Subconjuntos notables de un Espacio Topológico

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2 Capítulo 4 Subconjuntos notables de un Espacio Topológico 4.1 Adherencia Definición (Punto adherente). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S un subconjunto de X. Diremos que x X es un punto adherente de S si todo entorno U de x cumple U S, es decir, U corta a S (no hay ningún entorno de x totalmente contenido en X S). El conjunto de puntos adherentes de S se llama la adherencia de S y se representa por S. Observación.- (1) Tal y como se ha definido la adherencia de un conjunto S, es evidente que S S. (2) Si S 1 S 2, entonces S 1 S 2. La definición exige que se compruebe una propiedad para todos los entornos de un punto. Por tanto, será útil disponer de una caracterización que permita reducir el número de comprobaciones. Esta es una de las razones más importantes de la utilidad del concepto de base de entornos. Proposición Sean (X, τ) un espacio topológico, S X un subconjunto de X, x X, y sea B(x) un base de entornos de x en la topología τ. Entonces x S si, y sólo si V S para cada V B(x). Demostración. - Supongamos que x S, y V B(x). Como B(x) E(x), según la definición de punto adherente, V S. 35

3 36 CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO Si ahora suponemos que todo V B(x) cumple V S. Como B(x) es base de entornos de x, para todo U E(x) existe un V B(x) tal que V U. Como V S, y V S U S tenemos que U S. En particular, si la topología está generada por una métrica, se pueden utilizar algunas bases de entornos formadas por bolas y obtener los siguientes resultados particulares: Ejemplo (1) Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S un subconjunto de X. Entonces, x X es un punto adherente de S (x S) si, y sólo si B(x, r) S, para todo r > 0. (2) Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S un subconjunto de X. Entonces, x X es un punto adherente de S (x S) si y sólo si para todo n N, la bola de centro x y radio 1 n, B(x, 1 n ), corta a S. Recordemos que estas bolas constituyen una base de entornos de x. La propiedad más característica de la adherencia de un conjunto S es la de que es el menor cerrado que contiene al conjunto S. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, y S X un subconjunto, entonces S es un cerrado en (X, τ). Demostración. Veamos que X S es un abierto comprobando que es un entorno de todos sus puntos. Sea x X S, entonces x no es un punto adherente, por tanto, existe U, entorno de x, tal que U S =. Como U es un entorno de x existe un abierto, A τ, tal que x A U. Por tanto A S =. Veamos que A X S, con lo que X S será abierto. Para todo y A, como A es abierto, será un entorno de y que no corta a S, luego y / S. Es decir, A X S. Por tanto X S es un entorno de x. Y esto para todo x que no esté en S, entonces X S es abierto. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, S X un subconjunto y C X un cerrado tal que S C. Entonces S C. Esto quiere decir que S es el menor cerrado que contiene a S. Demostración. Veámoslo por reducción al absurdo. Si C es un cerrado con S C. Supongamos que S C, es decir, que existe un punto x S tal que x / C. Entonces, X C es un abierto que contiene al punto x y como que S C, se cumple que (X C) S =. Por tanto, x no es un punto adherente de S, lo cual es una contradicción. En particular, la propiedad anterior proporciona una caracterización de los conjuntos cerrados como aquellos que contienen a todos los puntos de su adherencia:

4 4.1. ADHERENCIA 37 Corolario Un conjunto C, en un espacio topológico, es cerrado si y sólo si C = C. Demostración. (Ejercicio) El Corolario anterior es equivalente a decir que un conjunto C es cerrado si y sólo si C C, ya que la otra inclusión siempre es cierta. Ejemplo (1) En el espacio topológico trivial (X, τ T ), la adherencia de cualquier conjunto no vacío es el espacio total X. (2) En un espacio topológico discreto (X, τ D ), la adherencia de cualquier conjunto S es el mismo S. (3) En la topología cofinita (X, τ cf ), la adherencia de cualquier conjunto finito es él mismo, y la de los conjuntos infinitos es el espacio total. (4) En (R, τ u ), (0, 1) = [0, 1] Subconjuntos densos Definición (Subonjunto denso). Sea (X, τ) un espacio topológico, diremos que un subconjunto S X es denso en X si S = X. Podemos caracterizar los subconjuntos de la siguiente forma. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S X. Entonces S es denso en (X, τ) si, y sólo si todo abierto no vacío, A τ, cumple que A S. Demostración. - Supongamos que S X es denso, es decir, S = X y sea A un abierto; si x A como x S = X y A es entorno de x, se cumple, por la definición de adherencia, que A S. Supongamos ahora que para todo A abierto, se cumple que A S. Si suponemos que S X, entonces X S sería un abierto no vacío, pero (X S) S =, en contra de lo supuesto. Por tanto, S = X. Ejemplo (1) El conjunto de los racionales Q es denso en (R, τ u ). Destacamos que R contiene, entonces, un subconjunto numerable denso que es Q.

