Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

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1 1 Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1.1 Los Números Naturales. Los números naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar una cierta cantidad de objetos. N := {1, 2, 3,...} En los números naturales podemos sumar y multiplicar, pero no podemos, en la mayoría de los casos, ni restar ni dividir. Nota: históricamente el cero no es considerado un número natural. 1.2 Propiedades de los Números Naturales (Axiomas de Peano). (1) El 1 es un número natural. (2) Para cada número natural n existe otro número natural n. (1) Si n N, n 1. (3) Si n, m N y n = m, entonces n = m. (4) Principio de inducción matemática. Si S es un subconjunto de N tal que: 1 S y si n S, entonces n S. Se tiene que S = N Nota: Observar que para cada n N, n no es más que n Ejemplo. Demuestra que para todo número natural n se verifica que (2n 1) = n 2 Demo: Consideremos el conjunto S de los números naturales para los que la igualdad es cierta. Es claro que 1 S, ya que 1 = 1 2. Supongamos que la igualdad es cierta para n, es decir que n S y veamos que es cierta para n + 1. Tenemos, por hipótesis, que (2n 1) = n 2

2 2 Observar que el siguiente impar de 2n 1 es 2n + 1, por tanto, si sumamos en ambos lados de la igualdad 2n + 1 obtenemos (2n 1) + (2n + 1) = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 es decir, que n + 1 S. Por tanto aplicando el principio de inducción matemática, S = N, lo que demuestra que la igualdad es cierta para todo número natura. 1.4 Principio de inducción generalizado. Sea S un subconjunto de N tal que: 1 S y si 1, 2,..., n S, entonces n + 1 S. Entonces S = N 1.5 Los Números Enteros. Los denotaremos por Z. Aparecen simetrizando el conjunto de números naturales, y añadiéndoles el cero. Obtenemos la mejoría de que, ahora sí, la resta de dos números Enteros es un número Entero. Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} 1.6 Propiedades de los Números Enteros. Propiedades respecto de la suma: Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z) x, y, z Z. Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x x Z. Existencia de elemento opuesto: para todo x Z existe x Z tal que x + ( x) = ( x) + x = 0. Propiedad conmutativa: x + y = y + x x, y Z. Un conjunto con una operación que verifique las tres primeras propiedades se dice que es un grupo. Si además verifica la cuarta se le denomina grupo abeliano. Por tanto (Z, +) es un grupo abeliano. Propiedades respecto del producto: Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) x, y, z Z. Existencia de elemento neutro: x 1 = 1 x = x x Z. Propiedad conmutativa: x y = y x x, y Z.

3 3 Nota: Observar que normalmente los elementos de Z no poseen inverso. Propiedades conjuntas: Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z x, y, z Z. Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z Z Si x y, entonces x + z y + z. Si x y y z 0, entonces x z y z. Si x y, y z 0, entonces x z y z. 1.7 Los Números Racionales. Ampliando el conjunto de los números Enteros a los Racionales, Q, conseguimos encontrar inversos respecto del producto (naturalmente salvo para el cero). Por lo que en Q vamos a poder sumar, restar, multiplicar y dividir (por números no nulos). Los números Racionales se definen a partir de una relación de equivalencia en el conjunto de los pares (a, b) Z Z, en donde Z denota los Enteros menos el cero. Diremos que dos pares (a, b) y (c, d) están relacionados si y sólo si ad = bc. La clase de equivalencia del elemento (a, b) se denota por a b. Q := { a b a, b Z, b 0} Tenemos que la suma y el producto de números naturales es: La suma: El producto: a b + c d a b c d := ad+bc bd. := ac bd. 1.8 Propiedades de los números Racionales. Además de todas las propiedades que tenia Z nos encontramos con que todo elemento no nulo de Q posee inverso. Así: Propiedades respecto de la suma: Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z) x, y, z Q. Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x x Q. Existencia de elemento opuesto: para todo x Q existe x Q tal que x + ( x) = ( x) + x = 0.

