistema lo escribimos como t = t 5 t = 3 + t + 3 t = 3 + t t + t = t t = 3 t t = 5 ()

4 Ma09, Tarea No 9: Líneas planos en R 3 al formar la aumentada reducir obtenemos: como el sistema es inconsistente, no existen valores de t de t que hagan que se cumpla el sistema. Por tanto, las rectas no se intersectan. Encuentre el coseno del ángulo que forman las líneas: L : x = + t, = 5 + t, z = 3 t L : x = 3 t, = 3 + t, z = + t Esta pregunta tiene sentido bajo el supuesto que las rectas se intersecten. Verifiquemos esto. Para ello, resolvamos el sistema + t = 3 t 5 + t = 3 + t 3 t = + t al formar la aumentada reducir obtenemos: como el sistema es consistente, concluimos que las rectas se cortan. Para calcular el punto de intersección podemos usar el valor de t = en las ecuaciones de L o el valor de t = 0 en las ecuaciones de L. Obtenemos el punto de intersección P (x = 3, 3, ). Una vez confirmada la intersección pasaremos a determinar el ángulo. El ángulo entre las rectas es el ángulo entre los vectores de dirección d =<,, 3 > d =<,, > Recordemos que la fórmula que nos auda a encontrar el ángulo θ entre dos vectores u v: en nuestro caso cos(θ) = u v u v d d = ()( ) + ()() + ( 3)() = d = + + ( 3) = d = ( ) + + = por lo tanto, si θ es el ángulo entre las rectas cos(θ) = de donde θ.99 rad.55 o abe notar que este ángulo es maor que 90 o, por tanto el ángulo entre las rectas debe ser 0 o.55 o =.55 Observe que le problema sólo pide cos(θ), así que nuestra respuesta debe ser Indique las opciones que contienen ecuaciones de planos en R 3 :. = +. = = + z = + z 3. x = + t, = + s, z = + s + t. = + 5. x = + t, = t, z = t. x =, =, z =. Las ecuaciones representan una línea. Si hacemos un poco de álgebra tenemos: tenemos que: x = = z = t x = + t, = + t, = + t P (,, ) tiene como vector de dirección d =<,, >. También es línea; un punto por donde pasa es P (, 0, ) el vector de dirección es d =<,, >. 3. l reescribirla como x = + t + 0 s = + 0 t + s z = + t + s El plano pasa, entre otros puntos, por el punto P (,, ) tiene vector normal: n =<, 0, > < 0,, >=<, 0, 0 > El plano puede también expresarse como: (x ) 0 ( ) + 0 (z ) = 0

5 Ma09, Tarea No 9: Líneas planos en R 3 5. Representa un plano. unque es fácil pensar que = + representa una recta, como estamos en el espacio como la variable z no aparece, significa que es una variable sin restricción; podemos imaginar que en plano x la ecuación representa una línea recta pero que esta recta se mueve libremente en forma vertical. La pertencencia al plano está definida por el cumplimiento de la ecuación: por tanto, si el punto pertence, debe satisfacerla. l sustituir obtenemos (5) ( ) 3 () = d 5 = d. Indique si se intersectan los planos: P : x 3 z = P : x 9 z = 5. Las ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de una recta. Si reconocemos las partes: x = + t, = 0 + t, z = 0 + t P (, 0, 0) tiene como vector de dirección. Es un punto. d =<,, > 0. iga si el punto P (,, ) pertence al plano: Falso ierto x z = 3 asta sustituir el punto en la ecuación del plano ver si se cumple: Lado izquierdo en el punto = () ( ) () = 3 omo da el valor que aparece en el lado derecho, el punto está en el plano. Encuentre el valor de la constante d para que el punto P (5,, ) pertenezca al plano: x 3 z = d Los planos se intersectan, si sólo si tienen un punto en común; es decir, si sólo si existen valores de x, de de z que cumplen ambas ecuaciones. Es decir, si sólo si el sistema formado por ambas ecuaciones tiene solución. l formar la matriz aumentada reducir obtenemos: [ 3 9 ] [ 3/ omo el sistema es inconsistente, los planos no se intersectan. e hecho, era fácil comprobar que ambos planos son paralelos porque los vectores normales n =<,, 3 > n =<,, 9 > son uno múltiplo del otro, tomando un punto que satisface la ecuación del primer plano, por ejemplo P (0, 0, ), éste no satisface la ecuación del segundo (0) (0) 9() = 3. Indique la ecuación del plano que consiste de todos los puntos que son equidistantes a los puntos P (,, 0) R (0,, ). x + z = 0 x z = 0 x + = x + = 0 E x z = F x = 0 ]

