Series Sucesiones y series en C

Transcripción

1 Series En este capítulo vamos a estudiar desarrollos en serie de funciones holomorfas, para lo cual vamos en primer lugar a revisar resultados de la teoría de series, adaptándolos a series de términos complejos. 5.. Sucesiones y series en C Una sucesión de C es una colección {z n } donde z n C para todo n N. Claramente, como z n = x n + iy n, una sucesión de C equivale a una sucesión de R 2, {(x n, y n )}. En consecuencia, lím z n = z lím x n = x, lím y n = y, siendo z = x + iy. Si existe el límite (si z C) se dice que la sucesión es convergente. Se dice que la sucesión es divergente, y se escribe lím z n =,

2 66 5 Series si y sólo si la sucesión de los módulos es divergente Ejemplos 5.. lím z n =. () La sucesión es convergente y tiene por límite z n = e n + i n + n lím z n = i. (2) La sucesión z n = ( ) n n es divergente ya que z n = n que es divergente. (3) La sucesión z n = i n no tiene límite (no es convergente, pero tampoco divergente ya que z n = ). Una serie es el límite de una sucesión de la forma S n = n z n, y se denota lím S n = z n. Los términos S n de esa sucesión se denominan sumas parciales. Una serie es convergente si y sólo si sus partes real e imaginaria son series convergentes. Proposición 5.. Si z n es convergente, entonces lím z n = 0. De otra forma, si lím z n o no existe o es distinto de 0, entonces la serie no converge. k= Se dice que la serie z n es absolutamente convergente si z n <. Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente (el recíproco es falso, y si una serie converge pero no absolutamente se denomina condicionalmente convergente). Para serie reales de términos no negativos a n 0 (como pueden ser los módulos de los términos de una serie compleja) existen varios criterios de convergencia: () Criterio de comparación: Si 0 a n b n, b n < = a n <.

3 5.2 Sucesiones y series de funciones complejas 67 (2) Criterio del límite: Dadas las series de términos no negativos a n y b n, tenemos tres casos: a n (a) Si lím = c, con 0 < c <, b n a n (b) Si lím =, b n a n (c) Si lím = 0, b n a n < a n < = b n < = (3) Criterio de la raíz: Si lím n a n = r, entonces (a) si r >, a n =, (b) si 0 r <, a n <. b n <. b n <. a n <. (4) Criterio del cociente: Si a n > 0 y existe lím a n+ a n = r, con 0 r, entonces lím n a n = r y se concluye lo mismo que en el criterio de la raíz Sucesiones y series de funciones complejas Se dice que una sucesión de funciones f n : Ω C, con Ω un dominio cualquiera de C, converge puntualmente a la función f : Ω C si lím f n(z) = f(z) para todo z Ω. Se dice que converge uniformemente si σ n sup f n (z) f(z) = lím σ n = 0. z Ω

4 68 5 Series Proposición 5.2. La convergencia uniforme implica la convergencia puntual (no al revés). Proposición 5.3. Si f n converge uniformemente a f y f n es continua en Ω para todo n N, entonces f es continua en Ω. Teorema 5. (de la convergencia holomorfa). Sea {f n } una sucesión de funciones holomorfas en el dominio Ω C; si f n converge uniformemente a f en todo disco cerrado de Ω, entonces f es holomorfa en Ω y además f n converge uniformemente a f en todo disco cerrado de Ω. Las definiciones de convergencia se aplican igualmente a series de funciones sin más que considerar las sucesiones de sumas parciales. Proposición 5.4 (criterio M de Weierstrass). Si f n (z) M n para todo n N y z Ω, entonces, si M n <, la serie f n (z) converge absoluta y uniformemente. Ejemplo 5.2 (Función zeta de Riemann). La función zeta de Riemann se define como ζ(z) = n z. Tomemos B a = {z C : Rez a}; en este conjunto, n z = n x+iy = n x n iy = n x n a, donde hemos usado el valor principal n iy = e iy ln n, cuyo módulo es (en otra rama encontraríamos una acotación similar y, por tanto, las conclusiones serían idénticas). La serie < a >, na de modo que la serie de ζ(z) converge en Ω = a> B a = {z C : Re z > } Series de potencias Sea {a n } una sucesión de R. Se definen límite superior y límite inferior de la sucesión como ( ( ) lím supa n = ínf sup a k ), lím inf a n = sup ínf a k, n k n n k n

