José Luis Navarro Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza

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1 TOPOLOGÍA GENERAL II José Luis Navarro Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza (1) Introducción (2) Topología Producto (3) Topología Cociente (4) Separación (5) Compacidad (6) Conexión (7) Espacios Homogéneos (8) Grupos Lineales 1 INTRODUCCIÓN La Topología General tiene sus propios objetivos, pero también nutre los fundamentos de muchas áreas matemáticas como el Análisis, la Geometría y otros campos de la topología (Topología Algebraica, Topología Geométrica ó Topología Diferencial). Tomando como modelos los espacios métricos, se ha definido sobre un conjunto X una topología τ P(X) y el par (X, τ) se dice espacio topológico (e.t.) Las aplicaciones relevantes entre dos e.t. son las aplicaciones continuas y el concepto de equivalencia en topología se llama homeomorfismo. Uno de los objetivos de cualquier área matemática es clasificar y contar. En particular, para clasificar es necesario saber discernir cuándo dos objetos son ó no equivalentes (en nuestro caso, cuándo dos e.t. son ó no homeomorfos). En general, éste es un problema muy difícil y está muy lejos de ser resuelto. La (corta) duración del curso hace necesario optar entre los diferentes caminos a seguir tras un primer cuatrimestre de generalidades. La opción elegida aquí es un curso básico sobre las diferentes propiedades de un espacio topológico, tanto en su versión local como global, con aplicaciones a espacios usuales (euclídeos, proyectivos, grupos lineales,...) y estudiar si estas propiedades se conservan ó no bajo operaciones usuales (productos, cocientes,...). Definiremos Preprint submitted to Elsevier Science 12 December 2006

2 pues una serie de propiedades (separación, compacidad, conexión,...) que serán invariantes topológicos de los espacios (es decir, si un e.t. tiene una de estas propiedades, también la tienen todos los que son homeomorfos a él). Es más fácil dar una respuesta negativa al problema del homeomorfismo que una respuesta positiva: por ejemplo R n y R m tienen los mismos invariantes topológicos mencionados pero no son homeomorfos si n m (Teorema de la Dimensión). En este curso probaremos parcialmente este resultado, dejando para cursos posteriores una respuesta general. En ellos se definirán otro tipo de invariantes, los invariantes algebraicos, que consiste en asociar a todo e.t. X ciertas estructuras algebraicas (como por ejemplo el grupo fundamental π 1 (X) ó los grupos de homología H n (X), n 0) que nos dará más criterios para una respuesta negativa al problema: si los invariantes algebraicos son no isomorfos, los espacios no son homeomorfos. La respuesta afirmativa sigue siendo difícil: Uno de los grandes problemas de la Topología es saber si una 3-variedad M 3 con los mismos invariantes topológicos y algebraicos que S 3 es homeomorfa a S 3 (Conjetura de Poincaré, 1904). Esta conjetura no pudo ser resuelta durante todo el siglo XX y pasó a ser uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute. En 2002 el matemático ruso Gregori Perelman anunció una solución a través de dos publicaciones en internet. En el XXV Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Madrid en agosto de 2006 se reconoció como correcto el trabajo de Perelman y dicha conjetura pasó a ser un teorema. Volviendo al contenido de este curso, lo primero que cabe destacar es que en un e.t. (X, τ) es más relevante la topología τ que el conjunto X: entre la topología indiscreta τ I = {, X} y la topología discreta τ D = P(X) pueden definirse muchas topologías sobre un mismo conjunto X t.q. los (X, τ) tienen propiedades distintas y por tanto no son homeomorfos mientras que conjuntos distintos pueden ser topológicamente equivalentes. En el curso previo se dieron una serie de topologías no usuales sobre espacios usuales (recta de Sorgenfrey, plano de Moore, plano del semidisco,...) que conviene recordar por ser útiles ejemplos (más bien contraejemplos) de que ciertas propiedades no se conservan en subespacios, productos ó cocientes. 2 TOPOLOGÍA PRODUCTO Dado un conjunto X y una aplicación f : X (Y, τ Y ), la familia f 1 (τ Y ) = {f 1 (V ) V τ Y } 2

3 es la menor topología sobre X t.q. f es continua: si τ X es otra topología sobre X t.q. f es continua entonces es claro que f 1 (τ Y ) τ X. Tal topología f 1 (τ Y ) se denomina topología débil inducida por f. Dados dos e.t. X e Y, consideramos el producto cartesiano X Y y queremos definir una topología sobre él t.q. las proyecciones canónicas p 1 y p 2 sean continuas, es decir p 1 1 (U) = U Y y p 1 2 (V ) = X V deben ser abiertos en X Y para todo U τ X y V τ Y. Es claro que la menor topología sobre X Y que hace continuas las proyecciones es la que tiene a dichos conjuntos como subbase, es decir S p = {U Y U τ X } {X V V τ Y } es subbase de una topología τ p sobre X Y que se denominará topología producto. Dadas f : Z X y g : Z Y, existe una aplicación h : Z X Y única t.q. t.q. p 1 h = f y p 2 h = g (propiedad universal del producto directo). Notar que h(z) = (f(z), g(z)) y es usual denotar h = (f, g). 2.1 Proposición h es continua si y sólo si lo son f y g. En particular, la diagonal : X X X es continua. Dem. Si h es continua, entonces f = p 1 h y g = p 2 h también lo son, por serlo las proyecciones. Recíprocamente, si f y g son continuas y U V es un abierto en X Y, entonces h 1 (U V ) = h 1 (U Y X V ) = h 1 (p 1 1 (U) p 1 2 (V )) = h 1 p 1 1 (U) h 1 p 1 2 (V ) = (p 1 h) 1 (U) (p 2 h) 1 (V ) = f 1 (U) g 1 (V ) abierto en Z, luego h continua. Ejercicio 01 Probar los siguientes homeomorfismos (1) X Y Y X. (2) (X Y ) Z X (Y Z). (3) X {pt} X {pt} X. Ejercicio 02 Dados A X y B Y, probar las siguientes afirmaciones: (1) A B = A B. (2) (A B) = A B A B (3) Int(A B) = Int(A) Int(B). (4) F r(a B) = [A F r(b)] [F r(a) B]. (5) A B es denso en X Y si y sólo si A denso en X y B denso en Y. Ejercicio 03 Sean B x y B y bases de entornos de x X e y Y, probar que {U x V y U x B x, V y B y } es una base de entornos de (x, y) en X Y. Ejercicio 04 Probar que X Y es I-AN, II-AN y separable, respectivamente, 3

