PROBLEMA 1 *( ) + SOLUCIÓN: Sea la superficie de la parte esférica superior, parametrizada con coordenadas cilíndricas de la siguiente manera:

Transcripción

1 PROBLEMA 1 A una esfera maciza de radio unidad se le hace una perforación cilíndrica siguiendo un eje diametral de la esfera. Suponiendo que el cilindro es circular de radio, con y que el eje que se usa para taladrar la esfera es el, el sólido resultante queda definido por: * + Calcular el área total de la superficie exterior de V incluyendo la parte cilíndrica. Para qué valor de a se hace máxima el área calculada? Cuál es el valor del área máxima de V? Sea la superficie de la parte esférica superior, parametrizada con coordenadas cilíndricas de la siguiente manera: {. / } El producto fundamental es Su módulo es Por lo tanto, su superficie es:

2 Por lo tanto, al tratarse de una media-esfera, el área total de la parte esférica es. / El área de la parte cilíndrica viene dado por sin calcular integrales: El área total es. / Para obtener el valor del parámetro a para obtener el valor del área máxima, se deriva e iguala a cero:. / Cuyas soluciones son { Y la que satisface el problema es obteniéndose un área máxima de

3 PROBLEMA 2 Hallar Donde es el campo vectorial Y la superficie S el siguiente conjunto * + Sea D el disco definido por * + Sea W el sólido cuya frontera es la superficie * Y la normal unitaria del sólido + orientada exteriormente como se muestra en la figura

4 Como entonces se puede aplicar el teorema de Gauss a la frontera cerrada del sólido W: Calculando el valor de la divergencia de : Así Y transformando el sólido W a coordenadas esféricas: * + Luego se obtiene el flujo sobre la superficie cerrada Para calcular la integral del flujo sólo sobre la superficie del hemisferio superior de la esfera sin la tapa, entonces se debe calcular la integral del flujo sobre la tapa D y luego determinar la integral de flujo sobre la superficie S según la identidad: La normal orientada exteriormente de la superficie es, luego se calcula el flujo

5 PROBLEMA 3 Sea definido por la siguiente función vectorial Sea la superficie del cono definida por { } y sea D el disco definido por * + a Encuentre el valor del flujo del vector sobre la superficie total del cono con tapa: b Encuentre el valor del flujo del vector sobre la superficie del cono S: a Sea W el sólido cuya frontera es la superficie { Como sólido W: } entonces se puede aplicar el teorema de Gauss a la frontera cerrada del Calculando el valor de la divergencia de : Así Y transformando el sólido W a coordenadas cilíndricas:

6 z Superficie D H r H Superficie S R Además. Así el sólido del cono W en coordenadas cilíndricas es { }

7 b Para calcular la integral del flujo sólo sobre la superficie lateral del cono sin la tapa, entonces se debe calcular la integral del flujo sobre la tapa del cono D y luego determinar la integral de flujo sobre la superficie S según la identidad: La tapa del cono es el plano definido por Cuya normal orientada exteriormente es * + Luego, se determina la integral de flujo sobre la superficie del cono S

8 PROBLEMA 4 Verifique el teorema de Stokes para Si es el paraboloide frontera sentido arbitrario. con la circunferencia como su Sea la circunferencia superficie cuya frontera es. Se debe encontrar una parametrización a la * + Puede parametrizarse adecuadamente usando coordenadas cilíndricas: Como la proyección de la superficie sobre el plano XY es una circunferencia con centro en el origen entonces por lo que la parametrización de S viene dada por { Y el dominio es * } + entonces se puede aplicar el teorema de Stokes que Como el campo vectorial permite determinar el valor de la integral de la trayectoria C mediante

9 Calculando el rotacional del campo vectorial: El producto fundamental de la parametrización es Por otro lado, se calcula la integral de trayectoria por parametrización de la curva permite verificar el Teorema de Stokes lo que * +

10 PROBLEMA 5 Calcule la integral donde es el campo vectorial Y C es la curva de intersección de la superficie con, en el semiespacio desde un punto con grande positivo. con la superficie esférica, orientada en sentido antihorario visto a La ecuación es un cilindro centrado en como se demuestra a continuación. y de radio / tal. / Y la ecuación es una esfera centrada en el origen y radio. La curva C es la intersección del cilindro y la esfera tal como se muestra en la siguiente figura Se debe encontrar una parametrización a la superficie cuya frontera es C, es decir, la parte de la esfera dentro del cilindro :