5 5.3 Series de potencias 69 con el convenio sup A = si A no está acotado superiormente, e ínf A = si A no está acotado inferiormente. Con este convenio, los límites superior e inferior siempre existen (aunque pueden ser infinitos). Nótese que si {a n } está acotada superiormente/inferiormente, la sucesión es monótona decreciente/creciente. Propiedades: () lím inf a n lím supa n. (2) lím a n = a lím sup (3) lím inf (4) lím sup / α n supa k β n ínf a k, k n k n a n = lím sup( a n ). (a n + b n ) lím sup (5) Si a n 0 y existe lím a n, lím supa n b n = a n = lím inf a n = a. a n + lím supb n. ( lím a n ) ( lím supb n ). (6) Si a n, b n 0, ( lím supa n b n )( lím supa n lím supb n ). (7) Si a n 0 y α > 0, ( lím supa α n = ) α. lím supa n (8) Si f es continua y monótona creciente, lím supf(a n ) = f y si es continua y monótona decreciente, lím inf f(a n) = f ( lím supa n ), ( ) lím inf a n.

6 70 5 Series Utilizando la propiedad (3) se pueden deducir propiedades análogas a las propiedades (4) (7) para el límite inferior. Ejemplos 5.3. () lím sup n n + =. (2) lím sup( ) n =. (3) Ojo! Expresiones como lím sup n no tienen sentido porque no hay orden en C. n + i La forma más general del criterio de la raíz para la convergencia de series de términos no negativos se obtiene cambiando lím por lím sup. La ventaja de esta forma es que, mientras que el límite de n a n puede no existir, el límite superior existe siempre. Una serie de potencias centrada en z 0 C es una serie de la forma a n (z z 0 ) n. ( ) Se define el radio de convergencia de la serie de potencias ( ) como el valor R dado por la fórmula de Cauchy-Hadamard R = lím sup a n /n, 0 R. El disco D(z 0, R) se denomina círculo de convergencia de la serie ( ). Teorema 5.2. La serie de potencias ( ) (a) converge absolutamente en el disco z z 0 < R y diverge en su exterior, z z 0 > R, y (b) converge uniformemente en cada disco cerrado z z 0 r < R. Dem.: (a) Por el criterio de la raíz (con lím sup), la serie será absolutamente convergente (divergente) si n lím sup an z z 0 n < (> ), lo que, por la fórmula de Cauchy-Hadamard, implica z z 0 R < (> ) z z 0 < R (> R).

7 5.3 Series de potencias 7 (b) No hay nada que demostrar si R = 0, así que supongamos que R > 0 y tomemos r < ρ < R. Como lím sup a n /n = R < ρ, existirá N N tal que si n N será a n < ρ n, con lo que si z z 0 r y n N, a n (z z 0 ) n = a n z z 0 n < ( ) n r =. ρ nrn ρ Como (r/ρ) n <, la convergencia uniforme se sigue del criterio de Weierstrass. Proposición 5.5. El radio de convergencia se puede obtener como cuando este límite existe. R = lím a n a n+, Ejemplos 5.4. Calcula los radios de convergencia de las siguientes series. () z n. Aplicando la proposición, n! /n! R = lím /(n + )! = lím (n + ) =. (2) e n z 2n. Convertimos la serie en e n z 2n = e n w n ; entonces, de acuerdo con la fórmula de Cauchy-Hadamard, = lím sup a R k /k = e, k de donde R = /e es el radio de convergencia de la segunda serie. Eso significa que converge (diverge) para w < /e ( w > /e), y como w = z 2, el radio de convergencia de la serie original será R = / e.