4 si y sólo si lo son ambos factores. Ejercicio 05 Sea R S la recta de Sorgenfrey. Cual es la topología producto en R S R S? Cual es la topología inducida en A = {(x, y) R 2 x + y = 1}? Ejercicio 06 En R 2, con la topología usual, se consideran los subespacios A = {(x, y) R 2 xy = 0} y B = {(x, y) R 2 xy = 1}. Estudiar si A es abierto en R 2 y en M = A B. Estudiar si U = {(x, 0) R 2 x R} es entorno del origen en R 2 y en M. Ejercicio 07 En R 2, con la topología usual, se consideran los subespacios C = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} y D = {(x, y) R 2 x = y} y sea N = C D. Estudiar si C es entorno de ( 2, 2) y de (0, 1) en N. Sea X un conjunto, {(X i, τ i )} i J una familia de e.t. y {f i : X X i } i J una familia de aplicaciones. Definimos la topología débil sobre X inducida por la familia {f i } i J como la menor topología que hace continuas las f i. El conjunto S = i J S i con S i = {fi 1 (U i ) U i τ i } es una subbase para dicha topología. 2.2 Teorema Sea X con la topología débil inducida por {f i } i J, entonces una aplicación h : Y X es continua si y sólo si f i h es continua para todo i J. Dem. Si h es continua, entonces f i h es continua para todo i J, ya que las f i son continuas. Recíprocamente, sea U abierto en X, entonces U es unión arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma fi 1 (U i ), por tanto h 1 (U) será unión arbitraria de intersecciones finitas de elementos de la forma h 1 fi 1 (U i ) = (f i h) 1 (U i ), abiertos en Y si las f i h son continuas para todo i J, luego h 1 (U) abierto y por tanto h continua. Sea ahora X = X i, un punto del producto es una J -tupla (x i ) y denotamos por p k : X i X k t.q. p k ((x i )) = x k la proyección canónica sobre el k-simo factor, entonces definimos la topología producto τ p sobre X i como la topología débil inducida por las proyecciones {p i } i J. Si U τ k notar que p 1 k (U) = U i, donde U k = U y U i = X i para todo i k. Una subbase de τ p viene dada por S p = {p 1 i (U) U τ i, i J} = {p 1 i (U) U τ i } i J y, si F recorre los subconjuntos finitos de J, una base para τ p viene dada por B p = { U j U j τ j, U j = X j, j J F } Dada una familia de aplicaciones {f i : X X i } i J, existe una aplicación f : X X i definida por f(x) = (f i (x)), única t.q. p i f = f i. Entonces 4

5 2.3 Corolario f es continua si y sólo si cada f i = p i f lo es. La topología caja sobre X i está definida por τ i = { i J U i U i τ i }. Es claro que τ p τ i y notar que τ p = τ i si J = {1, 2,...n} (es decir, si J < ). Pero estas topologías no coinciden en el caso de una familia infinita. Ejemplo Dada una familia infinita {(X i, τ i )} i J t.q. cada X i es un espacio discreto con más de un punto, entonces la topología caja τ i es la topología discreta mientras que la topología producto τ p no es discreta. 2.4 Proposición Dada una familia arbitraria {(X i, τ i )} i J de e.t. entonces: (1) Las proyecciones p j : X i X j son continuas, abiertas y sobre. (2) Si A i X i, entonces A i = A i. (3) Int( A i ) Int(A i ) y en general el contenido es estricto. (4) D i denso en X i si y sólo si D i denso en X i para todo i J Ejercicio 08 Sea {f i : X i Y i } i J una familia de aplicaciones y definimos f : X i Y i por f((x i )) = (f i (x i )), es decir f = f i. Probar que f es continua si y sólo si f i es continua para todo i J. 3 TOPOLOGÍA COCIENTE Sea (X, τ) un e.t. y f : X Y una aplicación suprayectiva ó sobre, entonces la colección de partes de Y τ(f) = {U Y f 1 (U) τ} es una topología sobre Y llamada topología identificación ó topología cociente inducida sobre Y por f. Ejercicio 09 Sea R con la topología usual τ U, Y = {a, b, c} un conjunto y f : R Y una aplicación dada por f(x) = a si x > 0, f(x) = b si x < 0 y f(0) = c. Hallar la topología identificación τ(f) sobre Y inducida por f. Si τ Y es una topología sobre Y t.q. f es continua notar que τ Y τ(f), entonces 3.1 Lema τ(f) es la mayor topología sobre Y que hace continua a f. Dada una aplicación continua y sobre f : (X, τ X ) (Y, τ Y ), diremos que f es una identificación si τ Y = τ(f). Es claro que todo homeomorfismo es una identificación y, como (gf) 1 (U) = f 1 g 1 (U), es claro también que composición de identificaciones es identificación. Ejercicio 10 Sea I = [0, 1] con la topología usual, S 0 = {0, 1} con la topología 5

6 de Sierpinski y sea χ : I S 0 la función característica de A = [1/2, 1]. Probar que χ es una identificación pero que no es abierta ni cerrada. 3.2 Proposición Sea f : X Y una aplicación sobre, continua y abierta (ó cerrada), entonces f es una identificación. En particular, una biyección continua es una identificación si y sólo si es un homeomorfismo. Dem. Sabemos que τ Y τ(f). Recíprocamente, sea U τ(f), entonces f 1 (U) τ X y por ser f abierta ff 1 (U) τ Y. Pero f sobre implica que ff 1 (U) = U, luego U τ Y y por tanto τ(f) τ Y. Concluimos que τ Y = τ(f). Por otra parte, si f es una identificación biyectiva y U τ X, como f 1 f(u) = U se sigue que f(u) τ(f) = τ Y, luego f abierta y sabemos que toda biyección continua y abierta es un homeomorfismo. Dada una aplicación continua f : X Y llamaremos sección de f a una aplicación continua s : Y X t.q. fs = 1 Y. 3.3 Proposición Sea f : X Y una aplicación continua. Si f admite una sección entonces f es una identificación. Dem. Notar que fs = 1 Y implica que f es sobre. Sea U τ(f), entonces f 1 (U) τ X y s continua implican que s 1 f 1 (U) τ Y, pero s 1 f 1 (U) = (fs) 1 (U) = 1 1 Y (U) = U, luego U τ Y y por tanto τ(f) τ Y. Concluimos que τ(f) = τ Y y en consecuencia f es una identificación. 3.4 Proposición Sea f : X Y una identificación y g : Y Z una aplicación. Entonces g es continua (identificación) si y sólo si la composición gf es continua (identificación). Dem. Sea U τ Z, si gf continua entonces f 1 g 1 (U) = (gf) 1 (U) τ X, pero f identificación implica que g 1 (U) τ(f) = τ Y, por tanto g continua. Notar que U τ(gf) sí y sólo si f 1 g 1 (U) = (gf) 1 (U) τ X, lo cual ocurre sí y sólo si g 1 (U) τ(f) = τ Y, ó equivalentemente si U τ(g). Por tanto τ(gf) = τ(g) y es claro que gf es identificación sí y sólo si g es identificación. Dada una aplicación continua f : X Y y A X, en general se tiene que A f 1 f(a). Diremos que A es un conjunto f-saturado si A = f 1 f(a). Notar que una identificación f es abierta (cerrada) si y sólo si f 1 f(u) es abierto (cerrado) para todo U abierto (cerrado) en X. 3.5 Teorema Sea f : X Y una identificación y h : X Z una aplicación continua. Si h es constante sobre f 1 (y), para cada y Y, entonces g : Y Z, dada por g(y) = hf 1 (y), es continua (notar que gf = h). Además g es abierta (cerrada) si y sólo si h(u) es abierto (cerrado) para todo U abierto (cerrado) y f-saturado. 6