4 4 Propiedad conmutativa: x + y = y + x x, y Q. Propiedades respecto del producto: Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) x, y, z Q. Existencia de elemento neutro: x 1 = 1 x = x x Q. Existencia de elemento inverso: para todo 0 x Q existe x 1 Q tal que x x 1 = x 1 x = 1. Propiedad conmutativa: x y = y x x, y Q. Propiedades conjuntas: Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z x, y, z Q. Nota: A un conjunto con dos operaciones que verifique todas las condiciones anteriores se le denomina Cuerpo. Por tanto Q es un cuerpo. Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z Q Si x y, entonces x + z y + z. Si x y y z 0, entonces x z y z. Si x y, y z 0, entonces x z y z. 1.9 Los Números Reales. No obstante, nos encontramos con operaciones que no se pueden realizar dentro del conjunto de los números Racionales. Así, 2 no es un número Racional. Esto nos lleva a un resultado que no sólo se creía cierto, sino que se consideró evidente hasta tiempos posteriores a Pitágoras. A saber, dadas dos longitudes a y b longitud a longitud b existe una tercera longitud c? tal que tanto a como b son múltiplos de c? Nota: La respuesta es que NO, ya que es falsa para 1 y 2 2. La construcción de los números Reales a partir de los números Racionales no es fácil, por lo que la vamos a omitir. Para nosotros los número Reales no será más que el conjunto de todas las medidas posibles. Denotemos por R al conjunto

5 5 de números Reales con la suma y el producto usual. En R no solo tenemos que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir (por números no nulos), sino que podemos hacer raíces de cualquier orden sobre número positivos y raíces de orden impar sobre cualquier Real Propiedades de los números Reales. Los números Reales tienen todas las propiedades que verificaban los números Racionales. Es decir, R también es un cuerpo. Estas propiedades son: Propiedades respecto de la suma: Propiedad asociativa: (x + y) + z = x + (y + z) x, y, z R. Existencia de elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x x R. Existencia de elemento opuesto: para todo x R existe x R tal que x + ( x) = ( x) + x = 0. Propiedad conmutativa: x + y = y + x x, y R. Propiedades respecto del producto: Propiedad asociativa: (x y) z = x (y z) x, y, z R. Existencia de elemento neutro: x 1 = 1 x = x x R. Existencia de elemento inverso: para todo 0 x R existe x 1 R tal que x x 1 ) = x 1 x = 1. Propiedad conmutativa: x y = y x x, y R. Propiedades conjuntas: Propiedad distributiva: (x + y) z = x z + y z x, y, z R. Propiedades respecto del orden: para todo x, y, z R Si x y, entonces x + z y + z. Si x y y z 0, entonces x z y z. Si x y, y z 0, entonces x z y z Los números Complejos. Nos encontramos todavía con ciertas deficiencias en el conjunto de los números Reales. Por ejemplo no toda ecuación polinómica tiene solución en R. Como caso particular, X 2 +1 = 0 no tiene solución en R, o lo que es prácticamente lo mismo, no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo.

6 6 Vamos a construirnos un nuevo conjunto de números que de solución a este problema, los números Complejos. Denotemos por i un número imaginario que verifique que i 2 = 1 y sea C el conjunto: C := {a + bi a, b R}. Dado z = a + bi C diremos que a es la parte real de z mientras que b es su parte imaginaria. Vamos a poder definir una suma y un producto en C: La suma se define: El producto se define: (a + bi) + (c + di) = (a + c)+)(b + d)i (a + bi). (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Nota: observar que no son suma y productos arbitrarios, ya que la suma se realiza aplicando la propiedad distributiva y conmutativa y el producto aplicando además el hecho de que i 2 = 1. Nota: Todo número Real lo podemos ver como un número Complejo, ya que todo a R puede verse como a + 0i C. De ahora en adelante siempre veremos los números Reales como un subconjunto de los Complejos. Antes de ver las propiedades que verifican los números Complejos veamos algunas definiciones y propiedades Def:. Sea z = a + bi C. Se define el conjugado de z y se denota por z como z = a bi Def:. Sea z = a + bi C. Se define el módulo de z, y se representa por z como el número Real, z = a 2 + b 2 Nota: Observar que un número Complejo es cero si y sólo si su módulo es cero, es decir: dado z = a + bi C z = 0 z = Lema. Sea z C un número Complejo. Entonces zz = z 2. Demo. Realmente sólo tenemos que hacer el producto: z z = (a + bi)(a bi) = (a 2 + b 2 ) + 0i = z 2 por lo que queda demostrado el teorema.