8 72 5 Series (3) n 7 z n. Aplicando la proposición, n 7 R = lím (n + ) =. 7 (4) n n z n. Aplicando la fórmula de Cauchy-Hadamard luego R = 0. (5) a n2 z +2+ +n = R a n2 z n(n+)/2 a k = Aplicando la fórmula de Cauchy-Hadamard R = lím sup k luego R = / a 2. = lím supn =, a k z k, donde k=0 { a n2 si k = n(n + )/2 para algún n N, 0 si k n(n + )/2 para todo n N. a k /k = lím sup a n2 2/n(n+) = lím sup a 2n/(n+) = a 2, El teorema 5.2 afirma que una serie de potencias converge cuando z z 0 < R y diverge cuando z z 0 > R, pero nada dice de lo que ocurre en la frontera z z 0 = R. El estudio de la convergencia en la frontera resulta bastante más difícil, y, de hecho, sólo contamos con un resultado parcial: Teorema 5.3. Sea R el radio de convergencia de la serie a n (z z 0 ) n. Si la sucesión {a n R n } es monótona decreciente y converge a 0, entonces la serie converge condicionalmente sobre z z 0 = R, excepto quizá en el punto z z 0 = R. Ejemplos 5.5. () La serie converge en z = excepto en z =. z n n +

9 5.4 Funciones analíticas 73 (2) La serie ( ) n(z 3)n n no verifica las condiciones del teorema en esta forma, pero sí en la forma (3 z) n n, así que converge en z 3 = salvo en el punto 3 z =, es decir, z = 2, donde es claramente divergente Funciones analíticas Una serie de potencias define una función f(z) en su círculo de convergencia D(z 0, R). La propiedad de ser desarrollable en serie de potencias es una de las más importantes que puede tener una función, de modo que es conveniente dar un nombre a las funciones que tienen esa propiedad. Definición 5. (Función analítica). Diremos que f(z) es una función analítica en z 0 si se puede expresar como una serie de potencias de z z 0 en algún disco D(z 0, R), con R > 0. Si una función es analítica en todos los puntos del conjunto Ω C diremos que es analítica en Ω. El primer resultado importante sobre esta clase de funciones lo da el siguiente teorema: Teorema 5.4. Sea f(z) una función analítica en z 0, es decir, a n (z z 0 ) n en D(z 0, R), donde R es el radio de convergencia de la serie. Entonces: (a) f es holomorfa en D(z 0, R) y además f (z) = (n + )a n+ (z z 0 ) n, en D(z 0, R). El radio de convergencia de esta serie es también R.

10 74 5 Series (b) La serie F(z) = a n n (z z 0) n es una primitiva de f(z) en D(z 0, R) y también tiene radio de convergecia R. Dem.: (a) Es consecuencia del teorema de la convergencia holomorfa 5.: las series de potencias convergen uniformemente en cualquier disco cerrado contenido en el círculo de convergencia, y los términos a n (z z 0 ) n son, evidentemente, funciones holomorfas en C. El radio de convergencia es también R como consecuencia de que lím (n + )/n =. (b) Es una repetición del apartado anterior partiendo de la serie de F. Veamos algunas consecuencias de este resultado: Corolario 5.. Sea la serie a n (z z 0 ) n, con círculo de convergencia D(z 0, R). Entonces, (a) f es infinitamente derivable en D(z 0, R) y f (k) (z) = (n + k)(n + k ) (n + )a n+k (z z 0 ) n. (b) Los coeficientes se pueden obtener como a k = f(k) (z 0 ). k! (c) Si dos series de potencias coinciden en todos los puntos de algún entorno de z 0, entonces son idénticas (sus coeficientes son idénticos). Dem.: (a) Se sigue de aplicar una y otra vez el teorema anterior.