7 Dem. Sea U τ Z, entonces f 1 g 1 (U) = (gf) 1 (U) = h 1 (U) τ X luego g 1 (U) τ(f) = τ Y, ya que f es identificación, por tanto g continua. Por otra parte, sea U = f 1 f(u) abierto en X, como f es identificación se sigue que f(u) τ(f) = τ Y, entonces si g es abierta, también h(u) = gf(u) es abierto. Recíprocamente, si V es abierto en Y se sigue que g(v ) = hf 1 (V ) será abierto en Z, ya que f 1 (V ) es un abierto f-saturado (en efecto, f sobre implica que f 1 (A) es f-saturado para todo A Y ), por tanto g es abierta. Sea (X, τ) un e.t. y R una relación de equivalencia sobre X, denotaremos X/R el conjunto cociente y q : X X/R, dada por q(x) = [x], la proyección. Entonces X/R con la topología identificación τ(q) inducida por q se dirá espacio cociente de X por R. Ejemplo Definimos una relación de equivalencia R sobre R 3 {0} como sigue: x y si y sólo si existe t R {0} t.q. y = tx. El espacio cociente R 3 {0}/R se llama plano proyectivo real y lo denotaremos RP 2. Ejercicio 11 Sea D 2 = {x R 2 x 1} el disco unidad, definimos una relación de equivalencia R sobre D 2 como sigue: x y si y sólo si x = y ó son antipodales (es decir, x, y S 1 y y = x). Probar que D 2 /R RP 2. Sean X 1, X 2 e.t. con relaciones de equivalencia R 1 y R 2, respectivamente. Diremos que una aplicación f : X 1 X 2 conserva la relación si para todo x y se sigue que f(x) f(y). En tal caso, se sigue que f induce una aplicación en los cocientes f : X 1 /R 1 X 2 /R 2 dada por f [x] = [f(x)]. 3.6 Proposición Si f es continua entonces también f es continua. Si f es identificación, también f es identificación. Dem. Notar que f q 1 = q 2 f, entonces dado U τ(q 2 ) se tiene que q1 1 f 1 (U) = f 1 q2 1 (U) τ X1 ya que f continua. Entonces f 1 (U) τ(q 1 ) y por tanto f es continua. Por otra parte, f identificación implica que también lo es q 2 f = f q 1, es decir τ(f q 1 ) = τ(q 2 ), pero τ(f ) = τ(f q 1 ) por (3.4), ya que q 1 es una identificación. Entonces τ(f ) = τ(q 2 ) y por tanto f es identificación. Una aplicación f : X Y define una relación R(f) en X como sigue: x 1 x 2 si y sólo si f(x 1 ) = f(x 2 ). Claramente R(f) es de equivalencia. El espacio cociente X/R(f) se llama espacio descomposición de f. Denotamos por q : X X/R(f) la identificación, como f es constante sobre cada fibra q 1 ([x]) = f 1 f(x), se sigue por (3.5) que la aplicación ˆf : X/R(f) Y, dada por ˆf([x]) = f(x), es continua. Notar que f = ˆfq y que ˆf es inyectiva. 3.7 Teorema Sea f : X Y continua y sobre, entonces ˆf : X/R(f) Y es un homeomorfismo si y sólo si f es una identificación. Dem. Si ˆf es un homeomorfismo entonces f = ˆfq es una identificación, ya 7

8 que q lo es. Recíprocamente, notar que si f = ˆfq es sobre, también lo es ˆf, por tanto ˆf es una biyección continua. Como τ(f) = τ( ˆfq) = τ( ˆf), si f es identificación también lo es ˆf y el teorema se sigue por (3.2). Coproductos Dados dos espacios X 1, X 2 definimos la el coproducto ó suma topológica X 1 X2 como la unión disjunta de X 1 y X 2. Definimos una topología sobre X 1 X2 como sigue: U X 1 X2 es abierto si y sólo si U X 1 y U X 2 son abiertos en X 1 y X 2 respectivamente. Es claro que esta topología es la mayor t.q. las inclusiones i 1 : X 1 X 1 X2 y i 2 : X 2 X 1 X2 son continuas (en efecto, notar que U X k = i 1 k (U), para k = 1, 2). Dadas f k : X k Z (k = 1, 2) existe una aplicación f : X 1 X2 Z única t.q. fi 1 = f 1 y fi 2 = f 2 (propiedad universal del coproducto) 3.7 Teorema f es continua si y sólo si f 1 y f 2 son continuas. Dem. Sean f 1 y f 2 continuas y U abierto en Z, notar que f 1 (U) es abierto en X 1 X2 sí y sólo sí f 1 (U) X k es abierto en X k para k = 1, 2, pero f 1 (U) X k = i 1 k (f 1 (U)) = (fi k ) 1 (U) = fk 1 (U) el cual es abierto en X k por ser f k continua. El recíproco es obvio. Sean A, B X con la topología inducida, las inclusiones j A y j B de A y B en A B respectivamente, son continuas e inducen por tanto una aplicación continua y sobre j : A B A B. Si f : A Y y g : B Y son dos aplicaciones t.q. f(x) = g(x) para todo x A B, definimos la aplicación pegamiento de f y g como la aplicación f g : A B Y dada por (f g)(x) = f(x) si x A y (f g)(x) = g(x) si x B. 3.8 Lema Sean f : A Y y g : B Y continuas, si A y B son cerrados (ó abiertos) en A B entonces f g : A B Y es también continua. Dem. Por (3.7) la composición (f g)j : A B Y es continua si lo son f y g. Si A y B son cerrados en A B se sigue que j aplica cerrados en cerrados luego es cerrada. Por (3.2) se sigue que j es una identificación, entonces (f g)j continua y (3.4) implican que f g es continua. Sea A un subespacio cerrado de X y f : A Y una aplicación continua, definimos una relación de equivalencia R sobre X Y como sigue: a f(a) para todo a A. El espacio cociente X Y/R se llama adjunción ó pegado de X e Y a través de f y lo denotaremos X f Y. Si A cerrado en X y f : A Y continua t.q. Y = { } entonces X f { } se denota usualmente por X/A. Este último espacio denota también el espacio cociente X/R, donde R es la siguiente relación de equivalencia: xry sí y sólo si x = y ó x, y A. 8

9 4 SEPARACIÓN Un e.t. X se dice T 0 -espacio si para todo par de puntos x y en X, existe un abierto que contiene a uno de ellos y no al otro (es decir, U τ t.q. x U, y (X U) ó bien V τ t.q. y V, x (X V )). Ejemplo Espacios indiscretos no son T 0 -espacios. El espacio de Sierpinski (X = {a, b} con τ = {, {a}, X}) es un T 0 -espacio. Un e.t. X se dice T 1 -espacio si para todo par de puntos x y en X, existen entornos de cada uno de ellos que no contienen al otro (es decir, U, V τ t.q. x U (X V ), y V (X U)). Ejemplo Todo T 1 -espacio es T 0 -espacio pero no recíprocamente: Notar que el espacio de Sierpinski es un T 0 -espacio pero no T 1 -espacio. 4.1 Proposición Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) X es un T 1 -espacio. (2) Todo punto en X es cerrado. (3) Todo subespacio de X es intersección de abiertos que lo contienen. Dem. Sea X un T 1 -espacio, x X y sea y X {x}, como existe U entorno abierto de y que no contiene a x se sigue que y U X {x}, luego X {x} es abierto y por tanto {x} es cerrado. Si todo punto es cerrado y A X es claro que A = {X {x} x X A}. Finalmente, sea x y y supongamos que se satisface (3), entonces para A = {x} es claro que existe un entorno abierto de x que no contiene a y y análogamente, tomando A = {y}, existirá un entorno abierto de y que no contiene a x, por tanto X es un T 1 -espacio. Notar que la menor topología que hace de un conjunto X un T 1 -espacio es la que tiene como subbase a S = {X {x} x X}, es decir la topología cofinita τ CF = {U X card(x U) < }. En particular, si X es un conjunto finito, la única topología que hace de X un T 1 -espacio es la discreta. Ejercicio 12 Sea X un T 1 -espacio y A X. Si A es finito probar que A es cerrado. Si A infinito y x A, probar que todo entorno de x contiene infinitos puntos de A. Ejercicio 13 Una relación de equivalencia R se dice cerrada si las clases Rx = {y y x} son subconjuntos cerrados de X. Sea R una relación de equivalencia sobre un e.t. X, probar que X/R es T 1 si y sólo si R es cerrada. Ejercicio 14 Sea X un T 1 -espacio y A X, entonces probar: (1) A cerrado. (2) (A ) A. (3) (A) = A. 9

