- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Topología

Transcripción

1 - Fernando Sánchez Topología Cálculo I en R Elementos de la topología en R. Una topología en un conjunto da un criterio para poder hablar de proximidad entre los elementos de un conjunto. En R hay varias topologías, y de ellas sólo una está inducida por el orden de R. Se llama topología natural o usual de R. En este capítulo se van a describir los conceptos y propiedades que tienen en R con esta topología natural. El elemento básico de esta topología en R es el intervalo. Si a, b R y a < b, se definen - Fernando Sánchez - - (a, b) = {x R : a < x < b} [a, b) = {x R : a x < b} (a, b] = {x R : a < x b} [a, b] = {x R : a x b}. Se llama intervalo abierto a (a, b), intervalo cerrado a [a, b], y semi abiertos a los otros dos. Para A R al conjunto A c = {x R : x / A} se le llama complementario de A. También se denota como A. Se tienen las relaciones A A c = y A A c = R. Definición. Dados a R y A R se dice que a) a es un punto interior de A si r > 0 : (a r, a + r) A; b) a es un punto frontera de A si r > 0 (a r, a+r) A y (a r, a+r) A c ; c) a es un punto adherente a A si r > 0 (a r, a + r) A ; î ó d) a es un punto de acumulación de A si r > 0 (a r, a + r) \ {a} A ; e) a es un punto aislado de A si r > 0 : (a r, a + r) A = {a}. Se denotan mediante Å, A, A, A y A s a los conjuntos de puntos interiores, fronteras, adherentes, de acumulación y aislados del conjunto A. Topología en R 1

2 Ejemplos. - Fernando Sánchez - - A Å A A A A s {2, 4, 6, 8} {2, 4, 6, 8} {2, 4, 6, 8} {2, 4, 6, 8} N N N N Q R R R (0, 1) (0, 1) {0, 1} [0, 1] [0, 1] (0, 1] {2} (0, 1) {0, 1, 2} [0, 1] {2} [0, 1] {2} {1/n : n N} A {0} A {0} {0} A Ejercicio. Escribir correctamente qué significa cada una de las sentencias siguientes, tal y como se hace en el primer apartado: a) a / Å r > 0 (a r, a + r) Ac b) a / A... c) a / A... d) a / A... e) a / A s... Proposición. Para cualquier subconjunto A R se tiene a) Å A A; b) A = Å A = A A = A A ; - Fernando Sánchez - - c) Si a A entonces a es interior o es frontera (pero no puede ser las dos cosas a la vez), es decir, A Å A; d) A = A c = A A c. Se pueden caracterizar estos conjuntos Å, A,... utilizando distancias. Si x R y A R se define d(x, A) = ínf{ x a : a A} que tiene sentido ya que { x a : a A} está acotado inferiormente (por 0) y por tanto tiene ínfimo. Además, d(a, A) = 0 para todo a A. Ejercicio. Comprobar que 1) x A d(x, A) = 0, pero la implicación contraria no es cierta en general 2) x A d(x, A) = 0 3) x Å d(x, Ac ) > 0 4) x A d(x, A) = 0, y no es cierta en general la implicación contraria 5) x A d(x, A) = d(x, A c ) = 0 x A c Definición. Se dice que A es abierto si A = Å, es decir, si todo punto de A es interior. Se dice que A es cerrado si A = A, es decir todo punto adherente a A pertenece a A. Hay conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados; los conjuntos y R son los únicos que son abiertos y cerrados. Por ejemplo, N es cerrado Topología en R 2

3 - Fernando Sánchez - - y Q no es ni abierto ni cerrado. El intervalo (3, 7) es abierto, [ 2, 4] es cerrado y [0, 6) no es ni abierto ni cerrado. El conjunto {1 + 1/n : n N} no es abierto ni cerrado, pero {1 + 1/n : n N} {1} es cerrado. Proposición. Un conjunto es abierto si y sólo si su complementario es cerrado, es decir, A = Å Ac = A c, que también se puede escribir como A = A A c = Âc. Demostración. El paso al complementario A A c transforma interiores en adherencias y adherencias en interiores. Como muestra el esquema siguiente A A Å (Å)c A c = A c (A) c = Âc Las igualdades (Å)c = A c y (A) c = Âc que aparecen en este esquema son fáciles de probar: x (Å)c x / Å (x r, x + r) Ac ( r > 0) x A c, y x (A) c x / A (x r, x + r) A c ( r > 0) x Âc. Como consecuencia de estas igualdades A es abierto A = Å Ac = A c - Fernando Sánchez - - A c es cerrado, y A es cerrado A = A A c = Âc A c es abierto. En general, mediante el paso al complementario, se pueden expresar relaciones de formas distintas pero equivalentes. Las expresiones 1 y 1 coinciden; la 2 y 2 también, etcétera: 1 x A 1 x / A c 2 (x r, x + r) A 2 (x r, x + r) A c = 3 x Å 3 x / Ac 4 A = Å 4 Ac = A c 5 A es abierto 5 A c es cerrado Definición. Se llama topología usual de R a la colección τ formada por el vacío y todos los subconjuntos abiertos de R. Se escribe Proposición. a), R τ A τ A es abierto o A =. b) A i τ (i I) i I A i τ (la unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto) c) A i τ (i I, I finito) i I A i τ (la intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto) Topología en R 3