11 5.4 Funciones analíticas 75 (b) Basta hacer z = z 0 en la expresión de f (k) (z). (c) Si dos series a n (z z 0 ) n, g(z) = b n (z z 0 ) n, son tales que g(z) en D(z 0, ǫ) para algún ǫ > 0, entonces se cumple (b) y, por tanto, a k = f(k) (z 0 ) = b k. k! Vamos ahora a demostrar uno de los resultados más importantes de la teoría de variable compleja. Ya hemos visto en el teorema 5.4 que toda función analítica es holomorfa. Vamos ahora a demostrar el teorema recíproco, es decir, que toda función holomorfa es también analítica, con lo que analítica y holomorfa se convierten en sinónimos. El teorema que permite asegurar este resultado no es otro que el teorema de Taylor infinito. Éste asegura que el resto del desarrollo de Taylor finito tiende a cero en el disco de convergencia de la serie de Taylor correspondiente. Esto bastará para probar que la función holomorfa es idéntica a su serie de Taylor, demostrando así que es analítica. Teorema 5.5 (Serie de Taylor). f(z) es holomorfa en el dominio Ω C si y sólo si es analítica en Ω. Además, si a Ω y d es la distancia de a a Ω, entonces f (n) (a) (z a) n n! para todo z D(a, d). Dem.: Como el teorema 5.4 prueba que una función analítica es holomorfa, bastará probar el recíproco. Para ello basta probar la fórmula del enunciado. Tomemos cualquier r tal que z a < r < d y C = D(a, r); entonces, el teorema de Taylor finito (teorema 4.2) asegura que con n k=0 f (k) (a) (z a) k + R n+ (z)(z a) n+, k! R n+ (z) = 2πi C f(ζ) dζ. (ζ z)(ζ a) n+

12 76 5 Series Vamos ahora a acotar el resto. Como ζ a = r, ζ z = (ζ a) (z a) ζ a z a = r z a. Por otro lado, como f(ζ) es continua sobre C, alcanzará su valor máximo M; entonces f(ζ) M. Así pues, con lo que Como z a < r, R n+ (z) 2π Rn+ (z)(z a) n+ lím M (r z a )r n+ 2πr = M (r z a )r n, Mr (r z a ) R n+ (z)(z a) n+ = 0, quedando así demostrada la fórmula de la serie de Taylor. ( ) n+ z a. Una importante consecuencia de este teorema es el hecho de que el radio de convergencia de la serie de Taylor sea la distancia a la frontera del dominio Ω donde la función es holomorfa. Eso significa que el radio de convergencia de una serie es la distancia desde el punto a al punto más cercano en el que la función no es holomorfa. Ejemplo 5.6. La series de Taylor de las funciones elementales son: () e z z n =, para todo z C. n! (2) sen z = (3) cos z = (4) senh z = (5) cosh z = ( ) n z 2n+, para todo z C. (2n + )! ( ) n z2n, para todo z C. (2n)! z 2n+, para todo z C. (2n + )! z 2n, para todo z C. (2n)! Evidentemente, R d, pero no puede ser R > d porque si lo fuera f(z) sería analítica en una región donde no es holomorfa, lo cual es imposible. r

13 5.5 Principio de prolongación analítica 77 (6) log( + z) = (7) ( + z) α = ( ) n+zn n, para todo z D(0, ), sobre la rama principal de log( + z). ( ) α z n, para todo z D(0, ), sobre la rama principal de ( + z) α. n En la última serie, la serie binómica, hemos introducido la notación ( ) α α(α ) (α n + ) = si n N, n n! ( ) α =. 0 Como caso particular de la serie binómica tenemos la serie geométrica, convergente si z <, z = z n Principio de prolongación analítica Veamos primeramente un corolario al teorema de la serie de Taylor. Corolario 5.2. Si f(z) es holomorfa en el dominio Ω C y existe z 0 Ω tal que f (n) (z 0 ) = 0 para todo n N, entonces f(z) es constante en Ω. Dem.: Cuando Ω es un disco centrado en z 0 el resultado es una trivial aplicación del teorema de Taylor. Si Ω es un dominio general tomemos z 0 Ω arbitrario y construyamos una curva γ desde z 0 a z 0 (lo que es posible debido a que Ω es conexo). Sea d la distancia de γ a Ω. Elijamos n puntos sobre γ, z,...,z n, de tal modo que z n = z 0 y z k z k < d, k =, 2,...,n. Ahora construyamos los entornos D k = D(z k, d), k = 0,,...,n. Todos ellos están en Ω porque Ω es abierto y d es la distancia de γ a Ω. Por el teorema de Taylor f(z) es constante e igual a f(z 0 ) en D 0. Pero z D 0, luego f (n) (z ) = 0 para todo n N. De nuevo por el teorema de Taylor f(z) es constante e igual a f(z 0 ) en D. Pero z 2 D, luego f (n) (z 2 ) = 0 para todo n N. Repitiendo el argumento llegamos a que f(z 0) = f(z 0 ). Como z 0 es un punto arbitrario de Ω, la función es constante en todo Ω. Con este resultado podemos probar el siguiente teorema: Teorema 5.6. Si f(z) es una función holomorfa en el dominio Ω C y existe una sucesión {a n } Ω, con todos los a n distintos, convergente al punto a Ω y tal que f(a n ) = 0 para todo n N, entonces 0 en todo Ω.