10 Espacios Hausdorff ó T 2 -espacios. Un e.t. X se dice T 2 -espacio ó que es Hausdorff si para todo par de puntos distintos existen abiertos disjuntos que los contienen (es decir, para todo x y en X, existen U, V τ t.q. x U, y V, U V = ). Es claro que todo T 2 -espacio es un T 1 -espacio. Un conjunto de cardinal infinito X con la topología cofinita es T 1 pero no T 2. La propiedad de ser un T k -espacio (k = 0, 1, 2) es hereditaria: subespacios de un T k -espacio son T k -espacios. 4.2 Proposición Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) X es Hausdorff. (2) Sea x X, para todo y x existe U τ t.q. x U, y / U. (3) Para todo x X, {U U τ, x U} = {x}. (4) La diagonal = {(x, x) x X} es cerrado en X X. Dem. Sea x y y suponer que X es Hausdorff, entonces existen U, V τ t.q. x U, y V, U V =, en particular y Int(X U) = X U. Que (2) implica (3) es inmediato. Notar que U V = sí y sólo si U V =. Sea (x, y) X X y supongamos que existe U entorno abierto de x t.q. y X U, entonces (x, y) U (X U) X X, luego X X es abierto y por tanto es cerrado. Finalmente, si es cerrado su complementario es abierto, entonces dados x y existirán abiertos U, V t.q. (x, y) U V X X, por tanto U V = ó equivalentemente U V = y se sigue que X es Hausdorff. Ejercicio 15 Sea X un espacio Hausdorff y F = {x 1,...x n } un conjunto finito. Probar que existen entornos U i de x i, 1 i n, disjuntos dos a dos. 4.3 Proposición Sea Y Hausdorff y f, g : X Y continuas, entonces C = {x X f(x) = g(x)} es cerrado en X. En particular, si D es denso en X y f D = g D entonces se sigue que f = g. Dem. Veamos que X C es abierto. Si x X C entonces f(x) g(x) y como Y es Hausdorff existirán U, V abiertos t.q. f(x) U, g(x) V y U V =. Como f y g continuas se sigue que f 1 (U) g 1 (V ) abierto y es claro que x f 1 (U) g 1 (V ) X C (en efecto, si z f 1 (U) g 1 (V ) entonces f(z) g(z), ya que f(z) U, g(z) V y U V =, luego z X C). Sea D denso en X y f D = g D entonces D C y X = D, como C es cerrado se sigue que X = C, es decir f(x) = g(x) para todo x X y por tanto f = g. Ejercicio 16 Diremos que un A X es un retracto de X si existe r : X A continua t.q. ri = 1 A, siendo i : A X la inclusión. Probar que A es un retracto de X si y sólo si para todo espacio Y, toda aplicación continua f : A Y se extiende a X, es decir existe g : X Y continua t.q. gi = f. 10

11 Probar que si X es un espacio Hausdorff y A es un retracto de X, entonces A es cerrado en X Ejercicio 17 Diremos que un espacio X tiene la propiedad del punto fijo si para toda aplicación continua f : X X existe x X t.q. f(x) = x. Probar que si X tiene la propiedad del punto fijo, también la tiene todo retracto de X. Sea X un espacio Hausdorff y f : X X continua. Probar que el conjunto de puntos fijos de f es cerrado en X. Ejercicio 18 Sea f : X Y una aplicación continua, definimos el grafo de f como el conjunto Γ f = {(x, f(x)) x X} X Y. Probar que Γ f, con la topología inducida por la topología producto, es homeomorfo a X. Ejercicio 19 Sea Y un e.t. Hausdorff y f : X Y una aplicación continua. Probar que Γ f es cerrado en X Y. 4.4 Teorema Sea f : X Y una aplicación continua. Si Y es Hausdorff entonces C = {(x 1, x 2 ) f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X X. Dem. Veamos que el complementario de C es abierto. Si (x 1, x 2 ) X X C entonces f(x 1 ) f(x 2 ) y como Y es Hausdorff, existirán abiertos disjuntos U 1, U 2 t.q. f(x 1 ) U 1 y f(x 2 ) U 2. Entonces f 1 (U 1 ) f 1 (U 2 ) es abierto y (x 1, x 2 ) f 1 (U 1 ) f 1 (U 2 ) X X C (probaremos el último contenido: si (z 1, z 2 ) f 1 (U 1 ) f 1 (U 2 ) se sigue que f(z 1 ) U 1 y f(z 2 ) U 2, luego f(z 1 ) f(z 2 ), ya que U 1 U 2 =, y por tanto (z 1, z 2 ) X X C). Si f es abierta y sobre, entonces se satisface el recíproco: 4.5 Teorema Sea f : X Y una aplicación continua, abierta y sobre, si C = {(x 1, x 2 ) f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X X, entonces Y es Hausdorff. Dem. Sean f(x 1 ) f(x 2 ), entonces (x 1, x 2 ) X X C, abierto por ser C cerrado, luego existen abiertos U 1, U 2 t.q. (x 1, x 2 ) U 1 U 2 X X C y por tanto U 1 U 2 C = y esto implica U 1 U 2 =, ya que C. Si f es abierta, se sigue que f(u 1 ) y f(u 2 ) son dos abiertos disjuntos que separan a f(x 1 ) y f(x 2 ) y concluimos que Y es Hausdorff (probaremos que f(u 1 ) y f(u 2 ) son disjuntos: si y f(u 1 ) f(u 2 ) existirán x 1 U 1 y x 2 U 2 t.q. f(x 1 ) = y = f(x 2 ), luego U 1 U 2 C y llegamos a una contradicción). 4.6 Proposición Dada una familia no vacía {X i } i J, entonces el producto Xi es un T k -espacio (k = 0, 1, 2) si y sólo si cada factor X i lo es. Dem. Lo probaremos para el caso k = 2. Supongamos que X i es un T 2 -espacio para todo i J, si (x i ) (z i ) en X i, tales puntos diferirán al menos una coordenada, es decir existe k J t.q. x k z k. Como X k es Hausdorff existirán U k, V k τ k t.q. x k U k, z k V k y U k V k =. Entonces (x i ) p 1 k (U k), 11

