Límite superior y límite inferior de una sucesión

Transcripción

1 Límite superior y límite inferior de una sucesión Objetivos. Definir las nociones de los límites superior e inferior de una sucesión y estudiar sus propiedades básicas. Requisitos. Supremo e ínfimo de un conjunto. Trabajo con desigualdades, supremos e ínfimos. 1. Notación. Sea a = (a n ) n N una sucesión en R y sea I N un conjunto de índices. Entonces en vez de sup{a n : n I} se escribe sup a n. n I 2. Proposición. Sea a = (a n ) n N una sucesión creciente en R, esto es, a n a n+1 para todo n N. Entonces lim a n = sup a n. Demostración. Denotemos sup n N a n por b. Consideremos tres casos: b =, b R y b = Sea b =. Entonces a n = para todo n N. Como se sabe, el límite de una sucesión constante es igual a su (único) valor. 2. Sea b R y sea U una vecindad de b. Entonces existe un ε > 0 tal que (b ε, b+ε) U. El número b ε no es cota superior del conjunto {a n : n N} y por lo tanto existe un k N tal que a k > b ε. Como la sucesión (a n ) n N es creciente, para cualquier n k obtenemos a n a k > b ε. Por otro lado, a n b < b + ε para todo n N. Hemos demostrado que a n (b ε, b + ε) y por lo tanto a n U para todo n k. 3. Sea b = + y sea U una vecindad de b. Entonces existe un E > 0 tal que (E, + ] U. El número E no es cota superior del conjunto {a n : n N}, por lo tanto existe un k N tal que a k > E. Como la sucesión (a n ) n N es creciente, para cualquier n k obtenemos a n a k > E. Por otro lado, a n + para todo n N. Hemos demostrado que a n (E, + ] y por lo tanto a n U para todo n k. n N 3. Proposición. Sea x = (x n ) n N una suseción en R. Definimos una sucesión a = (a k ) mediante la regla a k := sup x n. Entonces la sucesión a es decreciente. Demostración. Sea k N. Entonces {x n : n k+1} {x n : n k}, y de esta contención se sigue la desigualdad a k+1 a k. Límite superior y límite inferior de una sucesión, página 1 de 5

2 4. Definición (el límite superior de una sucesión). Sea x = (x n ) n N una sucesión en R. Su límite superior se define mediante la siguiente fórmula: lim sup x n := inf sup x n. Los resultados escritos antes de la definición implican que lim sup x n = lim sup k 5. Ejercicio. Escriba la definición del límite inferior en forma el supremo de ínfimos de colas. Justifique que el límite inferior se puede escribir también como el límite de ínfimos de colas. Vamos a demostrar un criterio de límite superior en términos de cuantificadores y desigualdades, sin usar conceptos de nivel más alto tales como cotas superiores e inferiores, supremos e ínfimos. Necesitamos repasar ciertos criterios útiles. 6. Lema (supremos, ínfimos y desigualdades, repaso). Sea A R y sea b R. Recuerde demostraciones de las siguientes afirmaciones: sup(a) b a A a b. (1) sup(a) < b = a A a < b. (2) sup(a) b = a A a < b. (3) sup(a) > b a A a > b. (4) sup(a) b = a A a b. (5) sup(a) > b = a A a b. (6) También justifique las afirmaciones similares para inf: inf(a) b a A a b. (7) inf(a) > b = a A a > b. (8) inf(a) b = a A a > b. (9) inf(a) < b a A a < b. (10) inf(a) b = a A a b. (11) inf(a) < b = a A a b. (12) Notamos que en (4) y (10) se usan desigualdades estrictas. El siguiente lema nos ayuda pasar de desigualdades no estrictas a desigualdades estrictas. 7. Lema (pasar de una desigualdad no estricta a desigualdades estrictas). Sean α, β R. Entonces α β γ > β γ > α γ > β γ α. (13) α β γ < β γ < α γ < β γ α. (14) x n. Límite superior y límite inferior de una sucesión, página 2 de 5

3 8. Lema (criterio de que el límite superior es menor o igual que un número dado). Sea x = (x n ) n N una sucesión en R y sea b R. Entonces lim sup x n b c > b k N n k x n < c. Demostración. Usamos la siguiente notación: u k := sup x n, Demostremos la implicación =. Supongamos que L b. L := lim sup x n. Por el criterio (13), Sustituimos la definición de L: c > b c > L. Usamos (10): Sustituimos la definición de u k : Aplicamos la regla (2): c > b c > inf u k. c > b k N u k < c. c > b k N sup x n < c. c > b k N n k x n < c. Ahora demostremos la implicación =. Supongamos que Aplicamos la regla (3): c > b k N n k x n < c. Usamos la notación u k : Por (11) concluimos que Aplicamos la notación L: Aplicamos el criterio (13): c > b k N sup x n c. c > b k N u k c. c > b inf u k c. c > b L c. L b. Límite superior y límite inferior de una sucesión, página 3 de 5

4 9. Lema (criterio de que el límite superior es mayor o igual que un número dado). Sea x = (x n ) n N una sucesión en R y sea b R. Entonces lim sup x n b a < b k N n k x n > a. Demostración. Usamos la notación del Lema anterior. Demostremos la implicación =. Supogamos que L b. Por el criterio (14), Sustituimos la definición de L: a < b L > a. a < b inf u k > a. Aplicamos (8): Sustituimos la definición de u k : Aplicamos (4): a < b k N u k > a. a < b k N sup x n > a. a < b k N n k x n > a. Ahora demostremos la implicación =. Supongamos que a < b k N n k x n > a. Aplicamos (4): Usamos la notación u k : Aplicamos la regla (9): Usamos la notación L: Aplicamos el criterio (14): a < b k N sup x n > a. a < b k N u k > a. a < b inf u k a. a < b L a. L b. Límite superior y límite inferior de una sucesión, página 4 de 5

5 10. Teorema (criterio de límite superior). Sea x = (x n ) n N una sucesión en R y sea b R. Entonces lim sup x n = b si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: 1. Para cualquier c > b existe un k N tal que x n < c para todo n k. 2. Para cualquier a < b y cualquier k N existe un n k tal que x n > a. Demostración. Se sigue de los Lemas 8 y Ejercicio. Enuncie y demuestre una proposición similar para el límite inferior. 12. Relación entre el límite superior y el límite inferior. Sea (x n ) n N una sucesión en R. Entonces lim inf x n lim sup x n. Demostración. Para cada k N, comparar inf x n con sup x n, y luego pasar al límite cuando k. 13. Teorema (criterio de la existencia de límite en términos de lim sup y lim inf). Sea x = (x n ) una sucesión en R. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) la sucesión x n tiene un límite en R. (b) lim sup x n = lim inf x n. Si se cumplen estas condiciones, entonces lim x n = lim sup x n = lim inf x n. (15) Demostración. Supongamos que L R y x n = b. De la estructura de vecindades en R se sigue que c > b k N n k x n < c, (16) y a < b k N n k x n > a. (17) De (16) se sigue que lim sup x n b, y de (17) se sigue que lim inf x n b. Tomando en cuenta que lim sup x n lim sup x n, se obtiene la igualdad (15). Ahora supongamos que se cumple (b) y denotamos lim sup x n por b. De la desigualdad lim sup x n b obtenemos (16), y de la desigualdad lim inf x n b obtenemos (17). De (16) y (17) se sigue que lim x n = b. Límite superior y límite inferior de una sucesión, página 5 de 5