14 78 5 Series Dem.: La continuidad implica que f(a) = 0. Para probar el resultado vamos a demostrar que f (n) (a) = 0 para todo n N. En ese caso, el corolario anterior implicará que f(a) = 0 en todo Ω. Demostraremos que f (n) (a) = 0 para todo n N por reducción al absurdo. Supongamos que es falso, y que f (k) (a) es la primera derivada no nula. Entonces, f (n) (a) (z a) n = n! n=k f (n) (a) (z a) n = (z a) k g(z), n! donde g(z) = f (n+k) (a) (n + k)! (z a)n, g(a) = f(k) (a) k! 0. La función g(z) es, por tanto, analítica en D(a, R), con R el radio de convergencia de la serie de Taylor de f(z). En particular, es continua en a. Ahora bien, g(a n ) = f(a n) (a n a) k = 0, luego g(a) = 0 por continuidad, lo que es una contradicción. El resultado que se sigue de este teorema es de una gran trascendencia: Corolario 5.3 (Principio de prolongación analítica). Sea Ω un dominio de C, y sea {a n } una sucesión de puntos distintos de Ω que converge al punto a Ω. Si f(z) y g(z) son dos funciones analíticas en Ω tales que f(a n ) = g(a n ) para todo n N, entonces g(z) en todo Ω. Dem.: Basta aplicar el teorema a la función f g. El principio de prolongación analítica afirma, pues, que dos funciones holomorfas que coinciden en un conjunto que contenga alguna sucesión como la de la hipótesis (por ejemplo, el eje real, el imaginario, un segmento, una curva... ), tienen que ser idénticas. Esto tiene importantes implicaciones. Por ejemplo, el modo en que construimos las funciones elementales fue buscando alguna función holomorfa que coincidiese con las funciones reales sobre el eje real. El principio de prolongación analítica garantiza que sólo hay una función que cumpla esos dos requisitos, de modo que las funciones que definimos son las únicas extensiones posibles de las funciones elementales reales a todo el plano complejo. Ejemplos 5.7.

15 5.6 Ceros y singularidades aisladas 79 () Halla una función holomorfa, f(z), que verifique f(n) = n 2 /(n 2 + n + 2) para todo n Z. Evidentemente, la función z 2 /(z 2 + z + 2) cumple esa condición, pero también lo hace la función g(z) = z 2 /(z 2 + z + 2) + sen(πz). Es obvio que hay infinitas funciones holomorfas que cumplen esa condición. (2) Halla una función holomorfa, f(z), que verifique f(/n) = n 2 /(n 2 + n + 2) para todo n N. Si escribimos resulta claro que f(/n) = n 2 n 2 + n + 2 = + n + 2 n 2, + z + 2z 2. El teorema garantiza que esa función es única. Uno podría razonar, no obstante, como en el ejemplo anterior y decir que g(z) = + z + 2z 2 + sen(π/z) cumple la misma condición. Sin embargo, esta función no es holomorfa en z = 0, que es el punto límite de la sucesión /n, de modo que z = 0 no está en el dominio de analiticidad de g, al contrario de lo que ocurre con f Ceros y singularidades aisladas Supongamos que f : Ω C es holomorfa en el dominio Ω C. Un punto a Ω en el que f(a) = 0 se denomina cero de f. Por el teorema 5.6, si el conjunto de ceros de f tiene un punto de acumulación, entonces 0 en todo Ω; así pues, si f(z) no es constante, sus ceros deben ser puntos aislados. Cuando una función analítica tiene un cero en a Ω, según el teorema de Taylor (z a) k g(z), g(a) 0. Se dice entonces que a es un cero de orden k. Si una función f(z) es holomorfa en Ω {a}, se dice que en a tiene una singularidad aislada. Tales singularidades pueden ser de tres tipos, atendiendo al comportamiento de lím (z z a a)k+ f(z). ( )

