Ejercicios de ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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1 Ejercicios de ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Grado en Matemáticas Curso

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3 . Ecuaciones lineales con coeficientes constantes Ecuaciones de primer orden. Encontrar la solución de los siguientes problemas de valor inicial. ẋ = 5x, x(0) = ẋ + x = 0, x(2) =. 3. ẋ + x = te t, x(0) = 3. si 0 t 3 4. ẋ + 2x = b(t), x(0) = 0; siendo b(t) = 0 si t > 3. t si 0 t 5. ẋ + x = b(t), x(0) = ; siendo b(t) = 0 si t >. 2. Encontrar la solución de los siguientes problemas de valor inicial.. ż + 2iz = 0, z(0) = + i. 2. ż + ( i)z = t, z(0) = i. 3. Sea a un número real positivo. Demostrar que toda solución de la ecuación diferencial ẋ + ax = 0, tiende a cero cuando t tiende a. Enunciar y demostrar un resultado análogo para ecuaciones con coeficientes complejos. 4. Sea b: [0, ) R una función acotada y a un número real. Demostrar que el crecimiento de cualquier solución de la ecuación diferencial es, a lo sumo, exponencial. ẋ + ax = b(t), 5. Sea a un número real positivo y sea b: [0, ) R una función tal que existe el límite lím b(t) = β. t + Demostrar que toda solución de la ecuación diferencial ẋ + ax = b(t), tiene límite cuando t tiende a y dicho límite es β/a. Ecuaciones de segundo orden 6. Hallar la solución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:. ÿ + 3y = 0, y(0) = 0, ẏ(0) =.

4 2. ÿ y = 0, y(0) =, ẏ(0) = ÿ + 2ẏ + y = 0, y(0) =, ẏ(0) =. 4. ÿ + 4y = 0, y(0) =, ẏ(0) =. 5. ÿ 2ẏ + 5y = 0, y(0) =, ẏ(0) =. 6. ÿ + ẏ 6y = 0, y(0) = 0, ẏ(0) = ÿ 3ẏ + 2y = 0, y(0) = 2, ẏ(0) =. 7. Hallar la solución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:. ÿ + 3y = t 3, y(0) = 0, ẏ(0) =. 2. ÿ y = t 2 e t, y(0) =, ẏ(0) = ÿ + 2ẏ + y = e t, y(0) =, ẏ(0) =. 4. ÿ + 4y = t sen 2t, y(0) =, ẏ(0) =. 5. ÿ 2ẏ + 5y = 2 cos 2 t, y(0) =, ẏ(0) =. 6. ÿ + ẏ 6y = sen t + te 2t, y(0) = 0, ẏ(0) = ÿ 3ẏ + 2y = e t + e 2t, y(0) = 2, ẏ(0) =. 8. Hallar la solución del problema de valor inicial siendo f la función f(t) = ÿ + 4y = f(t) y(0) = ẏ(0) = 0, si 0 t 2 0 si 2 < t. 9. Sean α, β números reales positivos. Demostrar que toda solución de la ecuación diferencial ÿ + αẏ + βy = 0, tiende a cero cuando t tiende a. Probar que si α o β son negativos, entonces existe al menos una solución no acotada en R Sean B, C números reales. Demostrar que existen A, ϕ R, con A > 0, tales que B cos ωt + C sen ωt = A cos(ωt + ϕ), indicando la relación entre (α, β) y (A, ϕ). Igualmente probar que si D C, entonces existen A, ϕ R, con A > 0, tales que De (a+iω)t + De (a iω)t = Ae at cos(ωt + ϕ). 2

5 2. Sistemas lineales con coeficientes constantes Sistemas homogéneos. Hallar la solución general de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ẋ = x + 2y ẋ = x + 2y () (2) ẏ = 4x + 3y ẏ = y x (3) ẋ = y ẏ = x + z ż = y (4) ẋ = 2x y + z ẏ = 2y + z ż = 2z 2. Hallar la solución de los siguientes problemas de valor inicial ẋ = x y ẋ = x + y ẏ = y x ẏ = y () (2) x(0) = x(0) = y(0) = y(0) = 2 (3) ẋ = 3x y z ẏ = x + y z ż = x y + z x(0) = 3 y(0) = 2 z(0) = 2 (4) ẋ = 3x y z ẏ = x + y z ż = x y z x(0) = 4 y(0) = z(0) = Hallar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales que satisfacen la parte real x e imaginaria y de la función compleja de variable real z = x + iy, si z satisface la ecuación diferencial lineal compleja ż = (α + iω)z. Resolver dicho sistema y comparar con la solución de la ecuación compleja (obtenida en el tema anterior). 4. Hallar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que satisfacen las variables x = y, x 2 = ẏ, si la función y satisface la ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea ÿ+αẏ+βy = 0. Resolver dicho sistema y comparar con la solución obtenida en el tema anterior. 5. Sea A una matriz real simétrica y sea v, v 2,..., v n } una base ortonormal formada por vectores propios de A correspondientes a los valores propios λ, λ 2,..., λ n }. Probar que la solución del problema de valor inicial Ẋ = AX, X(0) = X 0 se puede escribir en la forma X(t) = e λ t v, X 0 v + e λ 2t v, X 0 v e λnt v n, X 0 v n. 3

