Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales.

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1 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Ejercicio 2: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique al menos uno de los axiomas que no se cumple: a) =, : = con las operaciones usuales en : suma y producto por un escalar real. b) = /, = 1,2; =1,2,3! con las operaciones usuales entre matrices: suma y producto por un escalar real. Ejercicio 3: Sabiendo que es un espacio vectorial real con las operaciones usuales, y cada uno de los elementos mostrados son vectores de ese espacio vectorial o números reales, complete la demostración de la siguiente propiedad utilizando axiomas o propiedades de espacios vectoriales. Propiedad: Si es un espacio vectorial real, entonces para todo ", "0$% = 0$%. Demostración: Sea ". "0$% = " &0$%+0$%( Justificación "0$% = "0$%+"0$% "0$%+& "0$%(="0$%+"0$%+& "0$%( 0$% = "0$%+*"0$%+& "0$%(+ 0$% = "0$%+0$% 0$% = "0$% Ejercicio 4: Sabiendo que es un espacio vectorial real, y cada uno de los elementos mostrados son vectores de ese espacio vectorial o números reales, demuestre que: a) 0 a = 0 b) Si,+- =.+-, entonces, =.. 1

2 Ejercicio 5: Dado el subconjunto / =, / = 2 de. a) Represente / en un sistema de coordenadas. b) Verifique con ejemplos en forma geométrica que es un subespacio. c) Demuestre, utilizando la condición necesaria y suficiente para subespacios, que / es un subespacio de. Ejercicio 6: Dado el subconjunto / =, : de. a) Represente a / en un sistema de coordenadas. b) Verifique geométricamente que / no es un subespacio de. c) Muestre que / no verifica la condición necesaria y suficiente para subespacios. Ejercicio 7: Sea el espacio vectorial real indicado en cada caso con las operaciones usuales y sea / un subconjunto del mismo. Justifique, utilizando la condición necesaria y suficiente, si / es un subespacio vectorial de. a) = y / =, : =1 b) = y / =,,1 :,,1=21,5,2,2 c) = y / =,,1 :2 91 =1 d) = y / =,,1 :++21 = 0 e) = 55 y / = 6 55 : é2;<. f) = y / = 6 55 :=726=0 Ejercicio 8: Pruebe que el conjunto solución del sistema homogéneo 6> =0, siendo 6?5, es un subespacio vectorial de 5. Analizar si sucede lo mismo si el sistema no es homogéneo. Ejercicio 9: Escriba, de ser posible, al vector. como combinación lineal de los vectores del conjunto 6. En el caso del ítem a), represente gráficamente. a). =1,2, 6 =1,4; 0,1 b). =1, 2,6, 6 =1,0,1; 0,0,2; 0,1, 1 c). = , 6 = ; ! Ejercicio 10: Considere el subconjunto B = 1,2 de. a) Halle el conjunto / de los vectores que son combinación lineal de los elementos de B. b) Proponga un ejemplo de un vector que pertenezca a / y otro de un vector que no pertenezca. c) Represente a / en un sistema de ejes cartesianos. 2

3 d) Considere un elemento cualquiera de / y grafíquelo expresado como combinación lineal de los vectores de B. e) Verifique que el conjunto / es un subespacio de. Ejercicio 11: Determine el espacio generado por cada uno de los siguientes conjuntos de vectores. En los ítems a) y b), interprete geométricamente. a) En : i. 2,1; 4,2 ii. 1,0; 1,1; 0,1 b) En : i. 1,2,0; 2,4,0;0,0,1,2,4,2 ii. 1,2,0; 1,1,0;1,0,1 iii. 1, 1,1; 2, 2,2;3, 3,3 c) En : i ; ; ! Ejercicio 12: Siendo un espacio vectorial, para cada subespacio vectorial / halle un conjunto generador. a) / es el plano de ecuación ++21 =0 en =. b) / es el conjunto de las matrices triangulares inferior de orden dos, =. c) / =,,1=2 1,1,1, 2, =. d) / =,,1 : =0, =. e) / = =. f) / =6 :6 78 D289é2;<, =. Ejercicio 13: a) Dada la recta en de ecuación,,1 =2 1,0,5, 2, indique dos conjuntos distintos que la generen y que tengan distinta cantidad de elementos. b) Dada la recta en de ecuación,,1 =2 1, 1,0, 2, indique dos conjuntos distintos que la generen pero que tengan la misma cantidad de elementos. Ejercicio 14: Dados los vectores, = 3,1,. =1,0 y - = 2,1: a) Represente gráficamente en. b) Encuentre, si existen, los escalares E y E que verifican que - = E.,+E... c) Grafique los vectores E., y E.. y súmelos gráficamente. d) Verifique la dependencia lineal de los vectores,,. y -. 3

