Espacios vectoriales reales.

Transcripción

1 Capítulo 4 Espacios vectoriales reales. 4.1 Espacios vectoriales. Definición 86.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de suma de vectores y otra que recibe el nombre de producto de vectores por números reales o producto por escalares, que verifican las siguientes propiedades: 1 u + v V ; u, v V. 2 u + v = v + u ; u, v V. 3 u + v + w = u + v + w ; u, v, w V. 4 Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0, tal que: 0 + u = u + 0 = u ; u V. 5 Para cada u V, existe un vector de V, llamado opuesto de u y denotado por u, tal que u + u = 0. 6 ku V ; k IR y u V. 7 ku + v = ku + kv ; k IR y u, v V. 8 k + lu = ku + lu ; k, l IR y u V. 9 klu = klu; k, l IR y u V. 10 1u = u ; u V. Por ser los escalares de IR, se dice que V es un IR-espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre otros cuerpos de escalares, como C. Ejemplo Los conjuntos IR n, los conjuntos de polinomios P n [X] = {P X IR[X] : grp n} y los conjuntos de matrices reales M m n = {matrices de tamaño m n}, con las operaciones usuales, son espacios vectoriales reales. Proposición 87.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son: i 0u = 0. ii k0 = 0. iii 1u = u. iv ku = 0 k = 0 ó u = 0. v El vector cero de un espacio vectorial es único. vi El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único. 4.2 Subespacios vectoriales. Definición 88.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V, si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V.

2 34 Matemáticas I 4.2 Subespacios vectoriales. Como W V, todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W, es decir, que se verifican las propiedades 1 y 6 en W : 1 u + v W ; u, v W 6 ku W ; u W y k IR Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad única: ku + lv W ; u, v W y k, l IR. Ejemplo P 2 [X] es un subespacio de P 4 [X], pues es un subconjunto suyo y si P X, QX P 2 [X], el grado de kp X + lqx es grkp + lq = máx{grkp, grlq} máx{grp, grq} 2, por lo que está en P 2 [X]. Sin embargo, {P X : grp = 2} no es un subespacio de P 4 [X], por dos razones: primero, porque no contiene al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad 1 ya que X 2 y 2X X 2 son polinomios del conjunto pero su suma X 2 + 2X X 2 = 2X es un polinomio de grado 1 que no está en el conjunto. Observación: Es claro, que si W es un subespacio de V, entonces 0 W. Definición 89.- Se dice que un vector v V es una combinación lineal de los vectores v 1, v 2,..., v n si, y sólo si, c 1, c 2,..., c n IR tales que v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n. Definición 90.- Dado un conjunto de vectores S = {v 1, v 2,..., v k } de un espacio vectorial V, llamaremos subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ó lin{v 1, v 2,..., v k }, al conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S : { } lin S = lin{v 1, v 2,..., v k } = c 1 v 1 + c 2 v c k v k : c i IR y se dirá que S genera lin S o que v 1, v 2,..., v k generan lin S. Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V y, de hecho, es el más pequeño que contiene a los vectores de S ver ejercicio Definición 91.- Dado un conjunto S = {v 1, v 2,..., v k } de vectores del espacio vectorial V, la ecuación vectorial c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 tiene al menos una solución, a saber: c 1 = c 2 = = c k = 0. Si esta solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente o que los vectores de S son linealmente independientes. Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente los vectores son linealmente dependientes. Ejemplo El vector 2X X 2 de P 2 [X] está generado por los vectores X 1 y X 2 2: λ 2µ = 0 2X X 2 = λx 1 + µx 2 2 = λx λ + µx 2 2µ = λ 2µ + λx + µx 2 = λ = 2 µ = 1 luego 2X X 2 = 2X 1 + 1X 2 2. Ejemplo Los polinomios X + 2 y X 2 de P 2 [X] son linealmente independientes: si λx µx 2 = 0 al polinomio cero, se tiene que 0 = λx µx 2 = 2λ + λx + µx 2 = 2λ = 0, λ = 0 y µ = 0, ya que los coeficientes de ambos polinomios deben coincidir. Nota: Si los vectores {v 1, v 2,..., v k } son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes; y si son linealmente independientes ninguno de ellos puede ser generado por los restantes. Es decir, se tiene la siguiente caracterización para que un conjunto de dos o más vectores sea linealmente dependiente ver ejercicio 4.55: Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes.