6 Ma09, Tarea No 9: Líneas planos en R 3 Tomemos un punto cualquiera del plano que buscamos representémoslo por R(x,, z). Se debe cumplir que es decir d(p, R) = (Q, R) ( x) + ( ) + (0 z) = (0 x) + ( ) + ( z) al elevar al cuadrado para cancelar radicales, desarrollar los binomios al cuadrado, cancelar términos que aparecen en ambos lados de la igualdad tenemos: x = z x z = 0 la respuesta es la opción. Indique la opción que contiene un vector de dirección para la línea que pasa por los puntos P (,, 3) Q (, 3, ) < 0, 0, > < 0,, > <,, > <,, 0 > E <, 0, 0 > F <, 0, > G < 0,, 0 > ello, el vector P Q debe ser perpendicular al plano P. omo el vector normal al plano es n =< 3,, >, la línea recta que pasa por P que es perpendicular a P tiene como ecuación paramétrica L : x = P + t n El punto Q que buscamos debe estar en esta recta, es decir, debe existir un t o tal que es decir Q(x o, o, z o ) = P (3,, ) + t o (3,, ) x o = t o o = t o z o = + t o como este punto debe estar en el plano debe cumplir su ecuación. sí de donde 3 (3 + 3 t o ) ( t o ) + ( + t o ) = 0 t o = 3/9 por tanto, el punto Q tiene como coordenadas Q(x o = 9/9, o = 0/9, z o = /9) la distancia de P al plano P será la distancia de P a Q: d = d(p, Q) = Respecto al conjunto de R 3 formado por las soluciones a se puede decir que: x z = 3 x z = x 3 z = 9 H < 0, 0, 0 > Es un plano que no pasa por el origen. La respuesta es cualquier múltiplo del vector d: d = P Q = <, 3, > <,, 3 > =<,, > Este vector aparece directamente en la opción ; en otro caso, deberíamos buscar múltiplos escalares de él (c d) en las opciones 5. etermine la distancia (la mínima distancia posible) del plano P : 3 x + z = 0 al punto P (3,, ). ebemos primero localizar el punto Q(x o, o, z o ) que está en el plano P lo más cerca posible al punto P. Para E F Es vacío porque es inconsistente. Es una línea que no pasa por el origen. Es un plano que pasa por el origen. Es una línea que pasa por el origen. onsta de un solo punto porque tiene solución única. ebemos encontrar describir el conjunto solución al SEL. l formar la aumentada reducir obtenemos:

7 Ma09, Tarea No 9: Líneas planos en R 3 El sistema tiene infinitas soluciones, la fórmula para todas ellas se obtiene: a) Llevando cada renglón no cero a una ecuación: x + 3 = z = b) espejando las variables delanteras x = 3 z = c) Introduciendo las variables libres igual a sí mismas x = 3 = z = d) Escribiendo en la forma vectorial x z = oncluimos que el conjunto solución es una línea que pasa, entre muchos puntos, por el punto P (, 0, ) que tiene como vector de dirección a d =< 3,, 0 >. Respecto al conjunto de R 3 formado por las soluciones a se puede decir que: E F 3 x + 3 z = 9 x + 9 z = x 9 + z = x z = 0 onsta de un solo punto porque tiene solución única. Es un plano que no pasa por el origen. Es una línea que pasa por el origen. Es una línea que no pasa por el origen. Es vacío porque es inconsistente. Es un plano que pasa por el origen. ebemos encontrar describir el conjunto solución al SEL. l formar la aumentada reducir obtenemos: El sistema tiene infinitas soluciones, la fórmula para todas ellas se obtiene: a) Llevando cada renglón no cero a una ecuación: x 3 z = z = b) espejando las variables delanteras x = + 3 z z = + z c) Introduciendo las variables libres igual a sí mismas x = + 3 z z = + z z = z d) Escribiendo en la forma vectorial x z = 0 + z oncluimos que el conjunto solución es una línea que pasa, entre muchos puntos, por el punto P (,, 0) que tiene como vector de dirección a d =< 3,, >. Respecto al conjunto de R 3 formado por las soluciones a se puede decir que: E F x + z = 3 x + z = x + 0 z = 0 Es un plano que no pasa por el origen. Es una línea que no pasa por el origen. onsta de un solo punto porque tiene solución única. Es una línea que pasa por el origen. Es un plano que pasa por el origen. Es vacío porque es inconsistente. ebemos encontrar describir el conjunto solución al SEL. l formar la aumentada reducir obtenemos: La solución del SEL es única: el conjunto solución es el punto P (x = 0, =, z = 0); la opción que describe esto es 3

