Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática Primer Cuatrimestre de k=1. x, y = x k y k.

Transcripción

1 Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática Primer Cuatrimestre de 003 Análisis Funcional Práctica N 5: Espacios de Hilbert 1. Sean H un espacio vectorial y a : H H C una forma sesquilineal, hermitiana y semidefinida positiva. (a) Probar la desigualdad de Cauchy-Schwartz: a(x, y) a(x, x) 1/ a(y, y) 1/ x, y H (b) Probar la desigualdad triangular: a(x + y, x + y) 1/ a(x, x) 1/ + a(y, y) 1/ x, y H (c) Si además a(x, x) = 0 x = 0 (o sea a es definida positiva) entonces x = a(x, x) 1/ es una norma en H.. Probar que son espacios de Hilbert: (a) C n, con producto escalar x, y = x k y k (b) l, con producto escalar x, y = x k y k (c) L (X), donde (X,, µ) es un espacio de medida, con producto escalar f, g = X f g dµ (d) H 1 (Ω) := W 1, (Ω) (definido en el Ejercicio 18 (c) Práctica 1; donde las funciones son a valores reales), con el producto escalar f, g = Ω fg + Ω f g 3. Si H es un espacio vectorial y a : H H C es sesquilineal y hermitiana, vale la fórmula de polarización, x, y H: a(x, y) = 1 4 a(x + y, x + y) a(x y, x y) + i [ a(x + iy, x + iy) a(x iy, x iy) ]} En particular, en H Hilbert, x, y H: x, y = 1 4 x + y x y + i ( x + iy x iy )}

2 4. (a) Sea (E, ) un espacio de Banach. Probar que existe un producto escalar que induce la norma de E (y que hace de E un espacio de Hilbert) si y sólo si verifica la identidad del paralelogramo: x + y + x y = ( x + y ) x, y E (b) (l p, p ), si p y (C[0, 1], ) no son espacios de Hilbert. 5. Sea H un espacio de Hilbert y sea e n } n un conjunto ortonormal. Son equivalentes: (a) e n } n es ortonormal maximal. (b) Si x H, x e n n, entonces x = Ortogonalización de Gram-Schmidt: Sea H un espacio de Hilbert y supongamos que b n } n es un subconjunto linealmente independiente de H que genera un subespacio denso en H. (a) Definamos e 1 = b 1 b 1 y, una vez definido e n, e n+1 = b n+1 b n+1 b n+1, e k e k b n+1, e k e k Probar que e n } n es una base de H. (b) Si f n } n es un conjunto ortonormal tal que para cada n IN, existen λ 1,..., λ n C, con λ n 0, tales que f n = λ i b i entonces f n = α n e n, con α n C, α n = 1 n. i=1 7. Desigualdad de Bessel: Sea H un espacio de Hilbert y sea x n } H un conjunto ortonormal. Probar que N (a) x H y para cada N IN, x, x n x. (b) x H, x, x n converge y x, x n x. 8. Sea H un espacio de Hilbert, si e n } es una base de H entonces x H vale: (a) x = x, e n e n (b) x = x, e n (c) Si y H, x, y = x, e n y, e n 9. (a) Probar que e n } n IN l dado por (e n ) k = δ n k es una base de l. (b) Probar que eint π : n ZZ } es una base de L [ π, π].

3 (c) Probar que 1, cos(nπx), sin(nπx)} es una base de L [ 1, 1] considerado como IR espacio vectorial. 10. (a) El conjunto 1, x, x,...} es linealmente independiente y genera un subespacio denso en el espacio de Hilbert real L [ 1, 1]. Su ortogonalización de Gram- Schmidt e n } n IN satisface que ( ) n + 1 1/ e n (x) = P n (x) donde P n (x) = 1 ( d n n! dx )n (x 1) n son los polinomios de Legendre. (b) El conjunto x n x / e : n 0} es linealmente independiente y genera un subespacio denso en el espacio de Hilbert real L (, ). Su ortogonalización de Gram-Schmidt e n } n IN satisface que e n (x) = 1 πn n! H n(x) e x / donde H n (x) = ( 1) n e x ( d dx )n e x son los polinomios de Hermite y H n = n H n Sean H y K espacios de Hilbert. En H K definimos (h 1, k 1 ), (h, k ) = h 1, h H + k 1, k K Probar que (H K,, ) es un espacio de Hilbert, y que H 0} y 0} K son cerrados y ortogonales en H K. 1. Sean H un espacio de Hilbert, S H un subespacio cerrado propio. (a) Probar que existe x H S tal que x S. (b) Si S = x H : x S} entonces S es un subespacio cerrado y S S = H. (c) (S ) = S (d) Dar contraejemplos de (b) y (c) si S no es cerrado. 13. (a) Sean H un espacio de Hilbert, D H un subconjunto. El subespacio generado por D es denso en H si y sólo si se verifica x, y = 0 y D x = 0 } (b) En l sea S = x l : x n = 0. Probar que S es denso en l. 14. Sean S y T subespacios cerrados y ortogonales de un espacio de Hilbert H. Probar que S T es cerrado. 15. Si x n } n IN es un sistema ortogonal completo en un espacio de Hilbert H y y n } n IN es una sucesión ortogonal en H que verifica entonces y n } n IN es también completo. x n y n < 1, 3

4 Familias Sumables. Sean E un espacio de Banach, (x i ) una familia en E. Definición: x i es de Cauchy si y sólo si ε > 0 F I, F finito, tal que si G 1 y G son subconjuntos finitos de I que contienen a F entonces x i x i < ε i G 1 i G 16. Probar que la siguiente definición es equivalente a la anterior: ε > 0 F I, F finito, tal que si F G I, G finito, entonces x i < ε i G F Definición: x i = x (x E) si y sólo si ε > 0 F I, F finito, tal que si F G I, G finito, entonces x i x < ε i G En este caso se dice que la familia es sumable. 17. En un espacio de Banach E, x i es de Cauchy si y sólo si (x i ) es sumable. 18. Si x = x i, y = y i, λ C, entonces x + y = (x i + y i ) λx = i ) (λx 19. Si x = x i, y H, con H Hilbert, entonces x, y = x i, y 0. Si x i es de Cauchy entonces i I : x i 0} es a lo sumo numerable. 1. l (I) = (x i ) C : x i < }, con x, y = x i y i, es un espacio de Hilbert. (enunciar y probar Hölder para que el producto escalar esté bien definido). Pitágoras: Sea (x i ) una familia ortogonal en un espacio de Hilbert H. (x i ) es sumable si y sólo si ( x i ) es sumable y en tal caso x i = x i 4

5 3. Desigualdad de Bessel: Sea H un espacio de Hilbert.Si (x i ) es una familia ortonormal en H y x H entonces ( x, x i ) es una familia sumable y x, x i x 4. Demostrar que todo espacio de Hilbert H admite una base y que dos bases cualesquiera son coordinables. 5. (a) Un espacio de Hilbert es separable si y sólo si todo sistema ortonormal es a lo sumo numerable. (b) Si #(I) > ℵ 0, l (I) no es separable. 6. Sea H un espacio de Hilbert. (a) Si (x i ) es una base de H, entonces x H x = x, x i x i x = x, x i (b) Si (x i ) es una base de H, entonces H es isométricamente isomorfo a l (I). (c) Todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isométricamente isomorfo a l (IN). 5