7 7 Las propiedades que verifican los números Complejos son: respecto de la suma: Propiedad asociativa. Existencia de elemento neutro: 0 + 0i = 0 es el neutro de la suma. Existencia de elemento opuesto: para todo a + bi C, ( a) + ( b)i es el opuesto. Propiedad conmutativa. Propiedades respecto del producto: Propiedad asociativa. Existencia de elemento neutro: 1 + 0i = 1 es el elemento neutro del producto. Existencia de elemento inverso: para todo 0 z = a + bi C, es el inverso de z. Propiedad conmutativa. Propiedades conjuntas: Propiedad distributiva. z 1 = z z = a a 2 + b 2 + Nota: Los números Complejos también son un Cuerpo. b a 2 + b 2 i Nota: En los números Complejos no hemos dado una noción de orden, por lo que no podremos decir si un número Complejo es mayos o menos que otro La forma polar de un número Complejo. Vamos a usar el hecho de que todo número Complejo, z = a + bi C, se puede representar como un vector de R 2, el plano Real, en donde a es la coordenada en el eje de coordenadas y b es la coordenada en el eje de abscisa.

8 8 Así, z queda determinado por el módulo de este vector y el ángulo respecto del eje de coordenadas, al que llamaremos el argumento de z Def:. Cuando un número Complejo lo demos a partir de su modulo M y argumento α, diremos que z está en forma polar, y lo notaremos por Z = M α. En caso contrario, cuando demos un número Complejo en la forma z = a + bi diremos que z está en forma cartesiana. Nota: Es fácil, usando nociones básicas de trigonometría, pasar de la forma polar de un número Complejo a su forma cartesiana y viceversa. z = a + bi, z = z ArcTan b a z = M α z = MCosα + MSenα i Nota: Cuando nos encontramos con números polares puros, es decir, cuando la parte Real del número Complejo sea cero, tenemos que calcular la arcotangente de infinito (ArcTan b 0 ) lo que será interpretado como el ángulo de noventa grados. Nota: Un número Complejo en forma polar tiene más de una representación, ya que para todo z = M α, se tiene que Z = M α+360 = M α+360k, con k Z. Ya que en su representación en el plano Real una o más vueltas (sumar o restar un número de veces 360 grados al argumento) no afecta a su representación. Por otro lado, por definición, M es un número Real positivo. Nos encontramos con que va a ser más fácil multiplicar números en forma polar que en forma cartesiana. Así, dados z = M α y z = M α tenemos que: z.z = (MCosα + MSenα i)(m Cosα + M Senα i) = (MM Cosα Cosα MM Senα Senα ) + (MM Cosα Senα MM Cosα Senα)i = MM Cos(α + α ) + MM Sen(α + α )i = MM (α+α ) Nota: es decir, si queremos multiplicar números Complejos en forma polar se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos Soluciones de ecuaciones polinómicas en C. Dada una ecuación polinómica de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 con a, b, c R, a 0, tenemos que sus soluciones son: x = b ± b 2 4ac 2a

