Transformada de Laplace (material de apoyo)

Transcripción

1 Transformada de Laplace (material de apoyo) André Luiz Fonseca de Oliveira Michel Hakas Resumen En este artículo se revisará los conceptos básicos para la utilización de la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Se tiene como objetivo básico el aprendizaje y comprensión de los siguientes tópicos: La transformada de Laplace. Definición y propiedades. Resolución de ecuaciones diferenciales. La Transformada de Laplace. Definición Definición (Transformada de Laplace unilateral). La transformada de Laplace (unilateral) de la función f(t) esta definida como L f(t) F (s) siendo s una variable compleja (s σ + jω). 0 f(t)e st () Observación. La integral converge absolutamente en el semiplano σ a < σ, donde σ a es denominada la abscisa de convergencia. En este semiplano F (s) es analítica. Observación 2. Condiciones suficientes: f(t) es continua a tramos. f(t) es de orden exponencial. Ejemplo. Impulso unitario. Lδ(t) t 0, N, ˆσ / f(t) < Meˆσt, t > t 0 0 δ(t)e st Observación 3. Se tiene que f(t)δ(t t 0 ) f(t 0 )δ(t t 0 ) δ(t). Ejemplo 2. Escalón unitario. { 0, t < 0 (t), t > 0 L(t) e st e st 0 s + 0 s. + andre@iie.edu.uy mich@iie.edu.uy

2 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 2 Observación 4. Las señales normalmente utilizadas en este texto son denominadas causales, o sea, estarán representadas por funciones del tipo ˆf(t) { 0, t < 0 f(t), t > 0 ˆf(t) f(t)(t). Por simplicidad muchas veces se notará simplemente f(t). Ejemplo 3. Sea la función f(t) e at (t). Le at (t).2 Propiedades 0 + e at e st e (s+a)t e (s+a)t 0 (s + a) + 0 s + a. + A continuación se detallará las principales propiedades de la transformada de Laplace.. Linealidad. Sean las funciones f (t) y f 2 (t) con transformadas F (s) y F 2 (s), respectivamente. Si se define g(t) c f (t) + c 2 f 2 (t), c y c 2 complejos se tiene que L g(t) L c f (t) + c 2 f 2 (t) c F (s) + c 2 F 2 (s), c, c 2. (2) Ejemplo 4. Sea f(t) ( e t + e 2t) (t). Lf(t) F (s) s + + s + 2 2s + 3 (s + )(s + 2). Ejemplo 5. Considere la función f(t) sen(ωt)(t). e jωt e jωt Lf(t) L j2 j2 s jω ω s + jω s 2 + ω 2. Análogamente se puede demostrar que Lcos(ωt)(t) s s 2 + ω Diferenciación real. Sea la función f(t) con transformada de Laplace F (s). Se tiene que df(t) L sf (s) f(0 ). (3) Ejemplo 6. Sea f(t) (t). En este caso se tiene que d(t) L δ(t) L s s 0 Ejemplo 7. Ejemplo 8. dδ(t) L s. d (sen(ωt)(t)) sl sen(ωt)(t) 0 sω/(s 2 + ω 2 ) L L ω cos(ωt)(t) ωs/(s 2 + ω 2 )

3 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 3 Ejemplo 9. d (cos(ωt)(t)) sl cos(ωt)(t) 0 s 2 /(s 2 + ω 2 ) L L ω sen(ωt)(t) + δ(t) ω 2 /(s 2 + ω 2 ) + s 2 /(s 2 + ω 2 ) 3. Diferenciación compleja. Sea la función f(t) con transformada de Laplace F (s). Entonces, excepto en los polos de F (s), En forma genérica Ejemplo 0. Sea la función rampa unitaria f(t) t(t). L t(t) d ( ) ds s s 2. df (s) L tf(t) ds. (4) L t n f(t) ( ) n dn F (s) ds n. (5) 4. Integración real. Sea la función f(t) con transformada de Laplace F (s). Se tiene que t L f(t) F (s) 0 s. (6) Si se considera la transformada de la primitiva (sin límites de integración) L f(t) F (s) + ( ) f(t). (7) s s t0 Ejemplo. Considere la función parabólica f(t) t 2 /2(t). t f(t) t2 t 2 2 τdτ L 0 2 s s 2 s Traslación en el tiempo. Sea la función f(t) con transformada de Laplace F (s). Se tiene que Ejemplo 2. L f(t t 0 ) (t t 0 ) e t0s F (s). (8) L (t t 0 ) e t0s. s Ejemplo 3. Considere la función g(t) 2(t ) + 2(t 3) 2(t 5) 2(t 7). L g(t) 2 s ( e s + e 3s e 5s e 7s). 6. Traslación en frecuencia. Sea la función f(t) con transformada de Laplace F (s). Se tiene que L e s0t f(t) F (s + s 0 ). (9)