3 35 Matemáticas I 4.3 Base y dimensión. 4.3 Base y dimensión. Lema 92.- Si v n+1 = c 1 v c n v n, entonces lin{v 1,..., v n, v n+1 } = lin{v 1,..., v n }. Es fácil asumir que este resultado es cierto, ya que cualquier combinacion lineal de los n + 1 vectores puede reconvertirse a una combinación lineal de los n primeros, por simple sustitución. Está situación de dará mientras los vectores generadores sean linealmente dependientes, lo que nos lleva a la siguiente definición: Definición 93.- Sean V un espacio vectorial y S un conjunto finito de vectores de V. Diremos que S es una base de V si: a S es linealmente independiente, y b S genera a V. El comentario anterior a esta definición nos ofrece un método para conseguir una base cuando tenemos un conjunto generador del espacio: basta ir eliminando el vector que puede expresarse como combinacion lineal de los restantes, cada vez que el conjunto de generadores sea linealmente dependiente. Igualmente, podemos obtener una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores: si S es un conjunto linealmente independiente y lin S V, tomando un vector v V pero que v / lin S, se tiene que el conjunto S {v } es linealmente independiente; y así, se van añadiendo vectores a S hasta que se genere V. De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor número posible de generadores y el mayor número posible de vectores linealmente independientes ver Lema 94 siguiente; luego no tendrá una base un número fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Teorema de la base. Lema 94.- Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto {v 1, v 2,..., v m } de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente. Teorema de la base 95.- Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. La demostración es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B 1 es una base de n elementos y B 2 es una base de m elementos, por ser B 1 base y B 2 linealmente independiente, m n y por ser B 2 base y B 1 linealmente independiente n m, luego n = m. Definición 96.- Un espacio vectorial V se dice de dimensión finita si contiene un conjunto finito de vectores que forman una base, y diremos que la dimensión de V, dim V, es el número de vectores de cualquier base de V. Al espacio vectorial V = { 0} le consideramos de dimensión finita, de dimensión cero, aún cuando no tiene conjuntos linealmente independientes. Si no existe un conjunto finito de este tipo, se dice que V es de dimensión infinita y no nos son ajenos pues IR[X] es un espacio vectorial de dimensión infinita. Ejemplo P 2 [X] = {P X IR[X] : grp 2} tiene dimensión 3, pues B = {1, X, X 2 } forman una base. En general, dimp n [X] = n + 1 y B = {1, X,..., X n } es una base suya. Ejemplo 97 L os conjuntos IR n = IR IR IR = {x 1,..., x n : x i IR, i} con las operaciones habituales de suma y producto por escalares x + y = x 1,..., x n + y 1,..., y n = x 1 + y 1,..., x n + y n λx = λx 1,..., x n = λx 1,..., λx n

4 36 Matemáticas I 4.3 Base y dimensión. son espacios vectoriales con dim IR n = n, ya que cualquier vector x IR n puede escribirse de la forma x = x 1, x 2,..., x n = x 1 1, 0,..., 0 + x 2 0, 1,..., x n 0, 0,..., 1 y este conjunto de vectores { } B = e 1 = 1, 0,..., 0, e 2 = 0, 1,..., 0,..., e n = 0, 0,..., 1 es linealmente independiente. A esta base se la denomina base canónica. Conocer a priori la dimensión de un espacio facilita la obtención de bases: Proposición 98.- Si V es un espacio vectorial, con dim V = n. Entonces, un conjunto de n vectores de V es base de V, a si el conjunto es linealmente independiente, o b si genera a V Coordenadas en una base Definición 99.- Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y B = {v 1, v 2,..., v n } una base de V. Para cada vector v V, se llaman coordenadas de v en la base B a los n únicos números reales c 1, c 2,..., c n tales que v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n. Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de IR n, de las coordenadas de v en B se denota por v B = c 1, c 2,..., c n y más usualmente por [v ] B cuando lo escribimos como vector columna en las operaciones con matrices: [v ] B = c 1, c 2,..., c n t. Ejemplo o también Si B = {v 1, v 2, v 3 } es una base de V y v = v 1 v 2 + 2v 3, se tiene que v B = 1, 1, 2 v 1 B = 1, 0, 0 v 2 B = 0, 1, 0 v 3 B = 0, 0, 1 [v ] B = 1 1 [v 1 ] B = [v 2 ] B = [v 3 ] B = Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo anterior, tomamos como base B 1 = {v 2, v 3, v 1 }, tenemos que v B1 = 1, 2, 1 que es un vector distinto de v B = 1, 1, 2. Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un único vector de IR n, de manera que disponer de las coordenadas del vector es, en el fondo, disponer del vector. Además, se verifica que ver ejercicio 4.62: [v+w] B = [v ] B +[w] B y [λv ] B = λ[v ] B, luego [λ 1 v 1 + +λ n v n ] B = λ 1 [v 1 ] B + +λ n [v n ] B y con esto, no es dificil probar que: v lin{v 1,..., v n } V [v] B lin{[v 1 ] B,..., [v n ] B } IR n {v 1,..., v n } lin. independiente en V {[v 1 ] B,..., [v n ] B } lin. independiente en IR n {v 1,..., v n } base de V {[v 1 ] B,..., [v n ] B } base de IR n por lo que basta realizar las operaciones sobre las coordenadas para efectuarlas sobre los vectores Espacios de las filas y las columnas de una matriz. De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base, podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de IR n ; por lo que resulta muy interesante conocer esta sección.

5 37 Matemáticas I 4.3 Base y dimensión. Definición Consideremos la matriz A m n, A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn. Los m vectores de IR n : r 1 = a 11,..., a 1n, r 2 = a 21,..., a 2n,..., r m = a m1,..., a mn, se denominan vectores fila de A y al subespacio lineal generado por ellos, E f A = lin{r 1, r 2,..., r m }, espacio de las filas de A. Por supuesto E f A IR n. Los n vectores de IR m : c 1 =a 11,..., a m1, c 2 =a 12,..., a m2,..., c n =a 1n,..., a mn, se denominan vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, E c A = lin{c 1, c 2,..., c n }, espacio de las columnas de A. Por supuesto E c A IR m. Proposición Si A es una matriz de tamaño m n, entonces las operaciones elementales sobre las filas resp. columnas de A no cambian el espacio de las filas resp. columnas de A. Puesto que hacer operaciones elementales sobre las filas es hacer combinaciones lineales de los vectores fila, el subespacio lineal generado es el mismo. Igual para las columnas. Corolario Sea A una matriz, entonces: a Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A, forman una base de E f A. b Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A t, forman una base de E c A. Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se comprueba fácilmente ya que debajo de cada elemento principal sólo hay ceros. Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces: dime f A = dime c A. El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rga = rga t, y que el rango coincide con el número de vectores no nulos en la forma escalonada, así como el resultado anterior. Estos resultados nos permiten usar el método de Gauss, y por lo tanto nos ofrecen un operativo sencillo, para comprobar cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente y para obtener bases. Ejemplo Los vectores X 1, X + 1 y X 2 1 de P 2 [X] son linealmente independientes? Tomemos la base B = {1, X, X 2 } de P 2 [X], entonces formamos por filas la matriz: A = X 1 B X + 1 B X 2 1 B = F 2 +F 1 F 3 F F F Por lo anterior, los vectores fila de la última matriz son linealmente independientes y dim E f A = 3. En consecuencia, los tres vectores fila de la matriz A inicial que generan E f A son también base, luego linealmente independientes y los polinomios del enunciado también son linealmente independientes. Además, forman una base de P 2 [X] por qué?.