9 9 Cuando sólo disponíamos de los números Reales nos encontrábamos que cuando b 2 4ac < 0 la ecuación no tenia solución. Ahora, ya podemos trabajar con los números Complejos, por lo que: Caso Real con dos raíces distintas: Si b 2 4ac > 0 x = b ± b 2 4ac. 2a Caso Real con una raíz doble: Si b 2 4ac = 0 x = b 2a. Caso Complejo con dos raíces conjugadas: Si b 2 4ac < 0 x = b ± b 2 4ac = b 2a 2a ± (b2 4ac) i. 2a Las ecuaciones de grado superior son algo mas difíciles, no obstante todavía podemos resolver algunas más. Vamos a calcular las soluciones de la ecuación X n = 1. Sabemos que una primera solución es x = 1. Es más, si suponemos que las soluciones son complejas, x = M α nos encontramos con las ecuaciones: 1 = 1 360k = (M α ) n = M n nα por lo que M = 1 (sólo existe un número Real positivo que verifique que M n = 1) y α = 360 n k para k = 1, 2,..., n. Podríamos poner k mayores, pero entonces se empezarían a repetir las raíces. Por tanto el conjunto de soluciones de la ecuación X n = 1 es: {1 360, 1 n 2 360,..., 1 n (n 1) 360 } n Este conjunto de números es importante en matemáticas, cada uno de sus elementos se denomina una raíz n-esima de la unidad. Nota: Si denoto por γ = 1 360, tenemos que γk = 1 n k 360, por lo que el conjunto de n las raíces n-esimas de la unidad es {γ, γ 2,..., γ n = 1}. Nota: Las raíces cuadradas de la unidad no son más que {1 180, } = { 1, 1}. Vamos a calcular las soluciones de la ecuación X n = a, con 0 < a R. Sabemos que una primera solución es x = n a. Es más, si γ = 1 360, el conjunto n de las n soluciones es: { n aγ, n aγ 2,..., n aγ n = n a}.

10 10 2. ESPACIOS VECTORIALES Denotemos por K indistintamente al cuerpo de los Racionales, de los Reales o de los Complejos y sea K n el producto cartesiano de n copias de K. Así: K n = {(x 1, x 2,..., x n ) x i K, para i = 1, 2,..., n}. Nota: A los elementos de K los llamaremos escalares y a los elementos de K n los llamaremos vectores. Tenemos entonces las siguientes operaciones naturales: La suma de vectores: dados ((x 1, x 2,..., x n ), (y 1, y 2,..., y n ) K n definimos la suma como: (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) La multiplicación por escalares: dados λ K y (x 1, x 2,..., x n ) K n definimos la multiplicación por escalares como: λ(x 1, x 2,..., x n ) := (λx 1, λx 2,..., λx n ) Las propiedades que verifican estas dos operaciones son: Respecto de la suma, K n es un grupo abeliano. Es decir: Si u, v y w son tres vectores, (1.1) Propiedad asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w K n. (1.2) Existencia de elemento neutro: 0 = (0, 0,..., 0) es el elemento neutro para la suma. (1.3) Existencia de elemento opuesto: para todo v K n, se tiene que v es su opuesto. (1.4) Propiedad conmutativa: u + v = v + u u, v K n. Respecto del producto por escalares tenemos: Si λ, µ K y u, v K n, (2.1) λ(u + v) = λu + λv. (2.2) (λ + µ)v = λv + µv. (2.3) 1v = v. (2.4) λ(µv) = (λµ)v.

11 Def:. Sea F un cuerpo. Diremos que un conjunto V con dos operaciones, (V, +,.), es un espacio vectorial sobre F si verifica que : La suma es una operación interna, es decir, + : V V V verificando de (1.1) a (1.4) y El producto es una operación externa, es decir,. : F V V verificando de (2.1) a (2.4). Nota: Siguiendo la notación anterior, a los elementos de V los llamaremos vectores y a los elemento de F los llamaremos escalares. 2.2 Teorema [3, Teorema 3.1]. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Sean u, v V y λ, µ F. Entonces: (i) 0v = 0. (ii) λ0 = 0. (iii) ( λ)v = (λv) = λ( v). (iv) Si λv = λu y λ 0, entonces u = v. (v) Si λv = µv y v 0, entonces λ = µ. (vi) Si λv = 0, entonces λ = 0 ó v = 0. :Demo:(i). Vamos a jugar con el hecho de que = 0 y la propiedad (2.2). 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v por tanto, si restamos en ambos lados 0v, es decir, sumamos el opuesto de 0v, y aplicamos la propiedad asociativa, tenemos que: 0 = 0v + ( 0v) = (0v + 0v) + ( 0v) = 0v + (0v + ( 0v)) = 0v + 0 = 0v. (ii). Es una demostración bastante simétrica. Vamos a jugar con el hecho de que = 0 y la propiedad (2.1). λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 por tanto, si restamos en ambos lados λ0, es decir, sumamos el opuesto de λ0, y aplicamos la propiedad asociativa, tenemos que: 0 = λ0 + ( λ0) = (λ0 + λ0) + ( λ0) = λ0 + (λ0 + ( λ0)) = λ0