5 38 CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO Definición (Espacio separable). Diremos que un espacio topológico (X, τ) es separable si contiene un subconjunto numerable denso. Ejemplo (R, τ u ) es separable Puntos aislados y puntos de acumulación Definición (Punto de acumulación). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S X. Diremos que un punto x X es un punto de acumulación de S en (X, τ), si cualquier entorno U de x contiene un punto de S distinto de x. Es decir, si (U {x}) S. El conjunto de todos los puntos de acumulación de S se llama la acumulación o conjunto derivado de S, y se representa por S. Definición (Punto aislado). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S X. Diremos que un punto x S X es un punto aislado de S en (X, τ), si existe un entorno U de x tal que U S = {x}. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico y S X. Entonces: a) El conjunto de puntos aislados de S es S S. b) S = S S Demostración. (Ejercicio) Ejemplo (1) En un espacio métrico (X, d) las definiciones anteriores se concretan diciendo que un punto x X es punto de acumulación de S X si para todo r > 0 (B(x, r) {x}) S y que un punto x S X es punto aislado de S si existe r > 0 tal que B(x, r) S = {x}. (2) En R con la topología usual, todo natural n N es un punto adherente a N pero no es de acumulación, es decir, los naturales son puntos aislados en (R, τ u ). En efecto (B(n, 1 2 ) {n}) N =. (3) Si consideramos el conjunto A = { 1 n : n N} en (R, τ u), entonces A = {0} y todos los elementos de A son puntos aislados.

6 4.2. INTERIOR Y FRONTERA Interior y frontera Definición (Punto interior). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S X un subconjunto. Diremos que x S es un punto interior de S si S es un entorno de x. El conjunto de los puntos interiores de S se denomina el interior de S y se representa por S. {}}{ Diremos que un punto x / S es exterior a S si x (X S), es decir x es del interior del complementario de S. Observación.- (1) Si S X con (X, τ) espacio topológico, S S. (2) Si S 1 S 2, entonces

7 40 CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO Ejemplo (1) En R con la topología usual, [0, 1) = (0, 1). (2) En R con la topología usual Q= y el exterior de Q también es vacío. (3) Consideremos un espacio topológico con la topología trivial y sea S un subconjunto de dicho espacio, que no sea el total. Entonces S=. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S X un subconjunto. Un punto x S es interior de S si, y sólo si x / (X S). Esto es lo mismo que decir, S= X (X S) Demostración. - Ejercicio Una importante característica del interior de un conjunto es que se trata del mayor abierto contenido en dicho conjunto. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico y S X un subconjunto. Entonces se cumplen: a) S es abierto. b) Si A S y A es abierto, entonces A S Esto quiere decir que S es el mayor abierto contenido en S. Demostración. - (a) Por la proposición anterior sabemos que S es el complementario de un cerrado, por tanto es abierto. (b) Sea A un abierto no vacío tal que A S, y sea x un punto de A. Como A es abierto, es un entorno de x y por tanto también lo es S. Por tanto, x es un punto interior de S, luego A S. En particular, esta proposición proporciona una caracterización de los conjuntos abiertos como aquellos en los que todos sus puntos son interiores: Corolario Un subconjunto S de un espacio topológico (X, τ) es abierto si y sólo si S = S. Se puede caracterizar el interior en términos de bases de entornos.

8 4.2. INTERIOR Y FRONTERA 41 Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, S X y x S. Si B(x) una base de entornos de x en la topología τ. Entonces x S si, y sólo si existe V B(x) tal que V S. Demostración. (Ejercicio) De nuevo nos interesa concretar estas caracterizaciones en el caso de los espacios métricos. Ejemplo (1) Sea (X, d) un espacio métrico y S X; x S si, y sólo si existe r > 0 tal que B(x, r) S. (2) Sea (X, d) un espacio métrico y S X; x S si, y sólo si existe n N tal que B(x, 1 n ) S. Definición (Frontera). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S X un subconjunto. Diremos que x X es un punto frontera de S si todo entorno U de x cumple que U S y U (X S). El conjunto de puntos frontera de S se denomina la frontera de S, y se representa por fr(s). Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S X un subconjunto. Entonces, fr(s) = S (X S) Demostración. (Ejercicio) Corolario Si S es un subconjunto de un espacio topológico, entonces fr(s) es cerrado. Ejemplo (1) La frontera de (0, 1) en (R, τ u ) es el conjunto de dos elementos {0, 1}. (2) En (R, τ u ), fr(q) = Q Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, sea S X un subconjunto y B(x) una base de entornos de un punto x X en la topología τ. Entonces x fr(s) si, y sólo si para todo V B(x) se cumple que V S y V (X S). Demostración. (Ejercicio) Ejemplo (1) Sea (X, d) un espacio métrico y S X un subconjunto, un punto x fr(s) si, y sólo si para todo r > 0, B(x, r) S y B(x, r) (X S). (2) Sea (X, d) un espacio métrico y S X un subconjunto, un punto x fr(s) si, y sólo si para todo n N, B(x, 1 n ) S y B(x, 1 n ) (X S).