11 {. /. / } Puede parametrizarse adecuadamente usando coordenadas cilíndricas: Como la proyección de la superficie sobre el plano XY abarca los cuadrantes entonces el ángulo varía y Por lo que la parametrización de S viene dada por {. / } Y el dominio D es { } Como el campo vectorial entonces se puede aplicar el teorema de Stokes que permite determinar el valor de la integral de la trayectoria C mediante Calculando el rotacional del campo vectorial:

12 El producto fundamental de la parametrización es. / La normal a la superficie S cuyo sentido es positivo para la integral de superficie es cuya componente z es positiva. Se puede verificar que la z-componente del producto fundamental vector normal es positiva ya que siempre. Si no hubiese sido positiva, se invierte el orden del producto cruz. Por último se calcula la integral de superficie:

13 PROBLEMA 6 Sean campos escalares con segundas derivadas continuas, V un sólido en el espacio cuya frontera es la superficie cerrada S. a Demuestre que b Demuestre la segunda identidad de Green. c Suponga que es idénticamente cero en V. Muestre que NOTA: La función es la derivada direccional del campo escalar en la dirección del vector unitario normal a S. a Se calcula : entonces se puede aplicar el teorema de Gauss a la frontera cerrada b Como del sólido W: Se calcula la divergencia del campo entonces se tiene que. Usando el resultado anterior de la parte a,

14 c Usando el hecho de que en y usando la identidad de la parte a PROBLEMA 7 Sea S una superficie suave, continua y cerrada, siendo esta la frontera de un sólido V en el espacio y un campo vectorial con segundas derivadas continuas en V. Demuestre que Como sólido : entonces se puede aplicar el teorema de Gauss a la frontera cerrada del Sólo hay que probar que. Sea Luego se calcula y se anulan las derivadas cruzadas segundas por ser

15 PROBLEMA 8 Encontrar las constantes y tales que el campo Sea conservativo. Usando estos valores y encontrar el valor de la siguiente integral: Donde es la curva definida por el siguiente conjunto { } es un campo, es conservativo si y sólo si Calculando el rotacional Así, los valores de a y b que cumplen con la condición anterior son Por lo que el campo Es conservativo. Como es un campo conservativo, entonces existe una función escalar que cumple con Derivando la ecuación anterior respecto a y queda

16 La función f queda Derivando la ecuación anterior respecto a z queda Así, la función potencial es Como el campo lo tanto: es conservativo, la integral sobre no depende de su trayectoria, por Usando la parametrización se calculan las posiciones de los extremos de la curva. /. /.. / /. /. /. / Utilizando una función potencial

17 PROBLEMA 9 Halle la integral donde es la curva es un campo, es conservativo si y sólo si Calculando el rotacional Por lo tanto el campo es conservativo. Como es un campo conservativo, entonces existe una función escalar que cumple con Derivando la ecuación anterior respecto a y queda

18 La función queda Derivando la ecuación anterior respecto a z queda Así, la función potencial es Como el campo es conservativo, la integral sobre no depende de su trayectoria, por lo tanto: Usando la parametrización se calculan las posiciones de los extremos de la curva.. // Utilizando una función potencial

19 PROBLEMA 1 Resolver la siguiente ecuación en variable compleja Se utilizan las siguientes identidades Se realiza el cambio de variable Se multiplica ambos lados por w Se deshace el cambio de variable

20 . /. /. / Se aplica logaritmo complejo en ambos lados de la ecuación. /. /. / Las soluciones vienen dadas por. / PROBLEMA 2 Sea tal que y. Demuestre que

21 PROBLEMA 3 Calcular todos los valores de tales que Si entonces: Las soluciones son:

22 PROBLEMA 4 Encontrar todas las soluciones a la ecuación. /. / Así. /. /. /. /. / Como la ecuación es un polinomio de grado 4, según el teorema fundamental del álgebra entonces tiene 4 raíces siendo estas:. /. /. /. /

23 PROBLEMA 5 Comprobar que la función definida por { Satisface las condiciones de Cauchy-Riemann en el punto punto., pero no es analítica en dicho satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el punto y por lo tanto es derivable en. Sin embargo no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un ε-entorno alrededor de, por lo tanto no es analítica en.