12 12 (iii). (iv). (v) y (vi) pueden ser encontrados en [3, Teorema 3.1]. 3. SISTEMA INDEPENDIENTE, SISTEMA GENERADOR, BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL 3.1 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v 1, v 2,..., v k } un subconjunto de vectores de V. Se define una combinación lineal de elementos de X como cualquier vector v = λ 1 v i + λ 2 v λ n v n con λ 1, λ 2,..., λ n F. 3.2 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v 1, v 2,..., v k } un subconjunto de V. Se dice que X es un conjunto de vectores linealmente independientes si la única combinación lineal de elementos de X que da cero es cuando todos los escalares son cero. Es decir: X es un conjunto de vectores independientes si y sólo si Si λ 1 v i + λ 2 v λ n v n = 0 λ i = 0, para i = 1, 2,..., n. Caso contrario diremos que X es un conjunto de vectores dependientes. 3.3 Ejemplo 1. Sea V = (R 2, +,.) espacio vectorial sobre el cuerpo de los Reales. Entonces {(1, 2), (1, 1)} es un conjunto de vectores linealmente independientes. Si λ(1, 2) + µ(1, 1) = 0 obtenemos que (λ + µ, 2λ + µ) = (0, 0), con lo que igualando por coordenadas obtenemos las ecuaciones: λ + µ =0 2λ + µ =0 lo que implica que (resolviendo este sistema de ecuaciones) λ = µ = Ejemplo 2. Sea V = (R 5, +,.) espacio vectorial sobre el cuerpo de los Reales. Entonces {(1, 2, 3, 4, 5), (1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)} es un conjunto de vectores independientes. Si λ(1, 2, 3, 4, 5) + µ(1, 1, 1, 1, 1) + γ(0, 0, 0, 0, 1) = 0 obtenemos que (λ + µ, 2λ + µ, 3λ + µ, 4λ + µ, 5λ + µ + γ) = (0, 0, 0, 0, 0),

13 13 con lo que igualando por coordenadas obtenemos el siguiente sistema: λ + µ = 0 2λ + µ = 0 3λ + µ = 0 4λ + µ = 0 5λ + µ + γ = 0 lo que implica que (resolviendo este sistema de ecuaciones) λ = µ = γ = Ejemplo 3. Mientras que (1, 2), (1, 0), (0, 1) es un conjunto de vectores dependientes. Ya que 1 (1, 2) 1 (1, 0) 2 (0, 1) = Proposición. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sean S y T subconjuntos de V tales que S T. Entonces: Si T es un conjunto de vectores independientes, S es un conjunto de vectores independientes. Si S es un conjunto de vectores dependientes, entonces T es un conjunto de vectores dependientes. Demo: En primer lugar vamos a nombrar los elementos de cada uno de estos conjuntos. Sea S = {v 1, v 2,..., v k } y T = {{v 1, v 2,..., v k, v k+1,..., v n } (1). Consideremos una combinación lineal de elementos de S igual a cero, λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0, con λ i F. Tenemos que demostrar que la única posibilidad para que esto suceda es que todos los escalares son nulos. Consideremos entonces una combinación lineal de elementos de T simplemente sumando el vector nulo de la siguiente forma, 0 = λ 1 v 1 +λ 2 v λ k v k +0v k v n. Aplicando ahora que T es un conjunto de vectores independientes tenemos que λ i = 0, para i = 1, 2,..., n, lo que demuestra el apartado. (2). Se deja como ejercicio. Nota: Todo conjunto que contenga al vector cero es un conjunto de vectores dependientes. 3.7 Proposición. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Sea S conjunto de vectores independientes de V y v V. Si v no se puede escribir como combinación lineal de elementos de S, entonces S {v} es un conjunto de vectores independientes.