16 80 5 Series () Si el menor valor de k para el que el límite ( ) vale 0 es k = 0, entonces se denomina singularidad evitable. En una singularidad evitable existe el límite lím l, z a de modo que si redefinimos f(a) = l, la nueva función así creada es holomorfa en a. Ejemplo 5.8. La función sen z z y, de hecho, así que la función es holomorfa en C. lím z sen z z 0 z es holomorfa en C {0}; sin embargo, sen z lím z 0 z = lím z 0 sen z = 0, =, { sen z si z 0, z si z = 0, Normalmente, en una singularidad evitable de este tipo se da por sobreentendida la extensión holomorfa de la función; así, decimos simplemente que sen z es holomorfa en C z sobreentendiendo que f(0) =. (2) Si el menor valor de k para el que el límite ( ) vale 0 es p N, entonces se dice que a es un polo de orden p. Cuando f(z) tiene un polo de orden p en a, entonces f se puede escribir como g(z) (z a) p, g(a) 0, con g(z) una función holomorfa en Ω. La razón es que si ( ) vale 0 es porque f(z) diverge en z = a y, por tanto, F(z) = /f(z) tiene un cero en ese punto. Entonces se puede escribir como F(z) = (z a) p G(z) para algún p N, siendo G(z) holomorfa en a y tal que G(a) 0. Entonces, la función g(z) = /G(z). (3) Si el límite ( ) no existe para ningún k N, entonces se dice que f(z) tiene una singularidad esencial en z = a. Ejemplo 5.9. La función e /z tiene una singularidad esencial en z = 0, ya que lím z k+ e /z = lím z 0 (x,y) (0,0) (x2 + y 2 ) (k+)/2 e x/(x2 +y 2).

17 5.7 Series de Laurent 8 A lo largo de rectas x = λy el límite vale que, salvo para λ = 0, no existe. lím y 0 (λ2 + ) (k+)/2 y k+ exp { } λ, (λ 2 + )y Una función que tiene sólo polos o singularidades evitables en un dominio Ω y es analítica en el resto del dominio, se dice que es meromorfa en Ω. Toda función meromorfa en Ω se puede escribir como el cociente g(z)/h(z), donde g y h son funciones analíticas en Ω y h no es idénticamente nula. Los polos de f(z) son los ceros de h(z). Decimos que una función tiene una singularidad aislada en el infinito si f(/z) tiene una singularida aislada en z = 0. Ejemplos 5.0. () La función sen(/z) tiene una singularidad evitable en el infinito. (2) La función z log z no tiene una singularidad aislada en el infinito por el corte de log z. (3) La función e z tiene una singularidad esencial en el infinito. (4) La función z 3 tiene un polo de orden 3 en el infinito Series de Laurent En un polo o en una singularidad esencial, una función holomorfa no tiene desarrollo de Taylor. En estos casos, sin embargo, hay otro tipo de desarrollo en serie que puede utilizarse, que recibe el nombre de desarrollo en serie de Laurent, y cuya existencia está justificada por el siguiente teorema. Teorema 5.7 (Laurent). Sea f(z) una función analítica en un anillo R < z a < R 2, y sea γ cualquier contorno cerrado simple del anillo, que rodee a y que esté orientado positivamente. Entonces, en todo punto z del anillo la función f(z) puede expresarse como n= c n (z a) n, c n = 2πi γ f(z) dz. (z a) n+ Dem.: Construyamos las dos circunferencias C, dada por z a = r > R, y C 2, dada por z a = r 2 < R 2, de tal modo que el anillo cerrado r z a r 2 contenga tanto el punto z como la curva γ, y contruyamos una circunferencia C que rodee el punto z y esté también en ese anillo cerrado (véase la figura 5.).