4 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 4 Ejemplo 4. e jωt jωt L cos(ωt) f(t) L f(t) f(t) F (s jω) + F (s + jω) 2 Ejemplo 5. Sea la función g(t) tcos(ωt) (t). Por el resultado del ejemplo anterior L g(t) 2 (s jω) 2 + (s + jω) 2 s2 ω 2 (s 2 + ω 2 ) 2 7. Cambio en la escala de tiempo. Sea la función f(t) con transformada de Laplace F (s). Sea la señal f(ct) con c > 0. L f(ct) c F ( s c ). (0) Ejemplo 6. L e 3(2t) (2t) 2 (s/2) + 3 s + 6 L e 6t (t) 8. Transformada del producto de convolución. Sean dos señales f (t) y f 2 (t). El operador producto de convolución genera una nueva señal g(t) tal que g(t) f (t) f 2 (t) t 0 f (t τ)f 2 (τ)dτ La transformada de Laplace de g(t) está dada por t 0 f 2 (t τ)f (τ)dτ f 2 (t) f (t). () L g(t) L f (t) f 2 (t) F (s) F 2 (s), (2) siendo F (s) y F 2 (s) las transformadas de f (t) y f 2 (t), respectivamente. Ejemplo 7. L δ(t) f(t) F (s) F (s) L f(t) δ(t) f(t) f(t). Ejemplo 8. Sea la función f(t) t(t). 9. Teorema del valor inicial. L (t) (t) s s L t (t) (t) (t) t (t). s2 lim s + sf (s) f(0 + ). (3) La función f(t) no debe contener impulsos o singularidades de orden más alto en t 0. Ejemplo 9. Ejemplo 20. (0 + ) lim s + s s. L cos(ωt)(t) s s 2 + ω 2, lim s + s 2 s 2 + ω 2 cos(0+ )(0 + )

5 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 5 0. Teorema del valor final. Sea una señal f(t) tal que existe Entonces lim t + f(t). lim s 0 +sf (s) lim t + f(t). (4) Para que exista el límite sf (s) debe tener todos sus polos con parte real estrictamente negativa. Ejemplo 2. Ejemplo 22. Sea f(t) K ( e at ) (t). L f(t) F (s) K s 2 Transformación inversa lim t + (t) lim s 0 s s. K s + a Ka s(s + a), lim t + f(t) lim s 0 sf (s) K. Dada la función F (s) la transformada inversa permite conocer la función f(t) que tiene a F (s) como transformada de Laplace. 2. Expansión en fracciones simples F (s) L f(t) f(t) L F (s). Cuando F (s) es una función racional (división de polinomios en s), el método más práctico de la obtención de la transformada inversa es mediante la expansión en fracciones simples. Una función racional F (s) a ms m + a m s m +... a s + a 0 s n + b n s n +... b s + b 0 es denominada estrictamente propia si el orden del polinomio en el denominador es mayor que el del polinomio en el numerador (n > m). El método de expansión en fracciones simples puede ser utilizado en el caso de funciones estrictamente propias. Cuando la función racional no cumpla este requerimiento se deberá realizar la división entre los polinomios del numerador y denominador de forma a expresar la función como la suma de un polinomio en s y una función estrictamente propia. 2.. Polo real simple Para cada polo real simple p a la expansión posee un término del tipo A/(s p a ). Esto ocasiona la existencia de un término del tipo Ae pat en la transformada inversa. Los coeficientes de la expansión son calculados como F (s) n(s) d(s) n(s) (s p a ) ˆd(s) A + ˆn(s) s p a ˆd(s) en donde los polinomios (s p a ) y ˆd(s) son primos entre si (s p a es un polo simple). Luego (s p a )F (s) spa A + ˆn(s)(s p a) A. ˆd(s) sp a Genéricamente A (s p a )F (s) spa (5)

