Ejercicios Decir si cada una de las siguientes expresiones es cierta o falsa: j , c) j 1. j 4, b) j 2, k 2

Transcripción

1 Ejercicios.. Decir si cada una de las siguientes expresiones es cierta o falsa: d) 30ÿ ÿ00 k j 4 k 30ÿ 00 ÿ k j 4, b) k ÿ00 00, c) 0ÿ p ` j q ` 0ÿ j,.. Expresar con notación de sumatorio: ` 3 ` 3 4 ` ` 0, b) ` 40 ` 900 ` ` ` , c) x ` 3x 4x 3 ` 5x 4, d) a 0 x 4 ` a x 3 ` a x ` a 3 x ` a 4, e) a 5 a 4 b ` a 3 b a b 3 ` ab 4 b 5, f) a 5 ` a 4 b ` a 3 b ` a b 3 ` ab 4 ` b Sabiendo que jpj`q j j`, hallar la suma de ř n.4. Hallar las sumas siguientes (n P N):. jpj`q pj q. (Usar la igualdad j pj q j, j P N.) b) j. (Apoyarse en.).5. Probar que x n y n px yqpx n ` x n y ` ` xy n ` y n q para cada n P N, x, y P R. Escribir el segundo miembro con notación de sumatorio. Esta expresión recibe el nombre de Fórmula o Identidad Ciclotómica..6. Deducir de la Identidad Ciclotómica la suma de ř n xj, x. Hacer operaciones en la expresión p xq ř n jxj para deducir la suma de ř n jxj, x. Análogamente en p xq ř n j x j para deducir la suma de ř n j x j, x.

2 .7. Demostrar por inducción las propiedades siguientes (n P N): c) e) k npn ` qpn ` q, b) 6 k npn ` q, ÿ n k 3 d) k k k? k ě? n, f) k n` k ` 4 kpk ` qpk ` q ar j aprn q r k k p q k`. k np3n ` 7q pn ` qpn ` q, (r ),.8. Deducir de las ecuaciones, 4 p ` q, 4 ` 9 ` ` 3, 4 ` 9 6 p ` ` 3 ` 4q, una fórmula general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y demostrarla mediante el Principio de Inducción Matemática..9. Dado un número n P N, se define su factorial como n! npn qpn q, y también se define 0!. Dados dos números m, n P N Y t0u con m ě n, se define el coeficiente binómico m sobre n como ˆm m! n n!pm nq!. Probar las siguientes propiedades: b) c) ˆm 0 ˆm, m ˆm m, n m n ˆm m ` n n ` ˆm m m ˆm `. n ` m,

3 .0. Probar la fórmula del Binomio de Newton: para cada x, y P R y cada n P N, px ` yq n `n j xj y n j. Deducir de ella que: ˆn n ` n ` ` ` ` n, n ˆn n ˆ n b) n ` ` ` p q ` p q n 0. n.. Demostrar que 7 n` 48 n 7 (n P N) es divisible por Demostrar que n ` 5n (n P N) es múltiplo de 9..3 (Desigualdad de Bernouilli). Probar que para todo x ą y todo n P N se verifica p ` xq n ě ` nx. b) Demostrar también que si n ě y x 0 la desigualdad anterior es estricta..4. Probar las siguientes desigualdades para n P N: n! ą n (n ě 3), b) pnq! ă n pn!q, d c c) n ` pn q ` ` b `? ă? n `..5. Sean x, y ą 0 y para cada k, n P N, sea α k,n j k`n j xj y n j. Probar, mediante la fórmula del Binomio de Newton, que α,n nxpx ` yq n. b) Hallar α,n. Sugerencia: calcular antes β,n jpj q`n j xj y n j. 3