4 - Fernando Sánchez - - Demostración. La primera parte es trivial. Para la segunda, si cada A i es abierto y a i I A i entonces para algún valor j I se tiene a A j. Por ser A j abierto se tiene a (a r, a + r) A j i I A i. Por último, dada una cantidad finita de abiertos A 1,... A n τ, si a A 1... A n entonces a (a r i, a + r i ) A i, ya que cada A i es abierto. Si r = mín{r 1,..., r n } entonces a (a r, a + r) A 1... A n. En general, la intersección de infinitos conjuntos abiertos no es un conjunto abierto, como por ejemplo Ç (0, 1] = 0, å Ç, {0} = 1 å n n, 1. n n=1 Proposición. Un conjunto A R es abierto si y sólo si es unión de intervalos abiertos. Demostración. Ya se ha visto que si A es unión de intervalos abiertos entonces A es abierto. Sea entonces A es un conjunto abierto. Para cada x A existe un intervalo (x r x, x + r x ) que verifica (el radio r x varía con cada punto x) Por tanto, tomando uniones, - Fernando Sánchez - - n=1 x (x r x, x + r x ) A. A = {x} (x r x, x + r x ) A x A y A es unión de intervalos abiertos. x A Como conjuntos cerrados y abiertos se corresponden mediante el paso al complementario (A es cerrado A c es abierto), utilizando las leyes de De Morgan, ( A i)c = ( A c i, A i)c = A c i, i I i I i I i I se tiene que a), R son cerrados, b) la intersección de conjuntos cerrado es un conjunto cerrado, c) la unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Sin embargo, la unión de cerrados puede resultar un conjunto no cerrado, como muestran las igualdades ñ ô ñ 1 1 (0, 1] = n, 1, (0, 1) = n, 1 1 ô. n n=1 En cursos posteriores se estudian topologías en cualquier conjunto. Una topología en un conjunto A es una colección τ de subconjuntos de A, τ P(A), que verifica las condiciones de la proposición anterior: a), A τ, b) la unión de elementos de τ es un elemento de τ y c) la intersección finita de elementos de τ es un elemento de τ. A los elementos de τ se les llama abiertos de la topología o, simplemente, abiertos. Por ejemplo, las topologías con menos y con más abiertos posibles en A se llaman grosera y discreta. La topología grosera sólo tiene como abiertos a y A. La topología discreta tiene como abiertos a todos los subconjuntos de A. n=2 En este curso sólo se estudia una topología en R, la usual. Topología en R 4