6 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 6 Ejemplo 23. F (s) 2(s + 0) (s + )(s + 4) A s + + B s + 4, A 2( + 0) (s + )F (s) s 6, ( + 4) B 2( 4 + 0) (s + 4)F (s) s 4 4, ( 4 + ) F (s) 6 s + 4 s + 4 f(t) ( 6e t 4e 4t) (t) Polos complejos conjugados simples Cada par de polos complejos conjugados (siempre aparecen en par debido a que los coeficientes del polinomio del denominador son reales) determinan la existencia de un término del tipo Ge σt cos (ωt + θ) en la transformada inversa. El cálculo de las constantes de la expansión (G y θ) puede ser realizado de distintas formas. Considere los polos s σ ± jω. F (s) n(s) (s σ jω)(s σ + jω) ˆd(s) A s σ jω + A s σ jω + ˆn(s) ˆd(s) siendo A y A complejos conjugados. Esta forma de cáculo es similar a la de 2... Se tiene que A (s σ jω)f (s) sσ+jω re jθ y A (s σ + jω)f (s) sσ jω re jθ f(t) g(t) + Ae (σ+jω)t + A e (σ jω)t (t) g(t) + re σt e j(ωt+θ) + e j(ωt+θ) (t) f(t) g(t) + 2re σt cos (ωt + θ) (t) g(t) + Ge σt cos (ωt + θ) (t). siendo g(t) L ˆn(s)/ ˆd(s) y G 2r. Ejemplo 24. F (s) s (s + )(s 2 + 2s + 2) s (s + )(s + j)(s + + j) A s + + A B C f(t) f(t) ( ) 2 + 2( ) + 2, + j ( + j + ) ( + j + + j) 2 j 2, j ( j + ) ( j + j) 2 + j 2, e t + j 2 e t+jt + + j 2 e t + 2 e jπ/4 e t+jt + 2 e t jt (t) 2 2 ejπ/4 e t jt B s + j + (t) e t + 2 e t ( e j(t+π/4) + e j(t π/4)) (t) 2 + ( 2 cos t π ) e t (t). 4 B s + + j

7 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 7 Una forma alternativa de cálculo sería F (s) n(s) (s σ jω)(s σ + jω) ˆd(s) n(s) (s σ) 2 + ω 2 d(s) ˆ As + B (s σ) 2 + ω 2 + ˆn(s) ˆd(s) A(s σ) + B + Aσ (s σ) 2 + ω 2 + ˆn(s) ˆd(s) s σ A (s σ) 2 + ω 2 + B + Aσ ω ω (s σ) 2 + ω 2 + ˆn(s) ˆd(s) f(t) g(t) + Acos(ωt) + B + Aσ sen(ωt) e σt (t) g(t) + Ge σt cos(ωt + θ)(t). ω Ejemplo 25. F (s) s (s + )(s 2 + 2s + 2) s (s + ) (s + ) 2 + s + + As + B (s + ) 2 + s 2 2s 2 + As 2 + As + Bs + B s A, B 2 F (s) s + + s + 2 (s + ) 2 + s + + s + (s + ) (s + ) 2 + f(t) e t + e t cos(t) + e t sen(t) (t) + cos(t) + sen(t) e t (t) + ( 2 cos t π ) e t (t) Polos múltiples En el caso de la existencia de polos con multiplicidad m habrán m términos en la expansión en fracciones simples de la forma A j /(s p) j, j,..., m.los coeficientes de la expansión pueden ser calculados como d m j A j (m j)! ds m j (s p)m F (s) sp, j,..., m. Esto implica la existencia de m términos en la transformada inversa, cada uno de la forma Ejemplo 26. A F (s) A j (j )! tj e pt, j,..., m. 3 (s + ) 2 (s + 2) A s B (s + ) 2 + C s + 3 ( 2 + ) 2 3, B , C d 3 ds s + 2 s 3 (s + 2) 2 3, s f(t) 3e 2t + 3te t 3e t (t).

8 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 8 Ejemplo 27. F (s) s3 + 5 (s + ) 4 A s + + A 2 (s + ) 2 + A 3 (s + ) 3 + A 4 (s + ) 4 A 4 ( s ) ( s 4, A 3 ) (4 3)! 3s 2 s! 3 3, A 2 (4 2)! (6s) s 2! 6 3, A 2 (4 )! (6) s 3! 6 f(t) ( 3t + 32 t ) t3 e t (t). 3 Resolución de ecuaciones diferenciales lineales En esta sección se estudiará la aplicación de la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales del tipo d n y n + a d n y n n + + a dy + a 0y u(t) siendo u(t) una función dada y considerando condiciones iniciales d n y n (0 ) α n,..., dy (0 ) α, y(0 ) α 0 Se obtendrá la como solución la función y(t), t > 0, que satisface la ecuación diferencial. Ejemplo 28. Sea la ecuación diferencial 2 + 4dx + 3x u(t) siendo u(t) e 2t (t) y las condiciones iniciales nulas. Aplicando la transformada de Laplace se tiene que d 2 x dx L 2 + 4L + L 3x L e 2t (t) s 2 X(s) + 4sX(s) + 3X(s) s + 2 ( s 2 + 4s + 3 ) X(s) s + 2 X(s) (s + 2)(s 2 + 4s + 3) (s + 2)(s + )(s + 3) /2 s + s /2 s + 3 x(t) 2 e t e 2t + 2 e 3t (t). Ejemplo 29. Sea la ecuación diferencial del ejemplo anterior, pero ahora con entrada u(t) 0 y condiciones iniciales x(0 ) y ẋ(0 ) 2. En este caso d 2 x dx L 2 + 4L + L 3x 0