6 Exponencial de una matriz 6. Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales Ẋ = AX. Al realizar el cambio de variable X = P X el sistema se transforma en X = Ā X. Hallar la relación entre las matrices A y Ā. 7. Hallar la exponencial de las siguientes matrices sumando la serie exponencial [ ] [ ] 0 0 J = K = Utilizando las propiedades de la exponencial matricial, y el resultado del ejercicio anterior, hallar la exponencial de las siguientes matrices [ ] [ ] a b a b L = M =. b a b a 9. Hallar la exponencial de las siguientes matrices () (2) (3) (4) (5) (6) Utilizando la exponencial matricial, hallar la solución del problema de valor inicial ẋ ẏ = x y, x(0) y(0) =. ż z z(0) 2. Utilizando la exponencial matricial, hallar la solución del problema de valor inicial ẋ ẏ = x y, x(2) y(2) = 0. ż 2 z z(2) 4

7 22. Sea A una matriz diagonal por bloques [ ] A 0 A =. 0 A 2 Probar que la exponencial de A es también diagonal por bloques y que [ ] e e A A = 0 0 e A Sea J λ una matriz de Jordan, con un sólo bloque, asociada a un valor propio λ. Hallar exp(tj λ ). 24. Para una matriz real cuadrada A probar que. e AT = (e A ) T, y 2. det(e A ) = e Tr A. Deducir de estas propiedades que la exponencial de una matriz antisimétrica es una matriz ortogonal, pero no toda matriz ortogonal es la exponencial de una matriz antisimétrica. Sistemas no homogéneos 25. Hallar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales ẋ = 2y + sen(t) ẏ = 2x + con condiciones iniciales x(0) =, y(0) =. 26. Hallar la solución del problema de valor inicial ẋ ẏ = x y + t 0, x(0) y(0) =. ż 0 z z(0) 27. Hallar la solución del problema de valor inicial 2 ẋ ẏ = 0 4 x y + et 0, ż 0 0 z e t x(2) y(2) = 0. z(2) 28. Sea A una matriz triangular superior por bloques [ ] A B A =. 0 A 2 5

8 Probar que la exponencial de A es también triangular por bloques [ ] e e A A C = 0 e A, 2 hallando el valor de C. 29. Consideremos el sistema lineal Ẋ = AX + b(t), donde b(t) es una función periódica de periodo T > 0.. Probar que si X(t) es una solución del sistema, entonces X(t+T ) también lo es. 2. Probar que X(t) es una solución periódica de periodo T si y sólo si existe t 0 R tal que X(t 0 ) = X(t 0 + T ). 3. Probar que el sistema homogéneo admite soluciones T -periódicas no triviales si y sólo si e T A tiene un valor propio. Cuales son las soluciones periódicas? Cómo son los valores propios de A? 4. Probar que si la única solución T -periódica del sistema homogéneo es la solución trivial entonces el sistema no homogéneo tiene una única solución T -periódica cuyo valor inicial viene dado por T X 0 = (e T A I n ) e τa b(τ) dτ. Ecuaciones de orden superior 30. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior:. y IV 5... y + 6ÿ + 4ẏ 8y = 0 2. y IV +... y + ÿ = 0 3. y V 6ẏ = 0 4. y V + 5y IV 2... y 0ÿ + ẏ + 5y = 0 5. y IV + y = y + ẏ = tan t y 4ẏ = t + cos t + 2e 2t 3. Resolver los siguientes problemas de valor inicial:.... y IV y = 0, y(0) =, ẏ(0) = ÿ(0) = 0, y (0) = 2. y IV y +4ÿ 20ẏ+25y = 0, y(0) = ẏ(0) = ÿ(0) =... y (0) = 0 3. y IV 3... y + 3ÿ ẏ = 0, y(0) = ẏ(0) = ÿ(0) =... y (0) = y + ÿ + ẏ + y = t + e t, y(0) =, ẏ(0) = ÿ(0) =... y (0) = Sea γ la función de Green para el problema de Cauchy de la ecuación diferencial y (n) + a n y (n ) + + a ẏ + a 0 y =