12 (z i ) p 1 k (V k) abiertos en X i t.q. p 1 k (U k) p 1 k (V k) = p 1 k (U k V k ) =. Recíprocamente, si X i es Hausdorff y k J, elegimos un punto x 0 i X i para cada i k y sea i k : X k X i, dada por i k (x k ) = (x i ) con x i = x 0 i para todo i k. Como la propiedad Hausdorff es hereditaria se sigue que i k (X k ) es Hausdorff, pero i k (X k ) es homeomorfo a X k, y esto para todo k J. Cocientes de espacios Hausdorff no son necesariamente Hausdorff. Ejemplo Sea X = R 2 con la topología usual y definimos la siguiente relación de equivalencia (x 1, y 1 )R(x 2, y 2 ) sí y sólo si y 1, y 2 < 0 ó y 1, y 2 0. Sean A = {(x, y) y 0} y B = {(x, y) y < 0} y consideremos la identificación q : X X/R, denotamos q(a) = a y q(b) = b. Entonces X/R = {a, b}. Como q 1 (b) = B abierto en la topología usual, se sigue que {b} es abierto en X/R, luego la topología cociente es τ(q) = {, {b}, X/R}, es decir (X/R, τ(q)) es el espacio de Sierpinski, que no es Hausdorff. Dada una relación de equivalencia R sobre un e.t. X, podemos mirarla como un subespacio del producto: R = {(x 1, x 2 ) x 1 x 2 } X X. La aplicación q q : X X X/R X/R es continua y es claro que R = (q q) 1 ( ). Notar que si X/R es Hausdorff entonces R debe ser un cerrado en X X. 4.7 Proposición Sea X un e.t., R una relación de equivalencia sobre X. Si R es cerrado en X X y q : X X/R es abierta, entonces X/R es Hausdorff. Dem. Sean [x 1 ] [x 2 ] en X/R, es decir (x 1, x 2 ) X X R, el cual es abierto por ser R cerrado, entonces existen U 1, U 2 abiertos t.q. (x 1, x 2 ) U 1 U 2 X X R. Como q abierta, q(u 1 ) y q(u 2 ) son dos abiertos t.q. [x 1 ] q(u 1 ), [x 2 ] q(u 2 ) y q(u 1 ) q(u 1 ) = (en efecto, si [x] q(u 1 ) q(u 1 ) entonces existen x 1 U 1 y x 2 U 2 t.q. [x] = q(x 1 ) = q(x 2 ) ó bien [x 1 ] = [x 2 ], y por tanto (x 1, x 2 ) R, lo cual es una contradicción ya que U 1 U 2 X X R). 4.8 Proposición Si Y es un espacio Hausdorff y f : X Y es una aplicación continua e inyectiva entonces también X es Hausdorff. En particular, si Y Hausdorff y f : X Y continua entonces X/R(f) es Hausdorff. Dem. Sean x 1 x 2 en X, si f es inyectiva entonces f(x 1 ) f(x 2 ) y como Y es Hausdorff, existirán abiertos U 1 y U 2 t.q. f(x 1 ) U 1, f(x 2 ) U 2 y U 1 U 2 =. Entonces, si f es continua, f 1 (U 1 ) y f 1 (U 2 ) son abiertos t.q. x 1 f 1 (U 1 ), x 2 f 1 (U 2 ) y f 1 (U 1 ) f 1 (U 2 ) = f 1 (U 1 U 2 ) = f 1 ( ) =, luego X T 2. La segunda parte se sigue inmediatamente ya que f continua implica que ˆf : X/R(f) Y es continua e inyectiva. Espacios regulares y T 3 -espacios. Un e.t. (X, τ) se dice regular si para todo F cerrado en X y x / F existen U, V τ t.q. x U, F V y U V =. En general, un espacio regular no es 12

13 necesariamente un T 1 -espacios (en efecto, un espacio indiscreto es regular pero no es T 0, por tanto tampoco T 1 ). Un T 1 -espacio regular se dirá T 3 -espacio. Ejemplo Todo T 3 -espacio es Hausdorff pero no recíprocamente. Sea X = R con la topología τ definida como sigue: los entornos básicos para cada punto x 0 son los usuales y los entornos básicos del 0 son de la forma ( ε, ε) A, donde A = {1/n} n N. Entonces (R, τ) es Hausdorff, ya que τ es mas fina que la topología usual (es decir, τ U τ), pero (R, τ) no es un T 3 -espacio: A es un cerrado en X que no se puede separar de 0 por abiertos disjuntos. 4.9 Teorema Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) X es regular. (2) Sean U τ y x U, entonces existe V τ t.q. x V y V U. (3) Todo x X admite una base de entornos B x = {B x } t.q. B x cerrado. Dem. Sea U entorno abierto de x, entonces x / X U cerrado, si X es regular existirán V, W abiertos t.q. x V, X U W y V W =. En particular V X W U y X W cerrado implica V X W U. Que (2) implica (3) es obvio. Finalmente, si se satisface (3) y F es un cerrado en X t.q. x / F, notar que X F es un abierto que contiene a x, luego existe V entorno cerrado de x t.q. x V X F. Es claro que x Int(V ), F X V y Int(V ) (X V ) =, por tanto X es regular. Ejercicio 20 Si X es un T 3 -espacio probar que para todo par de puntos x y existen entornos U de x y V de y t.q. U V =. La regularidad es hereditaria y se conserva en productos: 4.10 Proposición Dada una familia {X i } i J, entonces el producto X i es regular (T 3 -espacio) si y sólo si cada factor X i es regular (T 3 -espacio). Dem. Si X i es regular también lo será X k i k (X k ) X i. Recíprocamente, suponer que X k es regular para todo k J y sean (x i ) X i y U = U i τ p t.q. (x i ) U (recordar que U i = X i para todo i J F ). Para cada x i elegimos V i τ i t.q. x i V i V i U i de forma que V i = X i cuando U i = X i, entonces (x i ) V i V i = V i U i = U. Por (4.9) se sigue que X i es regular. Por (4.5) la proposición se satisface también para T 3 -espacios. Cocientes de T 3 -espacios no son necesariamente regulares: Ejemplo Sea X = {(x, 0) x R} {(x, 1) x R} y sea Y el espacio cociente de X obtenido al identificar los puntos p 0 (x, 0) con p 1 (x, 1) para todo 0 x R. Claramente X es T 3 y la proyección q : X Y es continua sobre y abierta pero los puntos p 0 y p 1 no se pueden separar por abiertos. Por tanto Y es T 1 pero no T 2 y como los puntos son cerrados, tampoco es regular. 13

14 4.11 Lema Sea f : X Y una aplicación continua y cerrada, B Y y U τ X t.q. f 1 (B) U, entonces existe V τ Y t.q. B V y f 1 (V ) U. Dem. Definimos V = Y f(x U) que es abierto si f cerrada. Si f 1 (B) U, entonces B V (en efecto, si y B entonces f 1 (y) U ó equivalentemente f 1 (y) (X U) =, luego y = ff 1 (y) Y f(x U) = V ). Además, f 1 (V ) = f 1 (Y f(x U)) = X f 1 f(x U) X (X U) = U Teorema Sea X un T 3 -espacio y f : X Y una aplicación continua, sobre, abierta y cerrada. Entonces Y es Hausdorff. Dem. Notar en primer lugar que si f es continua, sobre y abierta se sigue en particular que f es una identificación. Para que Y sea Hausdorff, por (4.4) bastará probar que R(f) = {(x 1, x 2 ) f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X X ó bien que su complementario es abierto: sea (x 1, x 2 ) X X R(f), entonces f(x 1 ) f(x 2 ) y por tanto x 1 / f 1 f(x 2 ). Notar que este último conjunto es cerrado ya que X es T 1 -espacio (en particular {x 2 } será cerrado) y f es cerrada, entonces como X es regular existirán abiertos U, V en X t.q. x 1 U, f 1 f(x 2 ) V y U V =. Aplicando (4.11) para B = f(x 2 ), existirá un abierto W t.q. f(x 2 ) W y f 1 f(x 2 ) f 1 (W ) V y como U f 1 (W ) = se sigue que (x 1, x 2 ) U f 1 (W ) X X R(f), luego R(f) cerrado. Sea A un subespacio cerrado de X, notar que la identificación q : X X/A es una aplicación cerrada. En efecto, sea F cerrado en X, como X/A tiene la topología cociente, notar que q(f ) será cerrado en X/A sí y sólo si q 1 q(f ) es cerrado en X. Pero q 1 q(f ) = F, si F A = y q 1 q(f ) = F A, si F A. Por tanto q 1 q(f ) es cerrado en ambos casos, supuesto A cerrado Teorema Si X es un T 3 -espacio y A es cerrado en X, entonces X/A con la topología cociente es un espacio Hausdorff. Dem. Si [x 1 ] [x 2 ] caben dos casos: x 1, x 2 / A ó x 1 / A y x 2 A. En el primer caso, como X A es Hausdorff, existirán U, V abiertos en X A y por tanto en X, ya que X A abierto en X, t.q. x 1 U, x 2 V y U V =. Notar que U = q 1 q(u) y V = q 1 q(v ), por tanto q(u) y q(v ) son abiertos en X/A t.q. [x 1 ] q(u), [x 2 ] q(v ) y q(u) q(v ) =. En el segundo caso, si x 1 / A existirán U, V abiertos en X t.q. x 1 U, A V y U V =, ya que A cerrado y X es un T 3 -espacio. Como U X A se sigue que U = q 1 q(u), luego [x 1 ] q(u) abierto en X/A. Es claro también que V = q 1 q(v ) y por tanto [x 2 ] = {A} q(v ) abierto en X/A. Como q(u) q(v ) = concluimos que X/A es Hausdorff. Espacios normales y T 4 -espacios Un e.t. (X, τ) se dice normal si para todo par de subespacios cerrados y disjuntos A y B, existen abiertos U y V t.q. A U, B V y U V =. 14