9 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 9 s 2 X(s) sx(0 ) ẋ(0 ) + 4 sx(s) x(0 ) + 3X(s) 0 ( s 2 + 4s + 3 ) X(s) s s + 6 X(s) s + 6 (s + )(s + 3) 5/2 s + 3/2 s + 3 x(t) 5 2 e t 3 2 e 3t (t). Ejemplo 30. Considere una vez más la ecuación diferencial 2 + 4dx + 3x u(t). Se considera una entrada u(t) e 2t (t) y condiciones iniciales x(0 ) y ẋ(0 ) 2. s 2 X(s) sx(0 ) ẋ(0 ) + 4 sx(s) x(0 ) + 3X(s) s + 2 X(s) s + 6 (s + )(s + 3) + (s + )(s + 2)(s + 3) Ejercicios x(t) x h (t) + x f (t) 3e t e 2t e 3t (t). Ejercicio. Halle la transformada de Laplace de las siguientes funciones: f (t) ( e 0,4t + 2 ) (t), f 2 (t) ( 2e 0,25t + 5e t) (t), f 3 (t) ( e 0,2t sen(5t) ) (t), f 4 (t) ( ( 5cos 0t + π )) (t), f 5 (t) ( te 2,5t) (t), f 6 (t) ( t 2 e t + 3e 4t) (t). 3 Ejercicio 2. Halle la transformada inversa de Laplace para las siguientes funciones: F (s) 0 s(s + ), F 2(s) 5 s(s + ) 2, F 3(s) s + s(s 2 + s + ), F 4(s) 6s + 3 s 2, F 5 (s) 5s + 2 (s + )(s + 2) 2, F 6(s) s 2 (s ), F 7(s) s + 2 s +, F 8(s) 2s2 + 7s + 0 s 2 + 3s + 2.

10 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) 0 Ejercicio 3. Obtener fórmulas generales para las transformadas inversas de las siguientes funciones (todos los parámetros son positivos y 0 < ζ < ): F (s) K (T s + ), F 2(s) K s (T s + ), F 3(s) ω 2 n s (s 2 + 2ζω n s + ω 2 n ), F 4(s) ω 2 n s (s 2 + 2ζω n s + ω 2 n ), F 5 (s) Ka2 (s + a) 2, F 6(s) Ka2 s (s + a) 2, F 7(s) Kab (s + a) (s + b), F 8(s) Kab s (s + a) (s + b), F 9 (s) bc a K (s + a) (s + b) (s + c), F (As + B) 0(s) (s 2 + ωn 2), F (As + B) (s) (s 2 + 2ζω n s + ωn 2), F 2(s) s n Ejercicio 4. Obtenga la transformada de Laplace para las funciones indicadas en las figuras (a) - (d). (a) Ejercicio 4- (b) Ejercicio 4-2 (c) Ejercicio 4-3 (d) Ejercicio 4-4 Figura : Ejercicio 4 Ejercicio 5. Obtenga la transformada de Laplace para las funciones indicadas en las figuras 2(a) - 2(d). Ejercicio 6. Considere la función f(t), tal que L f(t) F (s). 6. Expresar L f(t)cos(ωt) en función de F (s).

11 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) (a) Ejercicio 5- (b) Ejercicio 5-2 (c) Ejercicio 5-3 (d) Ejercicio 5-4 Figura 2: Ejercicio Considere la función g(t) tcos(ωt). Realizar una gráfica de esta función. Utilizando el resultado anterior (6.a) calcular L g(t). 6.3 Considere la función h(t) e t cos(ωt). Realizar una gráfica de esta función. Utilizando el resultado anterior (6.a) calcular L h(t). Ejercicio 7. Resuelva las ecuaciones diferenciales propuestas a continuación: 7. dx + 5x, x(0 ) 0 (6) 7.2 dx + 5x 0, x(0 ) 7.3 dx + 5x e 0,5t, x(0 ) dx + 3x 0, x(0 ) 3, ẋ(0 ) 0

12 C&II - Transformada de Laplace (material de apoyo) dx + 3x 5 x(0 ) 3, ẋ(0 ) 0, 2 d2 x 2 + 8dx + 6x 2, x(0 ) 3, ẋ(0 ) dx + x, x(0 ) 0, ẋ(0 ) dx + x, x(0 ), ẋ(0 ) d 3 x 3 + x 4d dx + 2x e 5t, x(0 ), ẋ(0 ), ẍ(0 ) x 0 x(0 ), ẋ(0 ) x sen(2t) x(0 ), ẋ(0 ) 0