14 14 Demo: Nombremos los elementos de S = {v 1, v 2,..., v n }. Supongamos que existen unos escalares, λ 1, λ 2,..., λ n, λ n+1 F tales que Tenemos dos posibilidades: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n + λ n+1 v = 0. (a). Si λ n+1 0. Entonces, si despejamos λ n+1 v tenemos: λ n+1 v = λ 1 v 1 λ 2 v 2... λ n v n y si ahora multiplicamos toda la igualdad por λ 1 n+1 v = λ 1 λ n+1 v 1 λ 2 λ n+1 v 2... tenemos que: λ n λ n+1 v n una contradicción ya que v no era combinación lineal de elementos de S. tanto, este caso (a) no puede darse. (b). Tenemos entonces que λ n+1 = 0. Pero entonces la combinación lineal anterior es: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0, lo que implica, al ser S un conjunto de vectores independientes, que λ i = 0, para i = 1, 2,..., n. Por tanto TODOS los escalares son cero, lo que prueba que S {v} es un conjunto de vectores independientes. Nota: Observar que esto nos da una forma de, dado un conjunto de vectores linealmente independientes, construir un conjunto de vectores linealmente independientes mayor. Resultado que tendremos que usar a lo largo del curso. 3.8 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice que un subconjunto G = {v 1, v 2,..., v k } es un sistema generador para V si todo elemento de V es combinación lineal de elementos de G. 3.9 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice que un subconjunto B = {v 1, v 2,..., v k } es una base de V si es tanto un conjunto de vectores independientes como un sistema generador para V Ejemplo. Sea V = (F n, +,.) espacio vectorial sobre un cuerpo F. Entonces B = {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)} es una base para V, llamada la base canónica de F n Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea B = {v 1, v 2,..., v k } una base de V. Entonces para todo vector v V existen unos Por

15 15 únicos escalares, λ 1, λ 2,..., λ n F tales que v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n. Es decir, existe una única combinación lineal de elementos de B que es v. Demo: Sea v V. Sabemos que como B es una base de V, en particular es un sistema de generadores de V, por lo que existen unos escalares λ 1, λ 2,..., λ k F tales que v = λ 1 v 1 + λ 2 v , λ k v k. Demostremos que además estos escalares son únicos. Supongamos que existen otros escalares, µ 1, µ 2,..., µ k F tales que v = µ 1 v 1 +µ 2 v µ k v k. Tenemos entonces que λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = µ 1 v 1 + µ 2 v , µ k v k por lo que si pasamos todo a un lado y reordenamos λ 1 v 1 + λ 2 v , λ k v k µ 1 v 1 µ 2 v 2... µ k v k = 0 (λ 1 µ 1 )v 1 + (λ 2 µ 2 )v , (λ k µ k )v k = 0. Aplicando ahora que B también es un conjunto de vectores independientes, tenemos que λ 1 = µ 1, λ 2 = µ 2,..., λ k = µ k Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F, sea B = {v 1, v 2,..., v k } una base de V y sea v V. Entonces a los únicos escalares λ 1, λ 2,..., λ n F tales que v = λ 1 v 1 + λ 2 v , λ k v k se les denomina las coordenadas de v respecto de B, que denotaremos por (λ 1, λ 2,..., λ n ). Nota: No se debe confundir las coordenadas de un vector respecto de una base con el propio vector Teorema(sin demo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Sea S un conjunto de vectores independientes y G un sistema de generadores de V tales que S G. Entonces existe una base B de V tal que S B G Corolario. Todo espacio vectorial posee base Teorema de Steinitz (sin demo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea {e 1, e 2,..., e n } una base de V. Si v = λ 1 e λ n e n y λ i 0. Entonces {e 1, e 2,..., e i 1, v, e i+1,..., e n } es también una base de V. Es decir, podemos cambiar cada v i por v siempre que el escalar λ i 0.