9 Probar que la familia de funciones y = γ, y 2 = γ,..., y n = γ (n ) es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuación (i.e. son soluciones y cualquier otra solución se puede poner de forma única como combinación lineal de ellas). 33. Consideramos una matriz A R (n,n) y sea p(s) = s m + α m s m + + α s + α 0 un polinomio que anula a la matriz A (por ejemplo, su polinomio característico, en cuyo caso m = n). Consideremos las funciones y (t),..., y m (t) que son solución de la ecuación diferencial y (m) + α m y (m ) + + α ẏ + α 0 y = 0, con condiciones iniciales (y(0), ẏ(0),..., y (m ) (0)) iguales a e, e 2,..., e m, respectivamente. Entonces, se puede probar que e ta = y (t)i n + y 2 (t)a + + y m (t)a m. Utilizar este resultado para hallar la exponencial de la matriz A = Sistemas de orden superior 34. Resolver los siguientes problemas de valor inicial: ẍ + y = x(0) =, ẋ(0) =,. x + ÿ = y(0) =, ẏ(0) =. 2ẋ ẏ + y = 0 x(0) =, ẋ(0) =, 2. ẍ ẏ + x 2y = 0 y(0) =. 35. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ÿ + 2ẏ + y 4z = ż + z = 0 con condiciones iniciales y(0) = ẏ(0) =, z(0) = /4. 7

10 3. Transformada de Laplace 36. A partir de la definición, encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: si 0 t <. f(t) = si t t, si 0 t < 2. f(t) =, si t 3. f(t) = e t+7 4. f(t) = te 4t 5. f(t) = t cos t 6. f(t) = e t sen t. 37. La función Gamma de Euler se define mediante la integral: Γ(α) = 0 t α e t dt, α > 0. Demostrar (integrando por partes) que Γ(α+) = αγ(α). Concluir que si α es un número natural α = n, entonces Γ(n + ) = n!. Demostrar que la transformada de Laplace de t α es Γ(α + ), α >. s α+ Qué ocurre para α? Teniendo en cuenta que Γ(/2) = π, encontrar la transformada de Laplace de t, de / t, y de t n 2 con n natural. 38. Demostrar que la función f(t) = e t2 no tiene transformada de Laplace. 39. Supongamos que f(t) tiene transformada de Laplace F (s) definida para s en un intervalo semiinfinito. Demostrar que F (s) tiende a cero cuando s tiende a infinito. 40. Usar las propiedades de la transformada de Laplace para encontrar la transformada de las siguientes funciones. f(t) = 2t 4 2. f(t) = 4t 0 3. f(t) = t 2 + 6t 3 4. f(t) = (t + ) 3 5. f(t) = + e 4t 6. f(t) = ( + e 2t ) 2 7. f(t) = 4t 2 5 sen 3t 8

11 8. f(t) = e t senh t 9. f(t) = sen 2t cos 2t 0. f(t) = cos t cos 2t. f(t) = sen t cos 2t 2. f(t) = te 0t 3. f(t) = t 3 e 2t 4. f(t) = e t sen 3t 5. f(t) = e 5t senh 3t 6. f(t) = t(e t + e 2t ) 2 7. f(t) = e t sen 2 t 8. f(t) = (t )H(t ) 9. f(t) = th(t 2) 20. f(t) = t cos 2t 2. f(t) = t 2 senh t 22. f(t) = te 2t sen 6t 23. f(t) = sen 2 t 24. f(t) = cos 2 t 25. f(t) = senh 2 t 26. f(t) = cosh 2 t. 4. Demostrar las reglas de transformación de la tabla de transformadas de Laplace. 42. Hallar las inversas de las transformadas que se dan a continuación:. F (s) = s 3 (s + )3 2. F (s) = s 4 3. F (s) = s 2 s + s 2 4. F (s) = 4s + 5. F (s) = 4s 4s F (s) = s F (s) = 2s 6 s F (s) = s 2 + 3s s 9. F (s) = s 2 + 2s 3 9

12 2s F (s) = (s 2)(s 2 + 4s + 3). F (s) = s 2 (s 2 + 4) s 2. F (s) = (s 2 4)(s + 2) 3. F (s) = (s + 2) 3 4. F (s) = s 2 6s + 0 s 5. F (s) = s 2 + 4s + 5 s 6. F (s) = (s + ) 2 7. F (s) = 2s s 2 (s + ) 3 8. F (s) = e 2s s 3 9. F (s) = e πs s F (s) = e s s(s + ) s 2. F (s) = (s 2 + ) F (s) = ln s 3 s F (s) = π 2 arctan s F (s) = 3s 2 6s + 5 (s + )(s 3)(s 2) 25. F (s) = 3s2 + 5s + 3. s 3 (s + ) 43. Escribir cada función en términos de funciones escalón unitarias y hallar su transformada de Laplace 0 si 0 t <. f(t) = t 2 si t t si 0 t < 2 2. f(t) = 0 si t 2 si a < t < b 3. f(t) = 0 para cualquier otro valor 0