15 Ejemplo Un espacio normal no es necesariamente regular. En efecto, sea R con la siguiente topología τ = {, R} {(a, + ) a R}, entonces (R, τ) es trivialmente normal, ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no es regular ya que 1 R y el cerrado (, 0] no se pueden separar por abiertos disjuntos (el único abierto que contiene a (, 0] es R). Notar que (R, τ) es T 0 -espacio pero no T 1 -espacio. Análogamente, el espacio de Sierpinski es normal ya que no existen dos cerrados disjuntos, pero no es un T 1 -espacio. Un T 1 -espacio normal se dirá T 4 -espacio. En un T 1 -espacio, normalidad implica regularidad, luego todo T 4 -espacio es T 3 -espacio. Ejemplo La recta de Sorgenfrey (R, τ S ) es un T 4 -espacio: dados dos cerrados disjuntos A, B R, para todo a A existe r a > a t.q. [a, r a ) B = y para todo b B existe s b > b t.q. [b, s b ) A =. Sean U A = a A[a, r a ) y U B = b B[b, s b ). Entonces U A y U B son abiertos t.q. A U A, B U B y U A U B =. En efecto, si x U A U B existen a, b R t.q. x [a, r a ) [b, s b ) luego a x < r a y b x < s b. Pero si suponemos a < b entonces b [a, r a ) lo cual contradice que [a, r a ) B =. Concluimos que (R, τ S ) es normal. Como τ S τ U, es claro que (R, τ S ) es un T 1 -espacio y por tanto es un T 4 -espacio. Ejemplo Todo espacio métrico (X, d) es un T 4 -espacio: sean A, B cerrados disjuntos, para cada x A existe δ x > 0 t.q. B(x, δ x ) B = y para cada y B existe ε y > 0 t.q. B(y, ε y ) A =. Definimos U = x A B(x, δ x /3) y V = y B B(y, ε y /3), entonces U, V son abiertos en (X, d) t.q. A U, B V. Supongamos que z U V, entonces d(x, z) < δ x /3, d(z, y) < ε y /3 y por la desigualdad triangular d(x, y) < δ x /3 + ε y /3 < δ x, suponiendo δ x = max{δ x, ε y }, se sigue que y B(x, δ x ) y esto contradice que B(x, δ x ) B =. Por tanto U V = y en consecuencia (X, d) es normal. Claramente todo espacio métrico es un T 2 -espacio y por tanto un T 1 -espacio Proposición Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) X es normal. (2) Para todo cerrado A y abierto U t.q. A U, existe un abierto V t.q. A V V U. (3) Para todo par de cerrados disjuntos A, B existe un abierto U t.q. A U y U B =. (4) Todo par de cerrados disjuntos admiten entornos cuyas clausuras son disjuntas. Dem. Sea A cerrado y U abierto t.q. A U, entonces X U es cerrado y A (X U) =. Si X es normal existen abiertos V, W t.q. A V, X U W y V W =. En particular V X W y como X W es cerrado se sigue A V V X W U, luego (1) = (2). Supongamos cierto (2) y sean A, B cerrados disjuntos, entonces A X B abierto implica que existe un abierto U t.q. A U U X B, en particular U B = y por tanto 15

16 (2) = (3). Sean A, B cerrados disjuntos, por (3) existe U abierto t.q. A U y U B =, aplicando de nuevo (3) a los cerrados disjuntos B y U, existirá un abierto V t.q. B V y V U =, luego (3) = (4). Finalmente, que (4) = (1) es obvio. El siguiente resultado debido a F.B. Jones es útil para construir espacios que no sean normales Lema Si un e.t. X contiene subespacios D, S t.q. D denso, S cerrado y discreto (con la topología inducida) y S 2 D, entonces X no es normal. Dem. Sea T S, como τ S es la topología discreta es claro que T es cerrado en S y por lo tanto en X. Entonces T y S T son cerrados disjuntos y si suponemos que X es normal existirán abiertos U T, V T t.q. T U T, S T V T y U T V T =. Sean T 1, T 2 P(S) y notar que si T 1 T 2 entonces también U T1 D U T2 D (en efecto, T 1 T 2 implica T 1 (S T 2 ) ó bien T 2 (S T 1 ). Supongamos T 1 (S T 2 ), entonces U T1 V T2 y como D es denso U T1 V T2 D, pero como U T1 V T2 D U T1 D y U T1 V T2 D U T2 =, ya que U T2 V T2 =, se sigue U T1 D U T2 D). Entonces la aplicación Φ : P(S) P(D), dada por Φ(T ) = U T D, es inyectiva y por tanto S < P(S) P(D) = 2 D, lo cual contradice la hipótesis, luego X no puede ser normal. Ejercicio 21 Probar que el plano de Moore es T 3 -espacio pero no T 4 -espacio. La normalidad no es hereditaria en general paro sí para cerrados Proposición Sea X un espacio normal (T 4 -espacio) y F cerrado en X, entonces F con la topología inducida también es normal (T 4 -espacio). Dem. Sean A, B cerrados disjuntos en F, entonces A y B son cerrados en X y como X es normal, existirán U, V abiertos en X t.q. A U, B V y U V =. Entonces F U y F V son abiertos en F t.q. F U V =, por tanto F es normal. El producto de espacios normales no es necesariamente normal Ejercicio 22 Sea R S = (R, τ S ) la recta de Sorgenfrey, probar que R S R S no es normal. En general, la normalidad no se conserva en cocientes Proposición Sea X un espacio normal (T 4 -espacio) y f : X Y una aplicación continua, cerrada y sobre, entonces Y es normal (T 4 -espacio). Dem. Sea f : X Y una aplicación continua, sobre y cerrada, dados A, B cerrados disjuntos en Y se sigue que f 1 (A) y f 1 (B) son cerrados disjuntos 16