16 Teorema(sin demo). Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Si V posee una base con n elementos entonces todas las bases de V poseen n elementos Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se define la dimensión de V, y se representa por dim F (V ), como el número de elementos de cualquiera de sus bases Ejemplo:. Sea F un cuerpo y consideremos el espacio vectorial (F n, +,.) con sus operaciones usuales. Entonces, como la base canónica tiene n elementos, dim F (F n ) = n 3.19 Proposición. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F de dimensión n. Entonces: (1) Todo conjunto de vectores independientes con n elementos es base. (2) Todo sistema de generadores de V con n elementos es base. Demo: (1). Sea S un conjunto de vectores independientes de n elemento. Por el Teorema (3.16), existe B una base de V tal que S B( V ), y por el Teoremas (3.13) B tiene también n elementos. Por tanto S = B, es una base de V. (2). Queda como ejercicio. 4. SUBESPACIOS VECTORIALES 4.1 Def:. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F. Se dice que un subconjunto W de V es un subespacio vectorial de V si W con la suma y el producto inducido tiene estructura de espacio vectorial. Nota: Tenemos entonces que para que un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F sea un subespacio vectorial debe de cumplir: (1). Dados dos vectores w 1 y w 2 en W, w 1 + w 2 W. (2). Dados λ F y w W, λw W. Y además se verifiquen las 8 propiedades de espacio vectorial, a saber: Respecto de la suma: (1.1) Propiedad asociativa: (w 1 + w 2 ) + w 3 = w 1 + (w 2 + w 3 ) w 1, w 2, w 3 W. (1.2) Existencia de elemento neutro, es decir, exista un elemento en W que haga de neutro.

17 17 (1.3) Existencia de elemento opuesto, es decir, para cada elemento de W exista otro elemento de W que haga de neutro. (1.4) Propiedad conmutativa: w 1 + w 2 = w 2 + w 1 w 1, w 2 W. Respecto del producto por escalares tenemos: si λ, µ F y w 1, w 2 W, (2.1) λ(w 1 + w 2 ) = λw 1 + λw 2. (2.2) (λ + µ)w 1 = λv + µw 1. (2.3) 1w 1 = w 1. (2.4) λ(µw 1 ) = (λµ)w 1. No obstante, la propiedad (2.3) se verifica para todo elemento de V, por tanto también se verificará para todo elemento de W. Por la misma razón siempre se verifican: (1.1), (1.4), (2.1), (2.2) y (2.4). Es más, si suponemos que se verifican (1) y (2), y W, dado w W y 0 F, por (2), 0w = 0 W, con lo que si que existe el elemento neutro en W, es más, es el mismo que en V. Y ( 1)w = w W, con lo también tenemos el opuesto de cada elemento de W. Por tanto, y resumiendo la información tenemos: 4.2 Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W un subconjunto no vacio de W. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) W es un subespacio vectorial de V. (2) para todo par de vectores w 1, w 2 W, w 1 + w 2 W y para todo escalar λ F y todo vector w W, λw W. (3) Para todo par de vectores w 1, w 2 de W y todo par de escalares λ, µ de F se tiene que λw 1 + µw 2 W. 4.3 Ejemplo. Sea (R 3, +,.) como espacio vectorial sobre los Reales. Entonces W = {(x, x, y) x, y R} es un subespacio vectorial de R Ejemplo. Sea (R 4, +,.) como espacio vectorial sobre los Reales. Entonces W = {(x, y, z, t) R 4 2x + 3y + 4z + t = 0} es un subespacio vectorial de R Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W un subespacio de V. Entonces dim F (W ) dim F (V ). Demo: Como W tiene estructura de espacio vectorial, podemos considerar B W = {w 1, w 2,..., w k } una base de W. Observar que B W es un conjunto de vectores

