Índice. Funciones de varias variables reales I Espacios normados. Revisando con perspectiva. Se puede hacer de forma más general?

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1 Índice Funciones de varias variables reales I Espacios normados José Manuel Mira Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia Grado en Matemáticas ( ) 1 Espacios normados. El espacio R n Revisando con perspectiva Espacios normados y espacios con producto escalar 2 Espacios normados de dimensión finita e infinita Normas equivalentes. Espacios de dimensión infinita Sucesiones de Cauchy y completitud Revisando con perspectiva ) 1 Se puede hacer de forma más general? Los espacios normados más simples son (R, ) y (C, ). Propiedades importantes para nosotros ahora (x, y R ó C) 1 x 0 y x = 0 x = 0. 2 x + y x + y para todo x, y. 3 yx = y x para todo y, x. El cuerpo C puede ser considerado como espacio vectorial de dimensión 2 sobre R. z = x + iy (x, y). Esa correspondencia entre C y R 2 es consistente con la suma y el producto por escalares reales (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) a(x 1, x 2 ) = (ax 1, ax 2 ) y poniendo (x 1, x 2 ) := x1 2 + x 2 2 también se cumplen (recordemos) 1 x 0 para todo x R 2 y x = 0 x = 0. 2 x + y x + y para todo x, y R 2. 3 ax = a x para todo x R 2 y a R. Empecemos por R 3 x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ), a R, x = x1 2 + x x 3 2 Será cierto lo siguiente? 1 x 0 para todo x R 3 y x = 0 x = 0. 2 x + y x + y para todo x, y R 3. 3 ax = a x para todo x R 3 y a R. La primera y la última son triviales, pero... la segunda? Cómo lo hicimos con los complejos? podemos generalizarlo? < x y > := ) 3 2 x k y k x y

2 Producto escalar Una desigualdad clave En R 2, R 3... R n 1 Qué es el producto escalar usual? 2 Qué propiedades tiene? Definición de producto escalar Sea E un espacio vectorial real. Una aplicación B : E E R se llama producto escalar si cumple las siguientes propiedades. 1 Fijado y E la aplicación B(, y) es lineal. 2 Fijado x E la aplicación B(x, ) es lineal. 3 B(x, y) = B(y, x) para todo x, y E. 4 B(x, x) 0 y B(x, x) = 0 implica x = 0. Es costumbre representar una tal B en la forma < >. (E, < >) Desigualdad de Cauchy-Schwarz Sea (E, < >) espacio vectorial real con un producto escalar. Sea x := < x x >. Entonces < x y > x y, x, y E DEM: Fijados x, y definir φ(t) :=< x + ty x + ty > para t R. Por las propiedades del producto escalar φ(t) 0. Pero φ(t) es una parábola, luego el discriminante del correspondiente polinomio de segundo grado ha de ser menor o igual que cero: esto permite obtener la prueba. [1, Proposición 2.2]. Si alguno de los vectores x, y es nulo la desigualdad se transforma en una igualdad. Lo mismo ocurre si x e y son linealmente dependientes. En los demás casos la desigualdad es estricta. ) 5 Y algunas de sus consecuencias importantes Las normas permiten medir distancias Corolario Si (E, < >) es un espacio vectorial real con un producto escalar y x := < x x >, entonces se verifica: 1 x 0 para todo x E y x = 0 x = 0. 2 x + y x + y para todo x, y E. 3 ax = a x para todo x E y a R. Definición Se llama espacio normado (E, ) a un espacio vectorial E dotado de una norma,, es decir una aplicación real que satisface las tres propiedades del corolario anterior. Corolario Un espacio con producto escalar (E, < >) es un espacio normado para la norma definida por x := < x x > Las normas tienen las propiedades del valor absoluto. El valor absoluto permite medir distancias: noción de proximidad... y de límite. Las normas permiten medir distancias? Proposición Sea (E, ) un espacio normado. Definimos d(x, y) := x y. Entonces (E, d) es un espacio métrico. DEM: Repasar la correspondiente de R y adaptarla. Conclusión En un espacio normado podemos hablar de bolas, de límite de sucesiones y de funciones, de sucesiones de Cauchy, de continuidad... con la mismas definiciones que en una variable real, sin más que reemplazar por. ) 7