24 PROBLEMA 6 Si en un cierto dominio la función compleja y su compleja conjugada son ambas analíticas, probar que es una función constante en ese dominio. La función analítica satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann por ser una función La función conjugada una función analítica también satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann por ser Por lo tanto las funciones y satisfacen las ecuaciones simultáneamente { Igualando la primera de estas con la tercera igualdad { Igualando la segunda con la cuarta: De estas ecuaciones se obtiene que Por lo que Así la función debe ser constante en todo su dominio.

25 PROBLEMA 7 Sea la función definida por a Hallar una función tal que sea una función analítica. b Expresar como una función que satisface. Como la función es analítica, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann Por lo que La función es Y la función es Y la función es

26 PROBLEMA 8 Sea una región simplemente conexa que no contiene al punto y sea la función definida por c Hallar una función tal que sea una función analítica en. d Expresar como una función. es una función analítica en si y sólo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en : Reescribiendo en términos de logaritmo Y usando la segunda ecuación de Cauchy-Riemann y sabiendo que es una función : Por lo tanto Integrando ambos lados respecto a la variable

27 Luego se usa la primera ecuación de Cauchy-Riemann para determinar igualando las dos ecuaciones anteriores Por lo tanto la función es Reescribiendo en términos de y su conjugada:

28 PROBLEMA 9 Demuestre que si es una función analítica, entonces: a Sus componentes real e imaginaria y satisfacen la ecuación de Laplace b Si C es una curva cerrada en el plano complejo que es frontera del conjunto, entonces a Como la función es analítica, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann Derivando las dos ecuaciones anteriores respecto a cada lado de la igualdad, se tiene que Y Derivando también respecto a Igualando las derivadas cruzadas Se obtiene que

29 b Si C es una curva cerrada en el plano complejo y es una función analítica entonces se puede aplicar el Teorema de Green en el plano complejo: Y como la función f es una función analítica, entonces se satisface las ecuaciones de Cauchy- Riemann: Así Por lo tanto

30 PROBLEMA 10 Una función que satisface Demostrar que tiene que ser una función analítica. Una función analítica satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann Y como es una función analítica, entonces sus componentes reales satisface la ecuación de Laplace ver PROBLEMA 8: Ahora sabiendo que Como las funciones u y v satisfacen la ecuación de Laplace, la expresión anterior se simplifica a La derivada de se puede encontrar a partir de las derivadas de sus componentes u y v:

31 Así y se tiene que

32 PROBLEMA 11 a Halle la serie de Taylor de alrededor de y su radio de convergencia. b Usando la parte a encuentre la serie de Taylor alrededor de de a Se reescribe la serie geométrica para que su serie tenga términos de El radio de convergencia de la serie de Taylor son los valores de z tales que b Se deriva dos veces la serie desarrollada anteriormente

33 PROBLEMA 12 Sean con y sea la siguiente función Encuentre las series de Laurent para los siguientes dominios a b c Primero se descompone la función en fracciones simples Donde se obtienen CASO 1: Las series de Convergen en su serie de Taylor con potencias positivas alrededor de z=0 ya que ambas se encuentran dentro de su radio de convergencia. /

34 . / por lo tanto. /. / CASO 2: La serie de Taylor de diverge ya que se encuentra fuera de su radio de convergencia, y la serie de converge a la serie de Taylor por encontrarse dentro de su radio de convergencia. Se desarrolla una expansión en serie de Laurent de potencias negativas para la función.. /. /. / CASO 3: En este caso todas las series de Taylor divergen y sólo convergen la expansión de potencias negativas en serie de Laurent

35 Por lo tanto. / Así se resume que { También la serie que converge en se puede expresar como Con {

36 PROBLEMA 13 Determine los primeros cuatro términos de la serie de Laurent, centrada en de Y diga cuál es la región de convergencia. derivando ambos lados la ecuación anterior { Expandiendo las series parcialmente