4 c) Obtener un procedimiento para calcular α k,n para cualesquiera k, n P N..6 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Probar que si x,..., x n, y,..., y n P R, entonces ÿ n ÿ n ÿ n x j y j ď. Deducir que, si a ` b c ` d, entonces ac ` bd ď..7. Sea P n la propiedad ř n k k pn`q 8. x j Probar que si P n es cierta, entonces P n` es cierta. b) Discutir la afirmación: se deduce por inducción que P n es cierta para todo n P N..8. Decidir para qué números naturales n es cierta la desigualdad n ą n. Demostrarlo por inducción..9. Comparar n n` y pn`q n para n P N, y enunciar y demostrar qué desigualdad se verifica entre ambos números..0 (Desigualdad de las Medias). Probar por inducción que si a, a,..., a n son números reales positivos tales que a a a n, entonces a ` a ` ` a n ě n. Deducir de aquí que si x, x,..., x n son números reales no negativos cualesquiera, entonces x ` x ` ` x n ě n n? x x x n, es decir, su media aritmética es siempre mayor o igual que su media geométrica... Probar que para todo número natural n es ` ` n n ă 3... Demostrar que el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto que tiene n elementos es n..3. Hallar las soluciones de las desigualdades siguientes: y j x ` 9x ` 6 ě x `, b) x ` x ă, c) x x ` 5 ă 0, d) 3x x ą 0, e) ` x 3x ` ď, f) x ` 9x ` 6 x ` g) x 4x ` 4 x ą 0, h) ` x 3 3x ` 4 ď 3x `. x ě, 4

5 .4. Resolver las ecuaciones: x 5x ` 6 px 5x ` 6q, b) x x x ` x `, c) px ` 4x ` 9q ` px 3q x ` 4x ` 9 ` x 3, d) x x ` 0, e) x x ` Resolver las siguientes desigualdades: x ` x ` ă, b) x 5 ă x `, c) 3x 5 ă 3, d) x ă, e) x x ` ą, f) ă x ă, g) x x ą, h) x x ` x ą, i) x ` x ă, j) ` x ă x, k) ď x3 x ď..6. Estudiar para qué números reales se cumple: x ` x ă y x ` x ă, b) x x 5x..7. Sea x P R. Demostrar que si x ď ε para todo ε ą 0, entonces x 0. Qué números reales x cumplen que x ď ε para todo ε ą 0?.8. Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, de los siguientes conjuntos, indicando si son máximo o mínimo respectivamente: t n` n P N u Y t0u, b) t n P N u, n n c) t n n P N u, d) t x P Q x ă? u Y t x P Q ą 7 u, n x 5 e) t n P N u, f) t ` n n p qn n P N u, 8ď g) t x P R n x np3n qx ` pn 3n q 0 u, n h) t p q n n` n` i) t x P R x ` x ă 0 u, j) t x P R x ă 0, x ` x ă 0 u, k) t x P R x ` x ` ě 0 u, l) 8ď p č 8 p č 8 r n n n n n n n n.9. Sea A un conjunto, s sup A y ε ą 0. Se puede asegurar que existe algún a P A tal que s ε ă a ă s? En caso afirmativo, demostrarlo. En caso negativo, dar un contraejemplo y modificar las desigualdades anteriores para que sea cierto. 5 n

6 .30. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, acotados, de números reales. Demostrar que si A Ă B, entonces sup A ď sup B, ínf A ě ínf B..3. b) Probar que si x ď y para todos los x P A, y P B, entonces y por lo tanto sup A ď ínf B. sup A ď y para todo y P B, x ď ínf B para todo x P A, c) Demostrar que si sup A ă ínf B, entonces a ă b para todos los a P A, b P B. Justificar si es cierto el recíproco. Sean A y B dos conjuntos acotados de números reales. Definimos el conjunto A ` B t x ` y x P A, y P B u. Demostrar que suppa ` Bq sup A ` sup B, ínfpa ` Bq ínf A ` ínf B. b) Sean A t x, x,..., x n u Ă R, B t y, y,..., y n u Ă R, y consideremos el conjunto Demostrar que C t x ` y, x ` y,..., x n ` y n u. sup C ď sup A ` sup B, ínf C ě ínf A ` ínf B. Dar algún ejemplo que muestre que las desigualdades pueden ser estrictas. 6