18 82 5 Series C 2 C z C a γ Figura 5.: Anillo R < z a < R 2 (en amarillo) con las curvas construidas en la demostración del teorema de Laurent. Según el teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos, f(ζ) C 2 ζ z dζ f(ζ) C ζ z dζ f(ζ) dζ = 0, C ζ z y como la última integral vale 2πif(z), por la fórmula integral de Cauchy, f(ζ) 2πi C 2 ζ z dζ f(ζ) 2πi C ζ z dζ. Tal como hicimos para el teorema de Taylor finito, transformaremos el integrando de la primera integral mediante la identidad n ζ z = (z a) k (ζ a) + k+ ζ z k=0 ( ) n+ z a, ζ a y el de la segunda mediante la identidad ζ z = n z ζ = (ζ a) k (z a) + k+ z ζ k=0 ( ) n+ ζ a, z a con lo que n a k (z a) k + R n+ (z)(z a) n+ + k=0 n+ k= b k (z a) k + S n+(z) (z a) n+,

19 5.7 Series de Laurent 83 siendo a k = 2πi b k = 2πi C 2 f(ζ) (ζ a) dζ, R n+(z) = k+ 2πi C (ζ a) k f(ζ) dζ, S n+ (z) = 2πi C 2 f(ζ) dζ, (ζ z)(ζ a) n+ C (ζ a) n+ f(ζ) dζ. Ahora bien, por el principio de deformación de contornos, a k = f(ζ) 2πi (ζ a) dζ, b k+ k = (ζ a) k f(ζ) dζ. 2πi γ Por otro lado, como f(z) es continua sobre C y C 2, su módulo alcanzará un máximo sobre ellas, de modo que habrá un M > 0 tal que f(ζ) M sobre ambas curvas. Además, ζ z ζ a z a { r 2 z a sobre C 2, = z a r sobre C, así que Rn+ (z)(z a) n+ Mr 2 r 2 z a ( S n+ (z) (z a) n+ Mr r z a r z a γ ( z a r 2 ) n+ 0, ) n+ 0, ya que r < z a < r 2. Por lo tanto, si definimos { } a n si n 0 c n = = f(ζ) dζ, b n si n < 0 2πi γ (ζ a) n+ entonces c n (z a) n. n= Vamos a hacer algunas observaciones sobre las series de Laurent. Si f(z) es analítica en el disco z a < R 2, entonces también lo es (z a) n f(z); eso implica que para una función así, c n = 0 para todo n < 0, y la serie de Laurent se conviente en una serie de Taylor.

20 84 5 Series Si f(z) tiene un polo de orden k, entonces (z a) n f(z) será analítica en z = a para todo n > k, con lo que c n = 0 para todo n > k. La serie de Laurent tendrá entonces sólo un número finito de potencias negativas: c k (z a) + c k+ k (z a) + + c k z a + c n (z a) n. Cuando f(z) tiene una singularidad esencial en z = a, la serie de potencias negativas es infinita. Claramente, en una serie de Laurent podemos definir dos radios de convergencia: r = lím sup c n /n, R = lím sup c n /n. Aplicando el criterio de la raíz a la serie positiva y a la negativa concluimos que la serie de Laurent converge en todo el anillo r < z a < R y diverge en su exterior. El coeficiente c tiene un significado especial, ya que f(z) dz = 2πic. γ Si f(z) es holomorfa en el interior de γ, entonces c = 0, y recuperamos el teorema de Cauchy-Goursat. Este resultado nos da, pues, el valor de la integral en dominios múltiplemente conexos. Ejemplos 5.. () La función e /z tiene un desarrollo de Laurent en 0 < z < dado por e /z = n!z n, que se obtiene cambiando z por /z en la serie de Taylor de e z. Nótese que esto implica que e /z dz = 2πi, para todo contorno cerrado simple γ que rodee el punto z = 0. (2) La función γ (z ) 3 es su propia serie de Laurent; el único coeficiente no nulo de la serie es c 3 =.