37 PROBLEMA 14 Calcular la integral a b c Factorizando

38 a CASO 1: No encierra ningún polo, por lo que borde es la curva por lo que es una función analítica en la región cuyo b CASO 2: Encierra dos polos y ya que se verifica que estos se encuentran dentro de la región Se calculan los residuos asociados a cada polo simple, no se calcula el residuo asociado a ya que esta es una singularidad evitable y su residuo vale cero. c CASO 3: Sólo encierra el polo ya que se verifica que este se encuentra dentro de la región Por lo tanto se tiene solo el residuo en y este ya ha sido calculado anteriormente:

39 PROBLEMA 15 Calcular Se tiene un polo doble en y un polo simple en dentro de la circunferencia. Por lo tanto, sus residuos son: En En

40 PROBLEMA 16 Sea la función definida por a Encuentre las singularidades de y calcule el residuo en cada uno de estos puntos. b Calcule Los polos en este caso suceden cuando Así Según el Teorema Fundamental del Álgebra la ecuación anterior solo tiene 4 raíces. Los 4 polos simples son: Como el denominador de la función anterior tiene ceros simples, entonces se puede expresar de la forma Derivando la ecuación anterior Y evaluándola en Cualquier residuo en cualquiera de sus polos viene dado en forma general por

41 Como. Entonces Y la fórmula del residuo se simplifica a En.. /. // En.. /. // En En La circunferencia de radio infinito encierra todos los polos, por lo tanto

42 PROBLEMA 17 Sea una función entera tal que con. Calcular Como entonces es un polo de multiplicidad 2 y es un polo simple. Como ambos polos se encuentran dentro del disco entonces la integral se calcula mediante el teorema de los residuos Para el polo doble en se tiene que Luego Para el polo simple en se tiene que

43 PROBLEMA 18 Sea la circunferencia recorrida en sentido antihorario. Sea Demostrar que es constante en * + * + CASO 1 cuando : Como el punto z satisface entonces quiere decir que este se encuentra fuera de la circunferencia C y así no encierra el polo w = z por lo tanto Como el integrando es una función analítica porque el polo no está encerrado por C, entonces su residuo es nulo CASO 2 cuando : Como el punto z satisface entonces quiere decir que este se encuentra DENTRO de la circunferencia C y así encierra el polo w = z por lo tanto la integral se calcula como el residuo del integrando en este polo: {

44 PROBLEMA 19 Sea, con la función definida por Encuentre explícitamente. Se tiene un polo doble en y polos simples en. Por lo tanto, sus residuos son: En En En

45 PROBLEMA 20 Sea la región interior a la curva y sea una función analítica excepto en que tiene un polo de multiplicidad. Además tiene un cero de multiplicidad con. Demuestre que Como tiene un cero de multiplicidad entonces se cumple que: Como tiene un polo de multiplicidad entonces se cumple que:

46 PROBLEMA 21 Sea una función definida por Calcule el residuo de la función en. Expandiendo la serie parcialmente y evaluando en Derivando la serie término a término y evaluando en

47 PROBLEMA 22 Sea un valor entero y sea una función analítica alrededor de un punto tal que Calcule el residuo de la función en, en términos de los coeficientes de la serie Se pone Además se conoce que es una función cuya parte analítica tiene la serie: Evaluando la serie anterior en se tiene

48 PROBLEMA 23 Calcule. / Clasificando las singularidades del integrando dentro del disco. / Se tiene que es una singularidad esencial ya que la serie de. / Presenta infinitas potencias negativas y también se tiene un polo simple en. Primero se determina el residuo asociado a la singularidad. Para esto se encuentra el coeficiente del término de de la serie de. /. / El residuo en es el coeficiente del término de la serie:. / El residuo en se halla a partir de la fórmula integral de Cauchy. /. /. /. /. /

49 PROBLEMA 24 Calcule Como en el integrando presenta una singularidad esencial, entonces se calcula el residuo mediante series de potencias de Laurent: En el integrando contiene un polo doble, por lo tanto su residuo es:. /. /

50 PROBLEMA 26 Sea la función definida por Encuentre las singularidades de y calcule el residuo en cada uno de estos puntos. Todos los polos de son polos simples. Se hallan a partir de la ecuación: Como tiene ceros simples entonces se puede expresar como: Derivando la ecuación anterior Y evaluándola en A partir de la identidad Entonces. /