13 44. Calcular la transformada de Laplace de las funciones:. f(t) = t 0 e τ cos τdτ 2. f(t) = t 0 τet τ dτ 3. f(t) = t t sen τdτ 0 4. f(t) = () (t 3 ) 5. f(t) = (t 2 ) (t 4 ) 6. f(t) = (e t ) (e t cos t). 45. Utilizar el teorema de la convolución para hallar la transformada inversa de:. F (s) = s(s + ) 2. F (s) = (s + )(s 2) s 3. F (s) = (s 2 + 4) Utilizar la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas de valor inicial:. ẏ + 4y = e 4t, y(0) = 2 2. ÿ 4ẏ + 4y = t 3 e 2t, y(0) = 0, ẏ(0) = 0 3. ÿ + y = sen t, y(0) =, ẏ(0) = 4. ÿ ẏ = e t cos t, y(0) = 0, ẏ(0) = y + 3ÿ 3ẏ 2y = e t, y(0) = 0, ẏ(0) = 0, ÿ(0) = 6. ÿ + 4y = H(t 2π) sen t, y(0) =, ẏ(0) = 0 7. ẏ + y = f(t) y(0) = 0, donde f(t) = 0 si 0 t < 5 si t 8. ẏ + y = f(t), y(0) = 0, ẏ(0) = donde t si 0 t < π f(t) = si π t < 2π 0 si t 2π. 47. Utilizando la transformada de Laplace, hallar la solución de los problemas del capítulo. 48. Resolver los problemas de valor inicial del capítulo 2 utilizando el método de la transformada de Laplace.

14 4. Sistemas con coeficientes constantes: teoría cualitativa Estabilidad 49. Analizar la estabilidad del sistema Ẋ = AX para cada una de las siguientes matrices A. 2 () 0 0 (2) (3) 0 (4) (5) (7) (6) (8) Determinar la estabilidad de las siguientes ecuaciones diferenciales.... y y + 7ÿ + 7ẏ + 6y = y... y 7ÿ + ẏ + 6y = y... y 7ÿ = Probar que si Ẋ = AX es asintóticamente estable, entonces toda solución tiende a cero exponencialmente. Más concretamente, probar que existen α > 0, C > 0 y t > 0 tales que para todo t > t. e ta X 0 Ce αt X 0, 52. El criterio de Routh-Hurwitz, permite caracterizar las estabilidad asintótica de un sistema lineal sin tener que calcular las raíces de la ecuación característica. Se basa en el siguiente resultado: 2

15 Teorema: Sea p(s) = s n + a s n + + a n s + a n un polinomio real. Todas sus raíces poseen parte real negativa si y sólo si los menores principales de la matriz de Hurwitz a a 3 a 5 0 a 2 a a H = a a a n son todos positivos. Utilizar este resultado para determinar la estabilidad asintótica de las siguientes ecuaciones diferenciales.... y y + 7ÿ + 7ẏ + 6y = ÿ + γẏ + (ω 2 Ω 2 )y = Analizar la estabilidad de las siguientes ecuaciones diferenciales.... y + ÿ 2ẏ + y = 0 2. y (4) y + 3ÿ + 4ẏ + y = 0 3. y (6) 5y (5) + 2y (4) ÿ + ẏ + 3y = 0 Diagrama de fases 54. Supongamos que A es una matriz real 2 2 con valores propios imaginarios, por lo que las órbitas son elipses. Cómo podemos encontrar los ejes de dichas elipses? 55. Dibuja con precisión el diagrama de fases de cada uno de los sistemas diferenciales lineales siguientes, calculando los elementos geométricos que lo determinan (ejes, semiejes, etc.). [ẋ ] () = ẏ [ẋ ] (3) = ẏ [ẋ ] (5) = ẏ [ 2 5 ] [ x y [ [ ] 2 2 x 5] y ] [ [ ] 3 x 2 2] y [ẋ ] (2) = ẏ [ẋ ] (4) = ẏ [ẋ ] (6) = ẏ [ [ ] 2 x 3 ] y [ [ ] x 2 ] y [ [ ] 7 x 4 3] y 56. Para las cuatro primeras matrices del problema 49, hacer un esbozo del diagrama de fases. 3