3 En R n hay más normas? Los productos escalares permiten medir distancias y ángulos Sí, y para algunas es sencillo probar que son normas. 1 La norma euclídea, ya analizada (R n, 2 ), donde x 2 := n 2 2 Otra norma importante (R n, 1 ), donde x 1 := n 3 Y aún otra, igualmente importante (R n, ), donde x := max{ : 1 k n} Cómo son sus bolas? Cómo miden las distancias? Los límites (y sus derivados) se expresan en términos de distancia. Significa eso que el límite de una sucesión y su existencia puede depender de la norma utilizada? Ejercicio Se le ocurre algún otro producto escalar en R 2, R 3...? Ponga algún ejemplo y dibuje dos vectores ortogonales. Como espacios normados que son, permiten medir distancias. La desigualdad de Cauchy-Schwarz es la clave para medir ángulos. Si x, y son no nulos, entonces < x y > x y, x, y E < x y > x y 1 < x y > x y ) 9 [ 1, 1] Existe entonces un único θ [0, π], llamado el ángulo entre x e y, tal que cos θ = < x y > < x y >= x y cos θ x y Cuando < x y >= 0 que corresponde a θ = π/2 se dice que los vectores son ortogonales. Equivalencia de normas Definición de normas equivalentes Dos normas en un mismo espacio vectorial E se dicen equivalentes cuando las distancias asociadas lo son (es decir, definen la misma topología). Proposición: caracterización de la equivalencia Sean 1 y 2 dos normas cualesquiera en un espacio vectorial E. Las normas son equivalentes sii existen α, β > 0 tales que α x 1 x 2 β x 1, x E Pueden ser ortogonales esos dos vectores? Ejercicio En R n las normas 1, 2 y anteriormente definidas son equivalentes. Cúales son las constantes α y β? ) 11

4 Equivalencia de normas Proposición En R n todas las normas son equivalentes. Lo cual significa que la convergencia no depende de la norma. DEM: Los ingredientes son: [Teo. 3.18] 1 Los compactos de R n (en las tres normas) son los cerrados y acotados (Bolzano-Weierstrass) (producto compactos). 2 Cualquier norma es una función continua en su propia topología, y por tanto en una topología más fina como es la correspondiente a 1 (desigualdad triangular). 3 La esfera unidad de la norma 1 es compacta. 4 Las funciones continuas en compactos alcanzan su mínimo absoluto (Weierstrass, teo. 3.16). Algunos espacios normados de dimensión infinita l 1 := {x := (x k ) : l 2 := {x := (x k ) : l := {x := (x k ) : < }, x 1 := ( 2 < }, x 2 := 2) 1/2 sup < }, x := sup C[0, 1] := {f : [0, 1] R : f continua}, f = sup{ f (t) : t [0, 1]} C[0, 1], f 1 = 1 0 ( 1 f (t) dt, f 2 = 0 ) 1/2 f (t) 2 dt Sucesiones de Cauchy y completitud Definiciones Una sucesión (x n ) n en un espacio métrico (E, d) 1 se llama convergente a x E si para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que si n > n 0 se tiene d(x n, x) < ɛ; 2 se llama de sucesión de Cauchy si para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que si p, q > n 0 se tiene d(x p, x q ) < ɛ. Una sucesión convergente es siempre de Cauchy Definición Sea un espacio métrico (E, d). Si todas las sucesiones en (E, d) que sean de Cauchy son convergentes el espacio se llama completo. Si se trata de un espacio normado completo, (E, ), entonces E se llama espacio de Banach. Si se trata de un espacio con producto escalar completo para la norma entonces se llama espacio de Hilbert El espacio R n es completo (es un espacio de Banach) para las tres normas que venimos considerando... y para todas. ) 13 ) 15 Espacios normados de dimensión finita: caracterización Para cualquier norma, la bola unidad cerrada en (R n, ) es un compacto ( por qué?). El recíproco también es cierto. Teorema Sea un espacio normado (E, ). Son equivalentes: 1 E es un espacio de dimensión finita. 2 La bola unidad cerrada B E [0, 1] es compacta. DEM: Si B E [0, 1] es compacta, dado ɛ < 1 puede recubrirse con una unión finita de bolas B(x i, ɛ) con 1 i k. Entonces E coincide con la clausura lineal de los vectores (x i ) k i=1. De no ser así se generar una contradicción. Sea F = lin(x i ) k i=1 y sea x E \ F que puede suponerse de norma unidad. Como B F es compacto y es continua, existe y B F a distancia mínima de x, x y = α > 0. Sea z = x y α Para algún j es z B(x j, ɛ). Entonces x = y + αz = y + α(x j ) + α(z x j ). De donde x (y + αz) = α(z x j ) y por tanto α x (y + αz) < αɛ 1 < ɛ (Teo. 3.20)

5 Bibliografía G. Vera y S. Sánchez-Pedreño Análisis Matemático II P.J. Herrero Topología de espacios métricos 24/09/2013 ) 17