51 PROBLEMA 27 Sea la función definida por Encuentre las singularidades de y calcule el residuo en cada uno de estos puntos. Por lo que tiene polos simples en Como el denominador de la función anterior tiene ceros simples, entonces se puede expresar de la forma Derivando la ecuación anterior Y evaluándola en En Todos residuos valen -1

52 PROBLEMA 28 Sea la función definida por Encuentre las singularidades de y calcule el residuo en cada uno de estos puntos. Los polos de la función anterior son simples y suceden cuando Ya que la función coseno y la función seno no se anulan en el mismo punto. Se conoce que la función seno se anula en un múltiplo entero de por lo que los polos son Como la función seno tiene ceros simples en cada como esta función se puede escribir Derivando la ecuación anterior Y evaluándola en Por lo que todos los residuos en todos los polos valen 1.

53 PROBLEMA 29 Clasificar las singularidades de Y hallar los residuos en dichos puntos. Primero se encuentran los puntos tales que De las cuales se sabe que tiene 4 raíces por el Teorema Fundamental del Algebra. Empleando el cambio de variable Se emplea el método de Ruffini para factorizar el polinomio ya que se conoce una de sus raíces : Las singularidades se presentan en En entonces se presenta una singularidad evitable ya que el límite de la función en dicho punto es finito esto es aplicando la regla de L'Hopital: Entonces la función en es una función analítica y su residuo es nulo Las singularidades que se presentan en, que anula únicamente el denominador, son polos simples ya que su multiplicidad algebráica de todas estas raíces es 1 viendo la factorización.

54 Calculando los residuos en estos polos: En En. / En. /

55 PROBLEMA 30 Sea la función definida por Encuentre, clasifique las singularidades de y calcular es una singularidad evitable. Sólo es necesario probar que el límite de cuando existe y es finito:. / Si se redefine la función como { Entonces es una función analítica en. es un polo simple. Sean las funciones analíticas y tales que tiene un cero simple en y tiene un cero de orden 2 en, entonces tiene un polo simple en :

56 Por lo tanto el siguiente límite existe y es finito: son polos de orden 2. no tiene un cero en y tiene un cero de orden 2 en, entonces tiene un polo doble en con : Por lo tanto el siguiente límite existe y es finito: Para calcular Se encuentran las singularidades que se encuentran dentro del disco : se encuentra dentro del disco ya que se encuentra dentro del disco ya que se encuentran fuera del disco ya que Se concluye que y se encuentran dentro del disco. Por el teorema de los residuos:. /

57 Así

58 PROBLEMA 31 Sea la función definida por Encuentre, clasifique las singularidades de calcular, determine el residuo en sus polos simples y es una singularidad evitable. Sólo es necesario probar que el límite de cuando existe y es finito: Entonces es una función analítica en si se redefine la función como { es un polo doble. Sean las funciones analíticas y tales que. /. /. /. /. /. / tiene un cero doble en, entonces tiene un polo doble en

59 Por lo tanto el siguiente límite existe y es finito:. / Son polos simples los puntos tal que a excepción de. tiene un cero simple en, entonces tiene un polo simple en : Por lo tanto el siguiente límite existe y es finito: Calculando el residuo en :. / Sólo el polo simple está contenido en por lo tanto. /

60 PROBLEMA 32 Calcule Esta integral de variable real se resuelve usando cálculo de variable compleja. Se reemplaza por la función compleja en el integrando y se plantea una integral de curva cerrada definiendo las siguientes trayectorias: * + { } Así, si entonces La integral sobre la recta se reduce a la integral de variable real. La integral sobre el integrando que contiene la función seno es cero ya que el integrando es una función impar:

61 La integral sobre la curva cerrada se calcula con el teorema de los residuos. Primero se encuentran los polos: Así el integrando tiene dos polos de orden 2 en. Pero solamente el polo se encuentra dentro de la trayectoria y sólo se debe calcular el residuo en este polo: La integral sobre la curva es cero cuando Primero se encuentra el módulo máximo del integrando: Por lo tanto si se invierte la desigualdad anterior: y multiplicando por la función exponencial cuyo módulo es uno: Si entonces

