Algebra Lineal: Espacios Generados. Introducción

Transcripción

1 ducción En esta presentación veremos cómo comparar entre sí dos espacios generados. Esto es relevante porque recordamos que los espacios generados finen los conjuntos solución a SEL. De manera que comparar si dos sistemas ecuaciones son equivalentes (es cir, con el mismo conjunto solución) será verificado que los espacios generados que proporcionan sus conjuntos solución son iguales. Esta pregunta cómo se comparan entre sí dos espacios es interesante por que en general los espacios generados son infinitos, cómo comparar conjuntos infinitos? En esta presentación veremos el resultado que permite hacer la comparativa. Que esencialmente dice que la clave está en los conjuntos generadores; es cir, el caso infinito se reduce al caso finito. Cuando se dice comparar entre sí dos espacios generados, se refiere a si uno ellos está o no totalmente contenido en el otro.

2 Teorema Si V = Gen {x 1,, x m }, y W = Gen {y 1,, y k } son conjuntos vectores en R n. Todo vector x i (i = 1, 2,..., m) pertence a W si y sólo si V W. Es cir, para verificar que un espacio generado V está totalmente contenido en un espacio generado W, basta y sobra que cada uno sus generadores sea un elemento l espacio W. Los elementos un conjunto generador un espacio generado son como sus anclas: para que otro espacio generado W lo contenga, basta y sobra que contenga todas sus anclas. W x 3 x 1 V x 2 R n

3 Demostración (Suficiencia) Supongamos que todo vector x i (i = 1, 2,..., m) pertence a W. Veamos que V W. Como W = Gen {x 1,, x m }, ben existir escalares c ij para i = 1,..., m y j = 1,..., k tales que x i = c i1 y c ik y k Sea w un vector V cualquiera. Como V = Gen {x 1,, x m }, entonces ben existir escalares a 1, a 2,...,a m tales que v = a 1 x a m x m Sustituyendo cada x i obtenemos: v = a 1 (c 11 y c 1k y k ) + a 2 (c 21 y c 2k y k ) +... a m (c m1 y c mk y k )

4 Demostración (continuidad) Si sarrollamos los productos anteriores y agrupamos respecto a los vectores y j obtenemos v = (a 1 c a m c m1 )y (a 1 c 1k + + a m c mk )y k Por consiguiente, cualquier vector v V es combinación los vectores y j y por tanto, pertenece a W. Probando que V W. (Necesidad) Supongamos ahora que V W. Por tanto, cualquier vector V pertenece a W. En perticular, pertenecen a W los vectores x i = 0 x x x i x m don se concluye que cada vector x i W.

5 Diga si U V, V U, U = V, o no son comparables entre si, don U = Gen u 1 = V = Gen v 1 =, u 2 = , v 2 =, u 3 =

6 Veamos si U V : De acuerdo al resultado previo bemos ver si todo u i V. Para ello construimos /4 [v 1, v 2 u 1 ] = [v 1, v 2 u 2 ] = [v 1, v 2 u 3 ] = Como cada sistema es consistente u i V y así U = Gen {u 1, u 2, u 3 } V / /

7 Veamos si V U: De acuerdo al resultado previo bemos ver si todo v i U. Para ello construimos [u 1, u 2, u 3 v 1 ] = [u 1, u 2, u 3 v 2 ] = Así al ser consistente el primer sistema se verifica que v 1 U, pero al ser inconsistente el segundo sistema v 2 / U. Por lo tanto, V = Gen {v 1, v 2 } U. Al haber probado las dos contenciones, concluimos que sólo se cumple U V.

8 Note que para verificar que U V, en lugar revisar la consistencia [v 1 v 2 u 1 ], [v 1 v 2 u 2 ], y [v 1 v 2 u 3 ] basta formar la aumentada [v 1 v 2 u 1 u 2 u 3 ]; reducir y ubicar los pivotes: si todos los pivotes están a la izquierda, entonces la contención se cumple: si hay al menos un pivote a la recha, entonces la contención no se cumple. Para que se cumpla la igualdad V = U be verifica rque se cumplen simultáneamente U V y V U.