6 38 Matemáticas I 4.4 Cambios de base 4.4 Cambios de base Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá que cambiar a las coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, teniendo en cuenta lo siguiente: Definición Sean B 1 = {u 1, u 2,..., u n } y B 2 = {v 1, v 2,..., v n } son bases de un espacio vectorial V. Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B 1 a la base B 2, la matriz de dimensiones n n, que por columnas es P = [u 1 ] B2 [u 2 ] B2 [u n ] B2, es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas en la base B 2, del vector u i de la base B 1. En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de los vectores de la base de partida. El porqué la matriz de paso se contruye así, puede observarse en la prueba de la proposición siguiente: Proposición Sea P la matriz de paso de una base B 1 en otra base B 2 de un espacio V. Entonces: 1.- x V se tiene que [x] B2 = P [x] B P es inversible y su inversa, P 1, es la matriz de paso de la base B 2 a la base B 1. Sea x = c 1 u 1 + c 2 u c n u n. Entonces, para el apartado 1: c 1 c 2 P [x] B1 = [u 1 ] B2 [u 2 ] B2 [u n ] B2. c n = c 1 [u 1 ] B2 + c 2 [u 2 ] B2 + + c n [u n ] B2 = [c 1 u 1 + c 2 u c n u n ] B2 = [x] B2 El apartado 2: como los vectores de la base B 1 son linealmente independientes, sus vectores de coordenadas en la base B 2 también lo son. Luego las columnas de P son vectores linealmente independiente y rgp = n, por lo que P es inversible. Además, [x] B2 = P [x] B1 = P 1 [x] B2 = P 1 P [x] B1 = P 1 [x] B2 = [x] B1 y P 1 es la matriz de cambio de la base B 2 en la base B 1. Ejemplo Consideremos las bases B = {1, X, X 2 } y B 1 = {X 1, X + 1, X 2 1} de P 2 [X]. La matriz de paso de la base B 1 a la base B será: P = [X 1] B [X + 1] B [X 2 1] B = y P = la matriz de paso de B a B 1. Ejemplo Consideremos en IR 3 la base canónica B c = {e 1 =1, 0, 0, e 2 =0, 1, 0, e 3 =0, 0, 1} y la base B 1 = {v 1 =1, 0, 1, v 2 =2, 1, 1, v 3 =0, 1, 1}.

7 39 Matemáticas I 4.5 Espacios vectoriales con producto interior. Como v 1 = 11, 0, , 1, 0 10, 0, 1 = e 1 e 3, se tiene que v 1 Bc = 1, 0, 1; y lo mismo para los otros vectores, luego la matriz de paso de la base B 1 a la base B c será: P = [v 1 ] Bc [v 2 ] Bc [v 3 ] Bc = y P 1 = la matriz de paso de la base B c a la base B 1. Nota: A la vista de lo anterior, obtener las coordenadas de un vector en la base canónica de IR n es inmediato, pues [x] Bc = x. Pero ciudado!, al trabajar con vectores de IR n no hay que confundir el vector con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior únicamente es cierta en la canónica. 4.5 Espacios vectoriales con producto interior Producto interior. Norma. Distancia Definición Un producto interior en un espacio vectorial real V es una función que a cada par de vectores u, v V le asocia un número real, que denotaremos por u, v, de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: 1.- u, v = v, u ; u, v V. 2.- u + v, w = u, w + v, w ; u, v, w V. 3.- ku, v = k u, v ; u, v V y k IR. 4.- u, u 0; u V y u, u = 0 u = 0. Otra propiedades que se deducen de las anteriores son: 1.- 0, u = u, v + w = u, v + u, w 3.- u, kv = k u, v Ejemplo Considerar en P 2 [X], la función P X, QX = P 1Q1 + P 1Q 1 + P 1Q 1. 1 P X, QX = P 1Q1 + P 1Q 1 + P 1Q 1 = Q1P 1 + Q 1P 1 + Q 1P 1 = QX, P X 2 P X + RX, QX = P 1 + R1 Q1 + P 1 + R 1 Q 1 + = P 1Q1+P 1Q 1+P 1Q 1 + = P X, QX + RX, QX P 1 + R 1 R1Q1+R 1Q 1+R 1Q 1 Q 1 3 kp X, QX = kp 1Q1 + kp 1Q 1 + kp 1Q 1 = k P 1Q1 + P 1Q 1 + P 1Q 1 = k P X, QX P X, P X = P 1P 1 + P 1P 1 + P 1P 1 = P 1 + P 1 + P 1 0. Y, se da la igualdad si y sólo si, P 1 = P 1 = P 1 = 0. Entonces, sea P X = a + bx + cx 2, de donde P X = b + 2cX y P X = 2c. Luego a + b + c = 0 P 1 = P 1 = P 1 = 0 b + 2c = 0 a = b = c = 0 P X = 0. 2c = 0 Luego tenemos un producto interno definido en P 2 [X].