5 - Fernando Sánchez - - Propiedades topológicas de R. Se puede expresar en términos topológicos la idea de que los números racionales Q y los números irracionales I están por todas partes: en cada intervalo (a, b) o (a r, a + r), por pequeño que sea, hay números racionales e irracionales. Teorema. En cada intervalo (a, b) hay números racionales e irracionales. Demostración. Dados a, b R con a < b se elige n N que verifique 1 < n(b a), es decir 1/n < b a. La existencia de este n se puede justificar utilizando la propiedad arquimediana. Sea m Z verificando m 1 a < m n n, es decir, m 1 na < m. La existencia de este valor m es fácil justificarla. Se trata de probar que m/n < b y así se tendría m/n (a, b). Si fuera m/n > b entonces m n m 1 n > b a y se llega a una contradicción, 1/n > b a. Esto prueba que existe m/n (a, b). Para ver que hay números irracionales en (a, b) se considera el mismo razonamiento anterior aplicado al intervalo (a/ 2, b/ 2). Se encuentra un número m/n en él y así m 2/n (a, b) es el número irracional buscado. Según este resultado, si a R, entonces para cualquier r > 0 se tiene (a r, a+r) Q, y por tanto, a Q. El mismo razonamiento se puede utilizar para probar que a I. En definitiva se tiene Q = R y I = R y se dice que Q e I son densos en R. Para una topología en un conjunto A, se dice que B A es denso en A si B = A. - Fernando Sánchez - - Corolario. En cada intervalo (a, b) hay infinitos números racionales e infinitos irracionales. El siguiente resultado es equivalente al teorema fundamental del orden en R. Muestra de nuevo la diferencia entre Q (donde el teorema es falso) y R. Teorema (Bolzano). Todo conjunto infinito y acotado de números reales tiene algún punto de acumulación. Este resultado no es cierto en el conjunto de números racionales. Por ejemplo, A = {1, 1 4, 1 41, 1 414, ,...} tiene infinitos elementos, está acotado, y no tiene puntos de acumulación: ese posible punto de acumulación no está en el conjunto de números racionales. Demostración. Sea A R infinito y acotado. En particular A está contenido en un intervalo A [a, b]. Se considera el conjunto C = x [a, b] : a la derecha de x hay infinitos elementos de A que es acotado superiormente (por ejemplo b es cota superior) y es no vacío, ya que a C. Sea entonces d = sup(c). La demostración termina probando que d es punto de acumulación de A. Para ello se verá que dado r > 0 se tiene (d r, d+r) A es infinito, con lo que resultará que d es punto de acumulación de A. Se tiene Topología en R 5

6 - Fernando Sánchez - - a) a la derecha de d r hay infinitos puntos de A, ya que en caso contrario d r sería una cota superior de C menor que d, y b) a la derecha de d + r hay, como mucho, finitos puntos de A, ya que en caso contrario d no sería cota superior de C. De a) y b) se sigue que (d r, d+r) A es infinito. En particular d es punto de acumulación de A. Conjuntos compactos. Se dice que una colección de conjuntos {G i recubrimiento abierto de A si cada G i es abierto y A i I G i. - Fernando Sánchez - - : i I} es un Definición. Un conjunto A R se dice compacto si de todo recubrimiento abierto de A se puede extraer un recubrimiento finito (que se suele llamar subrecubrimiento finito), es decir, A G i i I A G i 1 G i2... G in. G i abierto i I Sea como sea el recubrimiento abierto de A, es suficiente con una cantidad finita para seguir recubriendo al conjunto A. Ejemplos. 1) Todo conjunto finito A = {x 1,..., x n } es compacto, ya que de cada recubrimiento de A elegimos un elemento del recubrimiento que contenga a x 1, otro que contenga a x 2, etcétera. 2) Hay conjuntos infinitos como N que no son compactos: hay recubrimientos como N n N Ç n 1 3, n + 1 å 3 en los que no se puede quitar ninguno de esos conjuntos, ya que dejaría de ser un recubrimiento de N. 3) Incluso hay conjuntos acotados que no son compactos, como muestran las siguientes relaciones 1 n : n N Ç 1 n 1 n 2 + n, 1 n + 1 å n 2 + n 4) R no es compacto Å ã 0, 1 n N n N Ç 0, 1 1 n 5) En cambio, {1/n : n N} {0} sí es compacto. Cualquier abierto que contenga a 0 contiene a todos los términos 1/n salvo, a lo sumo, una cantidad finita de términos. La caracterización y propiedades de los conjuntos compactos forman un apartado esencial en el análisis de una variable real. Una herramienta que simplifica este estudio es: Lema. Si A R, cada recubrimiento abierto de A admite un subrecubrimiento numerable. Se dice que R es un espacio de Lindelöff. å Topología en R 6