4 Ejercicio 15: Determine si los conjuntos de vectores dados en cada espacio vectorial indicado son linealmente independientes o linealmente dependientes. En este último caso exprese uno de ellos como combinación lineal de los demás. a) 1,0; 1,1 en. b) 2, 4; 0, 2; 3,1 en. c) 1,2,0; 3,0,2: 0,1,1 en. d) , , , ! en. Ejercicio 16: Dado el conjunto 1,1,E; E,0,0: 0,E,4 en, determine para qué valor o valores de E el conjunto resulta linealmente independiente y para cuáles linealmente dependiente. Qué interpretación geométrica puede hacer si el conjunto es linealmente independiente? Y en el caso de ser linealmente dependiente? Ejercicio 17: Por simple inspección determine si los siguientes conjuntos son base para el espacio vectorial enunciado en cada caso. Conjunto 6 = 3,0;0,5;1,1 para = F = 1,1;1, 1 para = G =2,0,0;0,3,0;4,0,0 para el plano de. H =1,0,0;0,1,0 para = I = , , , ! para = Es/no es base de Ejercicio 18: Determine una base y la dimensión del subespacio / del espacio vectorial dado en cada caso. a) =, / es la recta de ecuación = J =1. b) =, / es el plano de ecuación +1 = 0. c) = K, / =,,1,- K / =2, 1 =+-. d) =, / = 6 / é2;<. e) =, / = 6 /6 78 =LMDN. f) =O, / es el subconjunto de los polinomios de la forma P donde P = 0. Ejercicio 19: Siendo =, proponga ejemplos teniendo en cuenta las condiciones pedidas en cada caso. 4

5 a) Un subconjunto de vectores linealmente independiente pero no base de. b) Una base no canónica de. c) Un subconjunto de vectores que genere a pero no sea base de. d) Un subespacio de de dimensión 1. e) Un subespacio de de dimensión 2. f) Un subespacio de de dimensión 3. g) Un subconjunto de que no sea subespacio. Ejercicio 20: Dado el vector. =5,6: a) Represente al vector. en como combinación lineal de los vectores de la base canónica F Q de. b) Represente al vector. en el mismo plano como combinación lineal de los vectores de la base F =2,1; 1,4. c) Determine los vectores de coordenadas R.S TU y R.S T. Ejercicio 21: Halle las coordenadas del vector. en la base F del espacio vectorial indicado. a). = 1, 2, F = 1,1; 1, 1 de. b). = 1, 2, 1, F =1,0,1; 0, 1,1, 2,3, 5 de. Ejercicio 22: a) El vector de coordenadas de un vector. de en la base F = 1,2,0; 0,2,4, 2 1,0,4 es R.S T = V2W. Encuentre las coordenadas de. en la base canónica. 3 b) Sea F =0,0,1; 1,2,0, 0,1,1 una base ordenada de y sea, =1,4,2 un vector de expresado en la base F. Halle el vector de coordenadas de, en la base F =2,2,0;1,0,1;3,2,0. Ejercicio 23: Argumente la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) Sean,,.,-,1 vectores de un espacio vectorial. Si, es combinación lineal de. y -, entonces, es combinación lineal de., - y 1. b) Si / =.,.,. es un conjunto linealmente dependiente de un espacio vectorial, entonces algún vector de / es múltiplo escalar de alguno de los otros elementos de /. c) Si / =.,.,. es un conjunto linealmente dependiente de un espacio vectorial, entonces algún vector de / es combinación lineal de los restantes elementos de /. d) El conjunto 0,0,0 de es un conjunto linealmente dependiente. e) Dos vectores no paralelos y no nulos de generan un plano de. f) Un conjunto formado solamente por un vector no nulo de genera una recta de. g) Todos los conjuntos que generan a tienen la misma cantidad de elementos. h) Si el conjunto,,.,- genera al espacio vectorial, entonces el conjunto,,. no genera a. 5