18 18 independientes de V, por lo que aplicando el Teorema (3.13), existe una base B V de V tal que B W B V V. Lo que implica que la dimensión de V que es el número de elementos de B V es mayor o igual que la dimensión de B W, que es el número de elementos de B W. 4.6 Subespacio generado por un conjunto de vectores. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea X = {v 1, v 2,..., v k } un conjunto de vectores de V. Se define el subespacio generado por X y se representa por < X > como el menor subespacio de V que contiene a X. 4.7 Proposición. El subespacio generado por un conjunto X coincide con: < X >= {λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n V λ i F, para i = 1, 2,..., n} es decir con el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de X. Demo: Es claro que el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de X está contenido en el subespacio vectorial generado por X. Veamos pues que este conjunto es un subespacio vectorial. Dadas λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n y µ 1 v 1 + µ 2 v µ n v n dos combinaciones lineales de elementos de X y λ F, tenemos que: (λ 1 v λ n v n ) + (µ 1 v µ n v n ) = (λ 1 + µ 1 )v (λ n + µ n )v n λ(λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n ) = (λλ 1 )v 1 + (λλ 2 )v (λλ n )v n que claramente son combinaciones lineales de elementos de X. Por tanto esté es el subespacio vectorial generado por X. 4.8 Distintos métodos para calcular bases de subespacios. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F y sea W un subespacio de V. Supongamos que W viene dado a partir de un sistema de generadores, es decir existe un conjunto X = {v 1, v 2,..., v k } V tal que W =< X >. Sabemos, por el Teorema (3.13) que dado un conjunto de generadores, en este caso X, de un espacio vectorial, en este caso W, existe una base B W tal que B W X. El proceso para conseguir esta base es: 1). Tomamos un v i1 que sea no nulo. 2). Tomamos v i2 que sea independiente con v i1. Si no existe nuestra base es v i1.

19 19 3). Tomamos v i3 que sea independiente con {v i1, v i2 }. Si no existe nuestra base es {v i1, v i2 }. 2). Tomamos v i4 que sea independiente con {v i1, v i2, v i3 }. Si no existe nuestra base es {v i1, v i2, v i3 }. 4). ETC... Si nos dan un subespacio a partir de ecuaciones, resolveremos éstas dando las soluciones a partir de parámetros. Al asignar a los parámetros los valores 1, 0, 0,..., 0, 1, 0, 0..., 0, 0, 1, 0, 0... obtendremos la base buscada. 4.9 Ecuaciones para un subespacio vectorial de F n. Sea W un subespacio vectorial de F n, con F un cuerpo. tenemos una base v 1, v 2,..., v k de W. v 1 = (a 11, a 12,..., a 1n ) v 2 = (a 21, a 22,..., a 2n ). v k = (a k1, a 12,..., a kn ) Se definen las ecuaciones vectoriales de W como: Supongamos que (x 1,..., x n ) = λ 1 (a 11,..., a 1n ) + λ 2 (a 21,..., a 2n ) λ k (a k1,..., a kn ) Si despejamos por coordenadas obtenemos las ecuaciones paramétricas: x 1 = λ 1 a 11 + λ 2 a λ k a k1 x 2 = λ 1 a 12 + λ 2 a λ k a k2. x n = λ 1 a 1n + λ 2 a 2n λ k a kn Si nos deshacemos de los parámetros obtenemos las ecuaciones cartesianas, el proceso aquí consiste en, simplemente, aplicar el método de sustitución para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

20 20 5. MATERIAS CONVENIENTES PARA LA ASIMILACIÓN DE LA TEORíA (1) Para trabajar con los números complejos se necesitan nociones básicas de trigonometría. (2) Para todo lo relacionado con conjuntos independientes de vectores, sistema generador, ecuaciones de un subespacio vectorial, será muy útil conocer resultados básicos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales como puede ser el Teorema de Cramer, y por ende, el estudio de las matrices sobre un cuerpo y la resolución de determinantes.

21 21 BIBLIOGRAFÍA [1] F. M. Hall: An introduction to Abstract Algebra, Cambridge University Press, [2] M. Spivak: Calculus, Cálculo Infinitesimal, Editorial Reverte, S. A., [3] P. Alberca, D. Martín: Métodos Matemáticos, Ediciones Aljibe, 2001.