7 - Fernando Sánchez - - Demostración. En primer lugar, en R sólo hay una cantidad numerable H 1, H 2, H 3,... de intervalos abiertos cuyos extremos son racionales. Sea A i I G i un recubrimiento abierto de A. Cada x A está en algún G i, que es un conjunto abierto. Luego x H n G i para algún n. Por tanto A está recubierto por todos los H n que intervienen en este proceso (que son una cantidad numerable a lo sumo). A su vez, cada uno de estos H n está contenido en algún G i según se ha visto antes. Luego A está recubierto por una cantidad numerable de abiertos G i. Como consecuencia, dado un recubrimiento A i I G i, siempre se puede conseguir un subrecubrimiento numerable (A debe estar contenido en la unión de una cantidad numerable de esos abiertos): A G i1 G i2 G i3... Ser compacto dice que además se puede extraer un recubrimiento finito. Por este motivo, cuando se habla de un recubrimiento abierto de un conjunto A R, es frecuente suponer que ese recubrimiento es, como mucho, numerable, cosa que puede hacerse por el lema anterior. Teorema (Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstrass) Para A R son equivalentes 1) A es compacto 2) Todo subconjunto infinito de A tiene algún punto de acumulación en A 3) A es cerrado y acotado Demostración. La prueba consiste en demostrar las implicaciones 1) 3) 2) 1) y así se tendrá la equivalencia entre todas: 1) 2) 3). - Fernando Sánchez - - 1) 3). Para ello se verá que si A no es cerrado o no es acotado, entonces A no es compacto. Si A no es acotado, entonces el recubrimiento abierto A Ä ä n, n no puede reducirse a un recubrimiento finito, ya que en ese caso se tendría A n N m Ä ä Ä ä n, n = m, m y A estaría acotado. En este caso resulta que A no es compacto. n=1 Si A no es cerrado, entonces existe un elemento que verifica aa, a / A (todo conjunto cumple A A y ambos coinciden sólo cuando A es cerrado). Se consideran los conjuntos A 1 = {x R : x a > 1} = [a 1, a + 1] c A 2 = x R : x a > 1 ñ = a 1 2 2, a + 1 ô c 2 A 3 = x R : x a > 1 ñ = a 1 3 3, a + 1 ô c 3. que son todos abiertos y verifican A 1 A 2 A 3... Topología en R 7

8 - Fernando Sánchez - - Además forman un recubrimiento abierto A n N A n = A 1 A 2 A 3..., ya que si x A entonces x a > 0 y así x A n para algún n. De este recubrimiento no es posible extraer un subrecubrimiento finito. Si A estuviera contenido en una unión finita de esos conjuntos A A 1... A n entonces A estaría contenido en el de subíndice mayor, A A n. Pero entonces se tendría x a > 1/n para todo x A y a no sería un elemento de A, ya que (a 1/n, a + 1/n) no tendría puntos de A. Se llega entonces a que A no es compacto. 3) 2). Es el teorema de Bolzano. Por ser A acotado, cualquier subconjunto B A infinito también lo es. Por el teorema de Bolzano B tiene un punto a de acumulación que verifica a B A = A. 2) 1). Por reducción al absurdo, se supone que A no es compacto, es decir, que existe algún recubrimiento numerable de A G 1... G n..., que no admite ningún subrecubrimiento finito. En ese caso se tiene que A G 1... G n para todo n = 1, 2, 3,... Entonces se puede elegir una colección de infinitos elementos de A haciendo lo siguiente: a) Se comienza por un elemento x 1 A. Este elemento verifica x 1 G n1 para algún n 1. b) Sea x 2 A con x 2 / G 1... G n1. Así x 2 x 1. Además n 2 > n 1 con x 2 G n2. c) Ahora se elige x 3 A con x 3 / G 1... G n2. Así x 3 x 2, x 3 x 1. Sea n 3 > n 2 con x 3 G n3. d) Sea entonces x 4 A con x 4 / G 1... G n3. Con esto se consigue x 4 distinto de x 1, x 2 y x 3. e) etcétera Se encuentra así un subconjunto infinito {x 1, x 2, x 3,...} A que, por hipótesis tiene un punto de acumulación a A. Este elemento a debe estar en algún G p. Sin embargo, este G p sólo contiene finitos elementos del conjunto {x 1, x 2, x 3,...} (si p < n k entonces x k+1, x k+2,... no están en G p ). Esto contradice el hecho de que a sea un punto de acumulación de x 1, x 2,... - Fernando Sánchez - - Corolario. Son conjuntos compactos la unión finita de compactos, la intersección de compactos y los subconjuntos cerrados de compactos. Definición. Se dice que a es el máximo de A si a = sup(a) y además a A. Se dice que a es el mínimo de A si a = ínf(a) y además a A. Se denotan máx(a) y mín(a). Por ejemplo, si A = (0, 1] entonces no existe mínimo, ínf(a) = 0 y sup(a) = máx(a) = 1. En general, ínf(a) y sup(a) son elementos de A o son puntos de acumulación de A. En cualquier caso, ínf(a), sup(a) A. Proposición. Si A es un conjunto compacto no vacío, entonces A tiene máximo y mínimo. Demostración. Como A es acotado y no vacío existen ínf(a) y sup(a). Por ser cerrado ambos están en A. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Rep. Checa, ) Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Alemania, ) Heinrich Eduard Heine (Alemania, ) Félix Édouard Justin Émile Borel (Francia, ) Henri Léon Lebesgue (Francia, ) Topología en R 8