62 La integral sobre el arco de circunferencia es cero. Se toman límites de lados de la igualdad de en ambos Así

63 PROBLEMA 33 Sea la región definida por { Calcule el área de. Se desea calcular la integral del área de la región que es } Esta integral de variable real se resuelve usando cálculo de variable compleja. Se reemplaza por la función compleja en el integrando y se plantea una integral de curva cerrada definiendo las siguientes trayectorias: * + { } { } Así, si entonces

64 Como la primera integral se calcula como La segunda integral es cero cuando arco de circunferencia :. Se encuentra una cota para el integrando sobre el Por lo tanto Como La integral sobre tiene un módulo máximo La integral sobre el arco de la circunferencia pequeña parametrización: se calcula introduciendo la

65 y la integral sobre la región completa cuyo borde es, se calcula mediante el teorema de los residuos. El integrando tiene tres polos simples:,,, pero el único polo que se encuentra en el interior de es : Recordando que Se toman límites en ambos lados en y La integral sobre

66 La integral sobre La integral sobre La integral sobre es nula ya que su módulo máximo tiende a cero cuando Sustituyendo las expresiones cuando y

67 PROBLEMA 34 Demuestre que Con entero. Esta integral de variable real se resuelve usando cálculo de variable compleja. Se plantea una integral de curva cerrada definiendo las siguientes trayectorias: * + { } { } Así, si entonces La primera integral se calcula como La tercera como

68 La segunda integral tiende a cero cuando el parámetro R tiende a infinito. La función tiene una cota en el arco Y como Así Por lo tanto Entonces La integral de curva cerrada se calcula usando el teorema de los residuos, de la siguiente manera La función excepto cuando. es analítica en todos los puntos de la región interior a la curva cerrada

69 Estas serían todas las raíces de para ya que esta ecuación representa las n-raíces de un polinomio. La curva sólo encierra a uno de esto polos, es decir, el único polo que hay en esta región es la primera raíz compleja, cuando : Sea. Como tiene ceros de multiplicidad simple en, entonces se puede escribir esta función como El residuo de la función en este polo se puede calcular a partir de la fórmula Así Se tiene el valor de la integral sobre la curva cerrada. /

70 PROBLEMA 35 * Sea el conjunto + y sea la función definida por a Encuentre explícitamente. b Usando la parte a muestre la siguiente fórmula de integración Sugerencia: Calcule. a Esta integral de variable real se calcula transformando al plano complejo. La curva de integración es la circunferencia unitaria de centro en el origen parametrizada por, { Y definiendo la región interior a - } como * + Así Se hallan los polos del integrando, es decir, se resuelve la ecuación:. /. /

71 . /. /. / Por lo tanto b A partir del resultado anterior Se deriva la función dos veces:

72 PROBLEMA 36 Calcule Como el integrando es una función par entonces multiplicando por 2 los límites de integración y dividiendo entre 2 el argumento del integrando y la integral sumando a los límites de integración y restando al argumento del integrando. /. / Ahora esta si es una integral cuyos límites de integración pertenecen a una circunferencia completa. Esta integral de variable real se calcula transformando al plano complejo. La curva de integración es la circunferencia unitaria de centro en el origen parametrizada por {, - } Y definiendo la región interior a como * + Así

73 . / Se hallan los polos del integrando, es decir, se resuelve la ecuación: Y se tienen los dos polos sobre el eje real Sólo está dentro de la circunferencia unitaria, se calcula el residuo sólo en :. /

74 PROBLEMA 37 Calcule Como el integrando es una función par entonces multiplicando por 2 los límites de integración y dividiendo entre 2 el argumento del integrando y la integral Ahora esta si es una integral cuyos límites de integración pertenecen a una circunferencia completa. Esta integral de variable real se calcula transformando al plano complejo. La curva de integración es la circunferencia unitaria de centro en el origen parametrizada por {, - } Y definiendo la región interior a como * + Así. /

75 Se hallan los polos del integrando, es decir, se resuelve la ecuación: Y se tienen los dos polos sobre el eje real Sólo está dentro de la circunferencia unitaria, se calcula el residuo sólo en :