Espacios con producto interno

Transcripción

1 Espacios con producto interno. En el espacio vectorial R con el producto interno euclideano, calcule: a) < (,, ), (,, )> b) (7,, ) (7,, ) c) <(,, ), (x, x, x )> d) î ĵ e) (v, v, v ) (w, w, w ) f) ( î ĵ) ( ĵ kˆ ). Determine cuál o cuáles de las siguientes funciones f definen un producto interior en R. Si x = ( x, x ) e y = ( y, y ), f x, y = x + y x y a) ( ) f x, y = x y b) ( ) f x, y = x + y x y x y 5x y c) ( ). Muestre que cada una de las funciones siguientes es un producto interno en el espacio que se indica: t a) < X, Y > = X Y, en el espacio M n ( R) t b) < A, B > = tr(a B), en el espacio M ( R ) = c) < p( x), q( x) > p(x) q(x) dx, en el espacio [ x] P n. Calcule la norma de cada vector v, de acuerdo al producto interno que se indica: a) v = (, -5), en b) v = (, -5), en c) v = i + j k, en R con el p.i. canónico. R con el p.i. definido en ejercicio.c. R con el p.i. canónico. d) v = ( - 5) t, en M 5 ( R) con el p.i. dado en ejercicio.a. e) v = I en M ( R ) con el p.i. dado en ejercicio.b. f) v = x x + en [ x] P con el p.i. dado en ejercicio.c. 5. Calcule la distancia y el ángulo entre los vectores u y v, de acuerdo al producto interior que se indica:

2 a) u = i j + k, v = -i + j + 5 k en b) u = + x, v = x en [ x] P con p.i. dado en ejercicio.c. 0 5 c) u =, v = en M ( R ) con p.i. dado en ejercicio.b.. Considere el espacio R con el producto interior usual y los vectores u = (,, -), v = (0, -, ). Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas: a) La norma de u + v es. b) El vector v es unitario. 5 c) La distancia entre u y v es 90. d) El ángulo θ entre u y v es tal que 0 < θ < 5. e) El vector w = (-,, 0) es ortogonal a u + v. 7. Determine, en cada caso, para qué valor o valores de k R el vector u es ortogonal a v si: a) u = (k, k, -), v = (k, -, 7) en b) u = (k, -5,, k ), v = ( k, -, -k, -5) en k 0 c) u =, v = en M ( R ) con p.i. dado en ejercicio.b Sean u, v vectores de Calcule < u, v >. n R tales que u =, v = y el ángulo entre u y v es π. 9. Sean u, v vectores ortonormales de un espacio con producto interno V. Demuestre que u v =. 0. Sea V un espacio con p.i. <, > y sean u, v V. Demuestre que: a) < u, v > = 0 u + v = u + v. b) < u, v > = u + v u v.

3 c) u + v = u + v + u v. d) < u, v > = 0, u V v = 0. Considere el espacio R con el p.i. canónico. Determine dos vectores unitarios y ortogonales a u = (, 0, -, ) y v = (0,,, -).. En R con el producto interior usual considere los vectores v = (,, ), v = (-, 0, ) y v = (0,, ). Encuentre un vector u R tal que < u, v > = 0, < u, v > = y < u, v > =. El vector u es único?. En R con el producto interior canónico considere los subespacios {(, 0, ), (,, ) } > y W = < {( 0,, )} > = < W Encuentre bases para, W, ( W W ), W W, ( W + ) + W W. W W y. Sea V espacio con producto interno <, > y sean U, W subespacios de V. Demuestre: a) U W W U b) ( U + W) = U W 5. Sea V un espacio con producto interno. Demuestre que todo conjunto ortogonal de vectores no nulos de V es linealmente independiente.. Considere R con el producto interior canónico. Muestre que toda base ortonormal de R tiene una de las dos formas siguientes: B = { (a, b), (b, -a) } o bien B = { (a, b), (-b, a) } 7. Considere R con el producto interno usual. Use el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para obtener, a partir de la base B dada, una base ortonormal de R. a) B = { (,, ), (0,, -), (-, 0, ) } b) B = { (,, ), (-,, 0), (,, ) }

4 8. Encuentre una base ortonormal para cada uno de los subespacios W. a) W = { (x, y, z) R : x y + z = 0 } b) W = < { (, -,, 0), (, 0, -, ), (-,, -, -) }> c) W = { (x, y, z, w) d) R : x y + z = 0 w = 0 } a b W = M ( R) : a d = 0 c + b = 0 M ( R ) con el p.i. del c d ejercicio.b). 9. Sea B la base de R formada por los vectores v = (,, ), v = (,, -) y v = (, -, ). Verifique que B es ortogonal y determine los coeficientes de Fourier < v, v i > α i =, i =,,, del vector v = (5,, ) con respecto a la base B. v i 0. Considere la base de R, B = { (-, 0, ), (0,, 0), (, 0, ) }. a) A partir de B construya C, C base ortonormal de R v coordenadas del vector v = (,, -) con respecto a la base C. b) Determine [ ] C c) Calcule las longitudes de v y de [ v ] C.. Construya una base B o ortogonal y una base B ortonormal para el subespacio U de R generado por { (, 0, -, ), (,,, ), (-,,, -) }. Determine las coordenadas del vector v = (,, 0, ) con respecto a la base B o.. Sea U = < { (, 0,, 0), (, 0,, 0), (,,, ) } > subespacio de R. Encuentre la proyección ortogonal del vector v = (,,, -) en U, si se considera R con el producto interior usual.. Considere el espacio R con el producto interior usual y el subespacio W generado por S = { (-,, 0), (,, ) }. a) Encuentre la proyección ortogonal del vector u = (,, ) en el subespacio W. b) Encuentre la proyección ortogonal del mismo vector u en el subespacio c) Determine el ángulo que existe entre u y cada una de estas proyecciones. d) Exprese el vector u en la forma u = w + w con w W y W. w W.

5 Respuestas a algunos ejercicios. a) b) 5 c) x x + x d) 0 e) v w + vw + vw f) -. a) No b) Sí c) Sí. a) b) 9 c) 5. a) d =, o ϑ 97, c) d =. a) V b) V c) F d) V e) V 7. a) k = 7 k = - b) k = k = - c) k = 9. u v = < u v, u v > = < u, u > + < v, v > =. (, -,, 0) y (-,, 0, ) 8. W = < {( -, -, )} >, ( W W ) = R, 7. a) B = { (,, ), b) B = { (,, ), 9. α = α =, α =. o 5, W = < {(, 0, 0), (0,, ) } > ( W + W ) = { 0 } y ( W + W ) = R (-,, -7), (-,, ) } 7 (-,, -7), B = { (, 0, -, ), (, -,, ), (,,, ) } B = { (, 0, -, ), [ v ] B = (, 5, ) (, -,, ), 7. a) pr W (u) = (,, ) b) pr (u) = (-, -, ) W c) 0,05 y 79,975 d) u = (,, 8) + (-, -, ) (-,, ) } (,,, ) } 8 ϑ 08,9 o 5