8 40 Matemáticas I 4.5 Espacios vectoriales con producto interior. A partir de un producto interior sobre un espacio vectorial V se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo. Definición Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma o longitud de un vector v V se denota mediante v y se define como v = + v, v. La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante du, v y se define como du, v = u v = + u v, u v. Desigualdad de Cauchy-Schwarz Para todo u, v V, espacio con producto interior, se tiene u, v 2 u 2 v 2 o en la forma u, v u v. Propiedades básicas de la norma u 0; u V 2.- u = 0 u = ku = k u ; u V y k IR 4.- u + v u + v ; u, v V Propiedades básicas de la distancia du, v 0; u, v V 2.- du, v = 0 u = v 3.- du, v = dv, u; u, v V 4.- du, v du, w+dw, v ; u, v, w V Observación: Sean V un espacio con producto interior y B = {u 1,..., u n } una base de V. Tomemos dos vectores v = a 1 u a n u n y w = b 1 u b n u n, entonces v, w = a 1 u a n u n, w = a 1 u 1, w + + a n u n, w = a 1 u 1, b 1 u b n u n + + a n u n, b 1 u b n u n = a 1 u 1, u 1 b a 1 u 1, u n b n + + a n u n, u 1 b a n u n, u n b n u 1, u 1 u 1, u n b 1 = a 1 a n = v B Q B [w] B = [v] t B Q B [w] B u n, u 1 u n, u n luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base. La matriz Q B obtenida se denomina matriz de Gram o matriz métrica. Por las propiedades del producto interior, Q B es simétrica y los elementos de la diagonal positivos El espacio euclídeo n -dimensional IR n Definición Sobre el espacio vectorial IR n definimos la función que a cada x, y IR n le asocia x, y = x y = x 1,..., x n y 1,..., y n = x 1 y x n y n = n x i y i Como puede comprobarse fácilmente dicha función es un producto interior, el que se conoce como producto interior euclídeo o producto escalar euclídeo ya usado en IR 2 y IR 3. Este producto interior da lugar a la norma y distancia euclídeas, ya conocidas: x = x x2 n y dx, y = x y = x 1 y x n y n 2. Se llama espacio euclídeo n -dimensional a IR n con el producto interior euclídeo. b n i=1

9 41 Matemáticas I 4.5 Espacios vectoriales con producto interior. Nota: Si la matriz métrica del producto interior en la base B, Q B, es la identidad, el producto interior se reduce al producto escalar euclídeo. Esto ocurre precisamente para las bases ortonormales que se estudian en la siguiente sección Ortogonalidad Definición Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto interior, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que 1 u v u,v 1 y, por tanto, existe un único ángulo, θ, tal que cos θ = u, v u v, con 0 θ π Definición En un espacio vectorial con producto interior, dos vectores u y v se dicen que son ortogonales si u, v = 0. Suele denotarse por u v. Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W, se dice que u es ortogonal a W. Se dice que S = {v 1, v 2,..., v k } es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, es decir, si v i v j para todo i j. Ejemplo.