21 5.8 Métodos prácticos de obtención de series de Laurent 85 (3) Sea la función (z )(z 2) = z z 2. Esta función el meromorfa en C, y tiene dos polos, uno en z = y otro en z = 2. Si denotamos D, D 2 y D 3, respectivamente, los dominios z <, < z < 2 y 2 < z, podemos hallar representaciones en serie en cada uno de ellos. En D, z + 2 convergente si z <. En D 2, z (/z) + 2 convergente si < z < 2. En D 3, z convergente si 2 < z. (/z) z (z/2) = z n + (z/2) = (2/z) = z n 2 = n+ z + n+ z n+ z n 2 = n+ (2 n )z n, 2 n z = n+ z + n z n 2 n+, 2 n z n, 5.8. Métodos prácticos de obtención de series de Laurent La utilidad práctica de la fórmula f(z) dz = 2πic γ (que se explorará en profundidad en el próximo capítulo) se basa en que seamos capaces de obtener la serie de Laurent (o al menos el término correspondiente a la potencia (z a) ) mediante un procedimiento alternativo al cálculo de los coeficientes mediante la definición. Los ejemplos finales del apartado anterior ilustran algunos de estos procedimientos: en concreto, el empleo de desarrollos en serie conocidos y la factorización en fracciones elementales. Vamos a examinar aquí algunos más.

22 86 5 Series Derivación e integración término a término. Un método muy común es obtener la serie de f(z) a partir de su derivada o su primitiva, supuestas conocidas. Ejemplo 5.2. El ejemplo típico es arctanz (sobre la rama principal), cuya derivada es Integrando término a término f (z) = + z = ( ) n z 2n z <. 2 c + y como sobre la rama principal arctan 0 = 0, Multiplicación de series arctanz = ( ) n z2n+ 2n +, ( ) n z2n+ 2n + Supongamos que g(z)h(z) y que Entonces es decir, g(z) = a n z n, h(z) = z <. a n z n. ( a 0 + a z + a 2 z 2 + )( b 0 + b z + b 2 z 2 + ) = a 0 b 0 + (a b 0 + a 0 b )z + (a 2 b 0 + a b 2 + a 0 b 2 )z 2 +, c n z n, c n = n a n k b k. El radio de convergencia de esta serie será el mínimo de los radios de convergencia de las series de g(z) y h(z). Ejemplo 5.3. Vamos a obtener el desarrollo en serie de k=0 a partir de las series e z = ez z z n n!, z = z n.

23 5.8 Métodos prácticos de obtención de series de Laurent 87 Como a n = y b n = /n!, luego c n = n k=0 k!, c n z n, z <. División de series También podemos tener la situación en que g(z) h(z). Denotando igual que antes los desarrollos en serie de f, g y h, esta ecuación equivale a g(z) = h(z)f(z), por lo que a n = n b n k c k. k=0 Se trata de un sistema de ecuaciones triangular, b c 0 a 0 b b c a b 2 b b 0 0 c 2 = a 2, b 3 b 2 b b 0 c 3 a cuya solución se obtiene iterativamente: c 0 = a 0 /b 0, c = (a b c 0 )/b 0, c 2 = (a 2 b 2 c 0 b c )/b 0,. A efectos prácticos, el algoritmo iterativo por el que se obtienen los c n es equivalente a un algoritmo de división de polinomios, solo que empezando desde la potencia menor.

24 88 5 Series Ejemplos 5.4. () Sea la función ez cos z. Vamos a obtener su desarrollo de Taylor a partir de los desarrollos Emplearemos el algoritmo de la división: e z = z + z2 2 + z3 6 + z4 24 +, cos z = z2 2 + z z + 2 z2 + 6 z z4 2 z z4 z 2 z3 z + 2 z z z4 2 z z z4 2 z2 4 z4 2 3 z z4 2 3 z3 Así que el resultado de la división es 7 24 z z4 z + 2 z z z4 +, z < π 2, donde el radio de convergencia es la distancia del origen al primer cero de cos z. (2) Consideremos ahora la función sen z, que tiene polos simples en z = nπ, con n Z. Busquemos un desarrollo de Laurent alrededor de z = 0 a partir del desarrollo de Taylor dividiendo series: sen z = z z3 6 + z5 20,

25 5.8 Métodos prácticos de obtención de series de Laurent 89 z 6 z z5 6 z z4 z + 6 z z3 6 z2 20 z4 6 z2 36 z z z4 Así pues, sen z = z + 6 z z3 +, 0 < z < π, ya que π es el cero más cercano al origen (aparte del origen) de sen z.