17 en X, como X es normal existirán U, V abiertos en X t.q. f 1 (A) U, f 1 (B) V y U V =. Por (4.11) existirán U A, V B abiertos en Y t.q. A U A y f 1 (U A ) U, B V B y f 1 (V B ) V. Notar que f 1 (U A V B ) = f 1 (U A ) f 1 (V B ) U V =, por tanto U A V B = y concluimos que Y es normal. Como la imagen de un T 1 -espacio bajo una aplicación continua y cerrada es un T 1 -espacio, la proposición se sigue para T 4 -espacios Corolario Si X es normal y A cerrado en X entonces X/A es normal. Dem. Notar que si A cerrado entonces q : X X/A es una aplicación continua, sobre y cerrada. Finalizamos el capítulo con dos útiles caracterizaciones de la normalidad Lema de Urysohn Un espacio X es normal si y sólo si para todo par A, B de cerrados disjuntos, existe una aplicación continua f : X [0, 1] t.q. f(a) = 0 y f(b) = 1. Teorema de extensión de Tietze Un espacio X es normal si y sólo si para todo A cerrado en X y toda aplicación continua f : A R existe una aplicación continua F : X R extendiendo a f (es decir, tal que F A = f). 5 COMPACIDAD Un recubrimiento abierto de X es una colección de abiertos U = {U i } i J t.q. X = i J U i. Diremos que un espacio X es compacto si todo recubrimiento abierto U = {U i } i J de X admite un subrecubrimiento finito, es decir si existe un conjunto finito de índices F J t.q. X = i F U i. Ejemplos Con la topología usual, R no es compacto: en efecto, si U n = ( n, n) entonces U = {U n } n N es un recubrimiento abierto de R que no admite un subrecubrimiento finito. Todo espacio finito es obviamente compacto. En un espacio discreto, vale el recíproco: compacto finito. Un espacio X con la topología cofinita es compacto. Diremos que un e.t. X tiene la propiedad de intersección finita (p.i.f.) si para toda familia de cerrados {C i } i J t.q. cualquier número finito de ellos tiene intersección no vacía entonces también i J C i. 5.1 Teorema Un espacio topológico es compacto si y sólo si tiene la p.i.f.. Dem. Sea X compacto y {C i } i J una familia de cerrados t.q. i F C i para todo conjunto finito de índices F J y suponer i J C i =, entonces X = X = X i J C i = i J(X C i ), es decir {X C i } i J es un recubrimiento 17

18 abierto de X y como X compacto, existe un conjunto finito de índices F J t.q. {X C i } i F recubre X. Entonces X = i F (X C i ) = X i F C i y por tanto i F C i =, llegando a contradicción. Recíprocamente, sea X con la p.i.f. y supongamos que X no es compacto, entonces existirá un recubrimiento abierto U = {U i } i J de X que no admite un subrecubrimiento finito, es decir = X i F U i = i F (X U i ) para todo subconjunto finito de índices F J, entonces i J(X U i ) = X i J U i y llegamos a contradicción. Ejercicio 23 Probar que en un espacio compacto todo subconjunto infinito tiene punto de acumulación (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Un subespacio K X se dice compacto si (K, τ K ) es compacto ó bien si para todo recubrimiento abierto U = {U i } i J de K, es decir t.q. K i J U i, existe algún conjunto finito de índices F J t.q. K i F U i. 5.2 Teorema Todo subespacio cerrado en un espacio compacto es compacto. Dem. Sea U = {U i } i J un recubrimiento abierto de K, como K es cerrado es claro que U = U {X K} es un recubrimiento abierto de X. Como X compacto, existirá un subrecubrimiento finito {X K, U 1,..., U n } de X, entonces es claro que K U 1 U n y por tanto que K es compacto. El recíproco no es cierto en general: sea X = {a, b} con τ = {, {a}, X} el espacio de Sierpinski, entonces X y K = {a} son compactos por ser finitos pero K no es cerrado en X. 5.3 Lema Sea X un e.t. Hausdorff, K compacto en X y x X K. Entonces existen abiertos U, V t.q. x U, K V y U V =. Dem. Sea x X K, si X es Hausdorff para todo y K existirán abiertos disjuntos Ux, y V y t.q. x Ux y y y V y. Es claro que {V y } y K es un recubrimiento abierto de K y por ser K compacto existirá un subrecubrimiento finito, es decir K V y1 V yn. Definimos U = U y 1 x U yn x y V = V y1 V yn, entonces U, V abiertos, x U, K V y U V = (en efecto, U V yk U y k x V yk = para 1 k n, por tanto U V = (U V y1 ) (U V yn ) = ). 5.4 Corolario En un espacio Hausdorff todo subespacio compacto es cerrado. Dem. Sea X Hausdorff y K un subespacio compacto de X, si x X K por 5.3 existirán U, V abiertos disjuntos t.q. x U y K V. En particular x U X V X K, es decir X K es abierto y por tanto K es cerrado. 5.5 Teorema Sea X un e.t. Hausdorff y K 1, K 2 dos subespacios compactos y disjuntos. Entonces existen abiertos U, V t.q. K 1 U, K 2 V y U V =. Dem. Por 5.3, para todo y K 2 existirán abiertos U y, V y t.q. y U y, K 1 V y 18

19 y U y V y =. Notar que {U y } y K2 es un recubrimiento abierto de K 2 y por ser K 2 compacto existirá un subrecubrimiento finito, es decir K 2 U y1 U ym. Sean U = U y1 U ym y V = V y1 V ym, es claro que U y V son abiertos t.q. K 1 U, K 2 V y, como en 5.3, es fácil probar que U V =. Una consecuencia inmediata de 5.5 es el siguiente resultado 5.6 Corolario Todo espacio compacto y Hausdorff es un T 4 -espacio. Ejercicio 24 Sea A = {a n } n N una sucesión de puntos en un e.t. X que converge a un punto a X. Probar que K = A {a} es compacto. Ejercicio 25 Sea X un e.t. Hausdorff y A X un subespacio compacto. Probar que el derivado A también es compacto. Ejercicio 26 Sea {K i } n i=1 una familia finita de subespacios compactos de un e.t. X. Probar que la unión K = K 1 K n es un compacto. 5.7 Proposición Sea X compacto y f : X Y una aplicación continua, entonces f(x) es compacto. Si además Y es Hausdorff entonces f es cerrada. Dem. Sea U = {U i } i J un recubrimiento abierto de f(x), como f continua se sigue que {f 1 (U i )} i J es un recubrimiento abierto de X y siendo X compacto existirá un conjunto finito F J t.q. X = i F f 1 (U i ), entonces f(x) = f( i F f 1 (U i )) = i F ff 1 (U i ) i F (U i ), por tanto f(x) compacto. Sea C cerrado en X, entonces C es compacto y también f(c) compacto, por tanto cerrado cuando Y es Hausdorff. Concluimos que f es una aplicación cerrada. Se sigue inmediatamente un importante resultado 5.8 Corolario Toda biyección continua de un espacio compacto en un espacio Hausdorff es un homeomorfismo. Es también inmediato probar (ver 3.5) 5.9 Corolario Si f : X Y es una identificación, h : X Z continua y constante sobre las fibras f 1 (y), X compacto, Z Hausdorff y g : Y Z, dada por g(y) = hf 1 (y), es biyectiva entonces g es un homeomorfismo Teorema Si Y es compacto, entonces la proyección p X : X Y X es una aplicación cerrada. Dem. Sea C cerrado en X Y y vamos a probar que X p X (C) es abierto. Si x X p X (C) es claro que {x} Y C =, luego (x, y) X Y C para todo y Y. Como X Y C es abierto, existirán abiertos U y x y V y t.q. x U y x, y V y y (x, y) U y x V y X Y C. Es claro que {U y x V y } y Y es un recubrimiento abierto de {x} Y y siendo este último compacto, por ser 19