9 42 CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S X un subconjunto. Los puntos adherentes son, o bien puntos interiores, o bien puntos frontera. Es decir: fr(s) = S S Demostración. Hemos visto en la proposición [4.2.9, pag.41] que fr(s) = S X S. Entonces por la proposición [4.2.3, pag.40] tenemos S X S = S (X S) = S S 4.3 Sucesiones Definición (Sucesión convergente). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea (x n ) n=1 una sucesión de puntos de X. Diremos que (x n ) n=1 converge a x en (X, τ) (x n x o lim n x n = x) si para todo entorno U de x existe un n 0, de modo que si n > n 0, entonces x n U. A x se le llama límite de (x n ) n=1. Ejemplo (1) La convergencia de una sucesión depende de la topología. Sea un conjunto X y (x n ) n=1 con x n = x X para todo n, la sucesión constante x. Entonces se dan las dos situaciones siguientes: a) (x n ) n=1 converge a cualquier punto y X en la topología trivial (X, τ T ). b) {x n } n=1 sólo converge a x en la topología discreta(x, τ D). Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, sea (x n ) n=1 una sucesión en X, y B(x) una base de entornos de x en la topología τ. Entonces (x n ) n=1 converge a x si y sólo si para todo V B(x) existe un n o, tal que si n > n o, entonces x n V. Demostración. - Si (x n ) n=1 converge a x, como B(x) E(x), la condición se cumple para todos los V B(x). Si ahora suponemos B(x) es una base de entornos de x y que para todo V B(x), existe n o tal que n > n o implica que x n V. Si U E(x) es un entorno de x, como B(x) es base de entornos, existirá V B(x) tal que V U. Entonces para este V existirá un n o de manera que si n > n o, se tiene que x n V U. Por tanto, el mismo n o sirve ya que para todo n > n o, x n U.

10 4.3. SUCESIONES 43 Ejemplo (1) La definición de convergencia en R, con la topología usual asociada al valor absoluto, coincide con la conocida de sucesión convergente. (2) En el caso de los espacios métricos, en general, la convergencia de una sucesión a un punto obtenemos la siguiente formulación: Sea (X, d) un espacio métrico, y sea (x n ) n=1 una sucesión en X. Entonces (x n) n=1 converge a x si y sólo si para todo ε > 0 existe n o tal que n > n o = d(x n, x) < ε (3) La convergencia se puede reducir, en el caso de los espacios, el estudio de la convergencia de una sucesión de números reales: Sea (X, d) un espacio métrico, y (x n ) n=1 una sucesión en X. Entonces, (x n) n=1 converge a x si y sólo si la sucesión de las distancias (d(x n, x)) n=1 converge a 0 en (R, ). Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico de Hausdorff, y (x n ) n=1 una sucesión en X. Entonces, si (x n ) n=1 converge, su límite e único. Demostración. Supongamos que (x n ) n=1 es convergente en X a dos puntos distintos x y. Como X es Hausdorff, existen entornos U E(x) y V E(y) tales que U V =. Por otra parte, como (x n ) n=1 converge a x, par el entorno U de x, existe un n o tal que si n > n o, entonces x n U. Igualmente, para el entorno V de y, existe un n 1 tal que si n > n 1, entonces x n V. Así, para todo n > n 1 y n > n o a la vez, se cumple x n U y x n V, lo que está en contradicción con el hecho de que U V =. Proposición Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S X. Entonces x S si, y sólo si existe una sucesión (x n ) n=1 S, tal que x n x. Demostración. - Supongamos que x S. Sabemos que {B(x, 1 n ) : n N} es una base de entornos de x en (X, d), por tanto, según hemos visto en una proposición anterior, B(x, 1 n ) S. Podemos construir entonces una sucesión de la siguiente forma: Si n = 1 tomamos x 1 B(x, 1) S. Si n = 2 tomamos x 2 B(x, 1 2 ) S. Así sucesivamente para cada n tomamos x n B(x, 1 n ) S.

11 44 CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO De esta manera obtenemos una sucesión (x n ) n=1 de puntos de S que converge a x evidentemente. Si existe una sucesión (x n ) n=1 en S tal que x n x. Entonces para todo U E(x), existe un n o tal que n > n o implica que x n U, es decir U S y por tanto x S. La propiedad anterior para los puntos adherentes permite dar dos caracterizaciones más, una para un conjunto denso, y otra para los puntos frontera. Proposición Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S X un subconjunto. Entonces S es denso en X si, y sólo si para todo x X, existe una sucesión (x n ) n=1 en S tal que x n x. Demostración. Simplemente hay que tener en cuenta la definición de conjunto denso y la proposición anterior. Proposición Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S X. Un punto x X es un punto frontera de S si, y sólo si existe una sucesión (x n ) n=1 en S y otra (y n) n=1 en X S, tales que x n x e y n x. Demostración. De nuevo, sólo hay que tener en cuenta la definición de punto frontera y la proposición [4.3.6].