8 Ma09, Tarea No 9: Líneas planos en R 3 9. Respecto al conjunto de R 3 formado por las soluciones a se puede decir que: E F x z = x z = 5 x + 5 z = Es un plano que pasa por el origen. Es una línea que pasa por el origen. onsta de un solo punto porque tiene solución única. Es un plano que no pasa por el origen. Es vacío porque es inconsistente. Es una línea que no pasa por el origen. ebemos encontrar describir el conjunto solución al SEL. l formar la aumentada reducir obtenemos: El sistema tiene solución única x =, = 3, z = 3. Por lo tanto, el conjunto solución se reduce al punto P (, 3, 3); respuesta 0. Respecto al conjunto de R 3 formado por las soluciones a se puede decir que es... 3 x z = x 5 z = 3 x 5 z = 3 x 3 3 z = una línea con vector de dirección d =<,, >. vacío porque el sistema es inconsistente. 3 el punto P (,, ). un plano con vector normal n =<,, >. Indique su selección de ser necesario reporte los números que completan la respuesta. ebemos encontrar describir el conjunto solución al SEL. l formar la aumentada reducir obtenemos: El sistema tiene infinitas soluciones, la fórmula para todas ellas se obtiene: a) Llevando cada renglón no cero a una ecuación: x + z = z = b) espejando las variables delanteras x = z z = + z c) Introduciendo las variables libres igual a sí mismas x = z = + z z = z d) Escribiendo en la forma vectorial x z = 0 + z oncluimos que el conjunto solución es una línea que pasa, entre muchos puntos, por el punto P (,, 0) que tiene como vector de dirección a d =<,, >. La opción que describe la solución es la opción, sin embargo la parte restante de ella tiene un vector de dirección d =<,, > que no inicia como el nuestro d =<,, >. quí debemos recordar que cualquier múltiplo escalar de nuestro vector, es un vector de dirección válido. Para que inicie con, como lo pide la opción, lo multiplicaremos por -/ para obtener: d = d = Entonces nuestra respuesta será <,, >=<, /, / >, 0.5, 0.5 El primer valor () indica la opción los valores restantes llenan los espacios de la opción con valores correspondientes del vector de dirección que inicia con, como pide la opción

9 Ma09, Tarea No 9: Líneas planos en R 3 9. Respecto al conjunto de R 3 formado por las soluciones a se puede decir que es... 3 x + 3 z = 9 x + z = 53 x = 30 x + 30 z = un plano con vector normal n =<,, >. una línea con vector de dirección d =<,, >. 3 vacío porque el sistema es inconsistente. el punto P (,, ). Indique su selección de ser necesario reporte los números que completan la respuesta. ebemos encontrar describir el conjunto solución al SEL. l formar la aumentada reducir obtenemos: El sistema tiene solución única x = 3, =, z =. Por lo tanto, el conjunto solución se reduce al punto P (3,, ). Nuestra respuesta será, 3,, El primer valor indica la opción que seleccionamos los restantes las componente del punto P que se solicita. Respecto al conjunto de R 3 formado por las soluciones a se puede decir... x + 3 z = x + z = x 3 + z = que es una línea con vector de dirección d =<,, >. que es el punto P (,, ). 3 que es un plano con vector normal n =<,, >. que es vacío porque el sistema es inconsistente. ebemos encontrar describir el conjunto solución al SEL. l formar la aumentada reducir obtenemos: Es decir, que el conjunto de soluciones corresponde a los puntos que satisfacen la ecuación: x + 3 z = Esto corresponde a la ecuación de un plano que no pasa por el origen ( está igualado a algo diferente de cero) cuo vector normal es <, 3, > (el vector formado por los coeficientes de las variables en la ecuación): La opción correcta es 3 los valores que la complementan son 3-3. Respecto al conjunto de R 3 formado por las soluciones a se puede decir que es... 3 x z = 0 x 3 z = 5 x 5 0 z = 3 x 3 35 z = una línea con vector de dirección d =<,, >. vacío porque el sistema es inconsistente. 3 el punto P (,, ). un plano con vector normal n =<,, >. Indique su selección de ser necesario reporte los números que completan la respuesta. ebemos encontrar describir el conjunto solución al SEL. l formar la aumentada reducir obtenemos: El sistema es inconsistente; así, el conjunto solución es el conjunto vacío. Opción