20 homeomorfo a Y, admitirá un subrecubrimiento finito {U y 1 x V y1,..., Ux yn V yn }. Entonces U = U y 1 x... Ux yn es un abierto t.q. x U X p X (C), ya que U p X (C) =. Concluimos que X p X (C) es abierto, luego p X (C) es cerrado Corolario Sea Y compacto, A X y U un abierto en X Y t.q. A Y U, entonces existe un abierto V en X t.q. A Y V Y U. Dem. Como p 1 X (A) = A Y y p X es cerrada, se sigue de (4.11) que existe V abierto en X t.q. A V y V Y = p 1 X (V ) U Corolario Sea Y un e.t. compacto y Hausdorff, entonces f : X Y es continua si y sólo si su grafo Γ f es cerrado en X Y. Dem. Sea C cerrado en Y, si Γ f es cerrado entonces p 1 Y (C) Γ f = X C Γ f será cerrado en X Y. Notar que p X (X C Γ f ) = {x f(x) C} = f 1 (C), como p X cerrada se sigue que f 1 (C) es cerrado y por tanto que f es continua. Para el recíproco ver Ej Teorema Un producto finito de espacios es compacto si y sólo si lo son cada uno de sus factores. Dem. Sea X Y es compacto, entonces por (5.7) también X, Y son compactos ya que p X y p Y son continuas. Recíprocamente, sean X, Y compactos y sea U = {U i } i J un recubrimiento abierto de X Y. Dado x X es claro que {x} Y es compacto, ya que es homeomorfo a Y, entonces {x} Y admite un subrecubrimiento finito {U 1,..., U n }. Sea U x = U 1 U n, por (5.11) existirá un abierto V x t.q. {x} Y V x Y U x. Como X es compacto y X = x X V x, admitirá un subrecubrimiento finito {V x1,..., V xk }, entonces es claro que {V x1 Y,..., V xk Y } es un recubrimiento abierto de X Y, pero V xi Y U xi y cada U xi es unión finita de miembros de U, luego X Y compacto. Por inducción lo podemos extender a cualquier producto finito. Este último resultado se extiende también al caso infinito (Dugundji, 224) Teorema de Tychonoff Dada una familia arbitraria {X i } i J entonces el producto i J X i es compacto si y sólo si X i es compacto para todo i J. Espacios métricos compactos 5.14 Lema Sea R con la topología usual, todo intervalo cerrado [a, b] R es compacto y K R es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Dem. Sea U = {U i } i J un recubrimiento abierto de [a, b] y sea c el supremo de los x [a, b] t.q. [a, x] U 1 U n, para algún número finito de U i U. Supongamos que c < b y sea U 0 U t.q. c U 0, claramente existirá ε con 0 < ε < b c t.q. [c ε, c + ε] U 0. Como [a, c ε] se puede recubrir 20

21 con un número finito de abiertos {U 1,..., U n } U es claro que [a, c + ε] se podrá recubrir con {U 0, U 1,..., U n }, lo cual contradice que c sea el supremo. Entonces necesariamente c = b y por tanto [a, b] es compacto. Sea K un subespacio compacto, como (R, τ U ) es Hausdorff, se sigue que K es cerrado. Es claro que U = {( n, n)} n N es un recubrimiento abierto de K, por tanto existirá n 0 N t.q. K ( n 0, n 0 ), luego K está acotado. Recíprocamente, supongamos que K es cerrado y acotado, por ser K acotado existirán a, b R t.q. K [a, b], si K es cerrado en R también será cerrado en [a, b] y siendo este último compacto se sigue por (5.2) que K es compacto. Claramente K R n es acotado si y sólo si existen a i, b i R, para 1 i n, t.q. K [a 1, b 1 ] [a n, b n ] Teorema de Heine-Borel Un subespacio K R n es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Dem. Notar que R n no es compacto (en otro caso, por (5.13) también lo tendría que ser R). Sea K R n compacto, como R n es Hausdorff se sigue que K es cerrado. Por otra parte, p i (K) será compacto en R, para todo 1 i n, luego p i (K) [a i, b i ], para algún a i, b i R, entonces K [a 1, b 1 ] [a n, b n ] y por tanto K está acotado. Recíprocamente, sea K cerrado y acotado, por ser acotado es claro que K [a 1, b 1 ] [a n, b n ], y siendo este último compacto y K cerrado, se sigue por (5.2) que K también es compacto. Sea (E, d) un espacio métrico y A E, definimos el diámetro de A como d(a) = sup{d(x, y) x, y A} y diremos que A está acotado si d(a) <. Una función continua f : X E se dirá acotada si existe un número real M 0 t.q. d(f(x)) M, es decir si f(x) es un subespacio acotado de E Corolario Sea X un e.t. compacto y f : X R una aplicación continua, entonces f está acotada y alcanza sus cotas. Dem. Sean m = inf{f(x) x X} y M = sup{f(x) x X}, claramente m y M son puntos de acumulación de f(x), es decir m, M f(x). Entonces X compacto implica f(x) compacto en R, por tanto cerrado y acotado. En particular m, M f(x), es decir x 0, y 0 X t.q. f(x 0 ) = m y f(y 0 ) = M Lema de Lebesgue Sea (E, d) un espacio métrico compacto y U = {U i } i J un recubrimiento abierto de E, entonces existe ρ > 0 t.q. toda bola B(x, ρ) = {y E d(x, y) < ρ} está contenida en algún U i U (llamaremos a ρ el número de Lebesgue del recubrimiento U). Dem. Dado x i E existe U i U t.q. x i U i y como las bolas forman base de la topología inducida por la métrica, existe r i > 0 t.q. B(x i, r i ) U i. Notar que {B(x i, r i /2)} xi E es un recubrimiento abierto de E y como E compacto existirá un subrecubrimiento finito {B(x 1, r 1 /2),..., B(x n, r n /2)}, 21

22 entonces dado x E se sigue que x B(x i, r i /2) para algún i {1, 2,.., n}. Denotamos ρ = min{r 1 /2,..., r n /2}, entonces si z B(x, ρ) se tiene d(z, x i ) d(z, x) + d(x, x i ) < ρ + r i 2 r i luego z B(x i, r i ) y por tanto B(x, ρ) B(x i, r i ) U i. Ejercicio 27 Probar que S n 1 = {x R n x = 1} es compacto en R n. Ejercicio 28 Sea H 2 = S 2 {(x, y, z) z 0} R 3 el hemisferio norte. Probar que H 2 es compacto y si D 2 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} es el disco unidad en R 2, entonces h : H 2 D 2 dada por h(x, y, z) = (x, y) es homeomorfismo. Ejercicio 29 Sea A = [0, 1) R, B = {(x, y) R 2 y = x 2, x 0} R 2 y C = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1, x 0} R 2. Probar que A y B son homeomorfos pero ninguno de ellos es homeomorfo a C. Espacios localmente compactos Un subespacio A de un e.t. X se dice relativamente compacto si su clausura A es compacta. Un e.t. X se dice localmente compacto si todo punto de X tiene un entorno abierto relativamente compacto. Ejemplos (1) Todo espacio compacto es localmente compacto. (2) El espacio euclídeo R n es localmente compacto para todo n 1. (3) Todo espacio infinito y discreto es localmente compacto. La recta racional Q y la recta irracional R Q no son localmente compactos Teorema Sea X un e.t. Hausdorff, entonces son equivalentes: (1) X es localmente compacto. (2) Para todo x X y todo abierto U t.q. x U, existe un abierto V relativamente compacto t.q. x V V U. (3) Para todo subespacio compacto K y todo abierto U K, existe un abierto V relativamente compacto t.q. K V V U. (4) X tiene una base que consiste en abiertos relativamente compactos. Dem. Sea x X y U abierto en X t.q. x U. Si X localmente compacto, x admitirá un entorno W relativamente compacto. Por (5.6), notar que W es un T 4 -espacio y en particular será regular, como U W es un abierto en W t.q. x U W, por (4.9) existirá A abierto en W t.q. x A Cl W (A) U W. Notar que A = B W con B abierto en X, definimos entonces V = B W y es claro que x V V U, luego hemos probado que (1) = (2). Supongamos cierto (2) y sean K compacto y U abierto t.q. K U, para cada x K existirá un abierto V x relativamente compacto t.q. x V x V x U. Es claro que {V x } x K es un recubrimiento abierto de K y siendo K compacto existirá un 22