- Los vectores de la base canónica de IR 3 con el producto escalar euclídeo son ortogonales entre si, pero no lo son si el producto interior definido es: v, w = v 1 w 1 +v 1 w 2 +v 2 w 1 +2v 2 w 2 +v 3 w 3. Compruebese que es un producto interior. En efecto: e 1, e 2 = 1, 0, 0, 0, 1, 0 = = 1 0. Observación: Si dos vectores son ortogonales, el ángulo que forman es de π radianes los famosos 90 grados. De hecho, en IR n con el producto escalar euclídeo, la ortogonalidad coincide con la perpendicularidad. Una curiosidad: Teorema general de Pitágoras Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interior, entonces u + v 2 = u 2 + v 2. Este resultado, de fácil comprobación, se reduce en IR 2 con el producto escalar al Teorema de Pitágoras. También es sencillo probar el resultado siguiente ver ejercicio 4.69: Proposición Si w {v 1, v 2,..., v k }, entonces w lin{v 1, v 2,..., v k }. Mucho más interesante es el siguiente, que relaciona ortogonalidad e independencia: Teorema Si S = {v 1, v 2,..., v k } un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos, entonces S es linealmente independiente Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt Definición Sean V un espacio vectorial de dimensión n con producto interior. Se dice que la base B = {v 1, v 2,..., v n } es una base ortonormal de V, si B es un conjunto ortogonal y v i = 1, i. { } Ejemplo.- La base canónica y la base B 1 = 2 1 1, 2, 1 1 2, 2 son bases ortonormales en IR 2 con el producto escalar euclídeo. La base B 2 = {2, 0, 0, 2} es ortonormal para el producto interior x, y = x 1y x 2y 2 2.

10 42 Matemáticas I 4.5 Espacios vectoriales con producto interior. Teorema Si B = {v 1, v 2,..., v n } es una base ortonormal para un espacio, V, con producto interior, entonces, v V se tiene que v B = v, v 1, v, v 2,..., v, v n. Es decir, v = v, v 1 v 1 + v, v 2 v v, v n v n, Si v = c 1 v c i v i + + c n v n, para cada i, se tiene que v, v i = c 1 v c i v i + + c n v n, v i = c 1 v 1, v i + + c i v i, v i + + c n v n, v i = c i v i, v i = c i v i 2 = c i Es decir, en una base ortonormal, la obtención de cordenadas puede resultar más sencilla. Pero no sólo eso, si no que también se tiene: Teorema Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B 1 a otra base ortonormal B 2, entonces P es una matriz ortogonal es decir, P 1 = P t. La prueba es puramente operativa, usando la definición de matriz de paso y el apartado b del ejercicio 4.72 ver también el ejercicio Definición Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B = {w 1, w 2,..., w k } una base ortonormal de W. Para cada v V, llamaremos proyección ortogonal de v sobre W al vector de W Proy W v = v, w 1 w 1 + v, w 2 w v, w k w k. Al vector v Proy W v se le llama componente ortogonal de v sobre W. El vector proyección ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando cualquier base ortonormal se obtiene el mismo vector. La prueba puede encontrarse en el Anexo 1, tras la demostración del Lema 121 siguiente. Lema Sean V un espacio vectorial con producto interior y W un subespacio de V. Si B = {w 1, w 2,..., w k } es una base ortonormal de W, entonces para cada v V, el vector v Proy W v es ortogonal a cada vector de W. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt Sean V un espacio vectorial con producto interior de dimensión finita y B = {v 1, v 2,..., v n } una base de V. Vamos a describir un proceso para conseguir a partir de la base B una base ortonormal B = {u 1, u 2,..., u n }. Este método de ortonormalización es conocido como Proceso de Gram-Schmidt. 