Fórmula integral de Cauchy

Transcripción

1 Fórmula integral de Cauchy Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C!

2 Fórmula integral de Cauchy Otro resultado que se sigue de la fórmula integral de Cauchy es el siguiente: Sea C un camino cerrado simple, orientado positivamente y sea f una función analítica en el interior y sobre C. Si z es cualquier punto en el interior de C, entonces: (derivadas de funciones analíticas)

3 Fórmula integral de Cauchy Mientras que para f '' En general (extensión de la fórmula integral de Cauchy):

4 Fórmula integral de Cauchy Una consecuencia importante de la fórmula integral de Cauchy es la siguiente: si una función es analítica en un punto, existen sus derivadas (a todo orden) en ese punto y éstas son también funciones analíticas Similarmente, si f=u+iv es analítica en un dominio D, entonces todas las derivadas parciales de u y v existen y son analíticas.

5 Dos consecuencias más de la extensión de la fórmula de Cauchy son el teorema de Liouville y el teorema fundamental del álgebra.

6 Teorema de Liouville y Teorema fundamental del álgebra Lema: Se f(z) una función analítica en el interior y sobre los puntos de un círculo C R de radio R. Si M R denota el máximo valor de f(z) en C R, entonces conocida como desigualdad de Cauchy

7 Teorema de Liouville y Teorema fundamental del álgebra Teorema de Liouville: Si f(z) es una función entera y acotada en todo el plano complejo, entonces f(z) es constante en todo el plano. Utilizando el T. de Liouville podemos demostrar el T. fundamental del álgebra: Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero

8 Sucesiones y Series Veamos cómo se expande una función analítica en una serie de potencias. Preliminares: Se dice que una sucesión infinita de números complejos tiene como límite z, si para todo existe un entero tal que siempre que Como puede ser arbitrariamente pequeño, se sigue que z n se aproxima a z

9 Sucesiones y Series El límite de z es único, si existe. Cuando el límite existe, se dice que la sucesión es convergente y que converge a z, es decir, Si la sucesión no tiene límite se dice que es divergente o que diverge.

10 Sucesiones y Series Teorema. Sea y. Entonces si y sólo si y

11 Sucesiones y Series Se dice que una serie de números complejos es convergente, si la sucesión de sumas parciales tiene un límite S, es decir,

12 Teorema. Sea y. Entonces Sucesiones y Series si y sólo si y

13 Comentario. Sucesiones y Series De forma similar a las series (reales), una condición necesaria para la convergencia de una serie de números complejos es que

14 Sucesiones y Series Serie absolutamente convergente: Se dice que una serie es absolutamente convergente si la serie de números reales es convergente. Además, como las series y son convergentes

15 Por lo tanto la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia de la serie misma. Pero puede pasar que converge y diverge. En este caso se dice que la serie es condicionalmente convergente.

16 Series de Taylor Similarmente al caso de funciones reales, supongamos que queremos encontrar un polinomio P n (z) que se aproxime a una función analítica f(z) en una vecindad del punto z 0 Las series de Taylor nos dan una forma de construir dicho polinomio: se busca que las derivadas (n derivadas) del polinomio sean iguales a las derivadas de f(z) en z 0

17 Series de Taylor Es decir, De modo que:

18 Así tenemos el siguiente teorema: Sea f una función analítica en un disco Entonces f admite la representación de potencias: donde conocida como serie de Taylor (o serie de Maclaurin cuando ). Además la serie de Taylor es única

19 Series de Laurent Quisiéramos investigar la posibilidad de tener una representación en serie de una función alrededor de una singularidad z 0. Notemos que la serie de Taylor ha sido aplicada a funciones analíticas en una vecindad de z 0 El teorema de Laurent nos dice cómo y bajo que condiciones podemos representar una función alrededor de una singularidad

20 Series de Laurent Teorema: Sea f una función analítica en el anillo centrado z 0 sea C un camino cerrado simple contenido en ese dominio anular. Entonces, f(z) admite la representación

21 Series de Laurent Notemos que si f(z) fuera analítica en el interior del disco, entonces los coeficientes b n serían nulos y el desarrollo se reduce a una serie de Taylor, ya que

22 Series de Laurent En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent se obtienen por métodos distintos a las expresiones integrales a n y b n dadas anteriormente