1 a etapa.- Como v 1 0 por ser de B, el vector u 1 = v 1 v 1 tiene norma 1 y lin{u 1 } = lin{v 1 }. 2 a etapa.- Sea W 1 = lin{u 1 }, por el Lema anterior, el vector v 2 Proy W1 v 2 es ortogonal a W 1, en particular a u 1, y es distinto del vector 0 pues Proy W1 v 2 W 1 y v 2 / W 1 = lin{v 1 }, entonces tiene que u 2 = v 2 Proy W1 v 2 v 2 Proy W1 v 2 = v 2 v 2, u 1 u 1 v 2 v 2, u 1 u 1 lin{v 1, v 2 } es ortogonal a u 1 y tiene norma 1. Además, lin{u 1, u 2 } = lin{v 1, v 2 }. 3 a etapa.- Sea ahora W 2 = lin{u 1, u 2 }, como antes, el vector v 3 Proy W2 v 3 es ortogonal a W 2, en particular a u 1 y u 2, y es distinto del vector 0, pues Proy W2 v 3 W 2 y v 3 / W 2 = lin{v 1, v 2 }, entonces se tiene que u 3 = v 3 Proy W2 v 3 v 3 Proy W2 v 3 = v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u 2 u 2 v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u 2 u 2 lin{v 1, v 2, v 3 } es ortogonal a u 1 y u 2, y tiene norma 1. Además, lin{u 1, u 2, u 3 } = lin{v 1, v 2, v 3 }.

11 43 Matemáticas I 4.6 Ejercicios. n a etapa.- Repitiendo el proceso se va construyendo un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B = {u 1, u 2,..., u n }, tal que lin B = lin B = V. Luego B es una base ortonormal de V. 4.6 Ejercicios Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos: a IR 2 con las operaciones: x, y + x, y = x + x, y + y y kx, y = 2kx, 2ky. b A = {x, 0 : x IR} con las operaciones usuales de IR 2. c IR 2 con las operaciones: x, y + x, y = x + x + 1, y + y + 1 y kx, y = kx, ky. d El conjunto de los números reales estríctamente positivos, IR + {0}, con las operaciones: x + x = xx y kx = x k Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de IR 3 ó IR 4? a Todos los vectores de la forma a, 1, 1. b Todos los vectores de la forma a, b, c con b = a + c. c Todos los vectores de la forma a, b, c, d con a + 2d = 7. d Todos los vectores de la forma a, b, c, d con ba = Sean v 1 = 2, 1, 0, 3, v 2 = 3, 1, 5, 2 y v 3 = 1, 0, 2, 1 vectores de IR 4. Cuáles de los vectores 2, 3, 7, 3, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 y 4, 6, 13, 4, están en lin{v 1, v 2, v 3 }? 4.52 Para qué valores reales de λ los vectores v 1 = λ, 1 2, 1 forman un conjunto linealmente dependiente en IR 3? 2 v 2 = 1 2, λ, 1 2 y v 3 = 1 2, 1 2, λ 4.53 Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w, demostrar que u + v, v + w y w + u son también linealmente independientes Sea V un espacio vectorial y S = {v 1,..., v k } un conjunto de vectores de V. Probar que: a lin S es un subespacio vectorial de V. b Si W es un subespacio de V que contiene a los vectores de S, entonces lin S W Probar que si los vectores v 1,..., v k son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de IR 4 : a Todos los vectores de la forma a, b, c, 0. b Todos los vectores de la forma a, b, c, d con d = a + b y c = a b. c Todos los vectores de la forma a, b, c, d con a = b = c = d Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B, de m ecuaciones con n incógnitas no forman un subespacio de IR n. Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si B = 0? 4.58 Sean E y F subespacios de un espacio V. Probar que: E F = {v V : v E y v F } es un subespacio de V Considerar en IR 4 los conjuntos de vectores: A = {1, 2, 1, 3, 0, 1, 0, 3} B = {1, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 0, 0, 0, 1}

12 44 Matemáticas I 4.6 Ejercicios. a Hallar las dimensiones de lina y de linb, y encontrar una base b Hallar las ecuaciones paramétricas de lina y de linb. c Hallar las ecuaciones cartesianas de lina y de linb. d Hallar la dimensión de lina linb Consideremos en el espacio vectorial IR 3 la base B = {u 1, u 2, u 3 }. Sea E el subespacio engendrado por los vectores v 1 = u 1 + 3u 3, v 2 = 2u 1 3u 2 + u 3, v 3 = 4u 1 3u 2 + 7u 3. Sea F el subespacio engendrado por los vectores w 1 = u 1 + u 2 + u 3, w 2 = 2u 1 + 3u 2 + 4u 3, w 3 = 3u 1 + 4u 2 + 5u 3. Hallar una base de E, una base de F, el subespacio E F y una base de E F Sea M 2 2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre IR y sea E el subconjunto de M 2 2 formado por las matrices de la forma con a, b, c IR. a b + c b + c a a Demostrar que E es un subespacio vectorial. 1 0 b Probar que las matrices A 1 =, A = base de E , A 3 = , forman una 4.62 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Demostrar que el conjunto {v 1, v 2,..., v n } es una base de V si, y sólo si el conjunto {[v 1 ] B, [v 2 ] B,..., [v n ] B } es una base de IR n En una cierta base {u 1, u 2, u 3, u 4 } de un espacio vectorial V, un vector w tiene por coordenadas 3, 1, 2, 6. Hallar las coordenadas de W en otra base {v 1, v 2, v 3, v 4 } cuyos vectores verifican que v 1 = u 1 + u 2, v 2 = 2u 4 u 1, v 3 = u 2 u 3, v 4 = 2u 1 u En IR 3 se consideran las bases B = {e 1, e 2, e 3 } la base canónica y B = {v 1, v 2, v 3 } donde v 1 = 2, 0, 0, v 2 = 0, 1, 2 y v 3 = 0, 0, 3. Hallar las coordenadas respecto de la base B del vector x = 4e 1 + e 2 5e Se consideran en IR 3 las bases B = {u 1, u 2, u 3 } y B = {v 1, v 2, v 3 }, siendo u 1 = 3, 0, 3, u 2 = 3, 2, 1, u 3 = 1, 6, 1 y v 1 = 6, 6, 0, v 2 = 2, 6, 4, v 3 = 2, 3, 7. a Hallar la matriz de paso de B a B. b Calcular la matriz de coordenadas, [w] B, siendo w = 5, 8, 5. c Calcular [w] B de dos formas diferentes 4.66 Sean u = u 1, u 2, u 3 y v = v 1, v 2, v 3. Determinar si u, v = u 1 v 1 u 2 v 2 + u 3 v 3 define un producto interior en IR a Encontrar dos vectores de IR 2 con norma euclídea uno y cuyo producto interior euclídeo con 2, 4 sea cero. b Demostrar que hay un número infinito de vectores en IR 3 con norma euclídea uno y cuyo producto interior euclídeo con 1, 7, 2 es cero Sean a = 1 5, 1 5 y b = , 30. Demostrar que {a, b} es ortonormal si IR 2 tiene el producto interior u, v = 3u 1 v 1 + 2u 2 v 2 donde u = u 1, u 2 y v = v 1, v 2, y que no lo es si IR 2 tiene el producto interior euclídeo.

13 45 Matemáticas I 4.6 Ejercicios Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de los vectores v 1, v 2,..., v k entonces es ortogonal a lin{v 1, v 2,..., v k } Considera IR 3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en cada caso, la base {u 1, u 2, u 3 } en una base ortonormal. a u 1 = 1, 1, 1, u 2 = 1, 1, 0, u 3 = 1, 2, 1. b u 1 = 1, 0, 0, u 2 = 3, 7, 2, u 3 = 0, 4, Sea IR 3 con el producto interior u, v = u 1 v 1 + 2u 2 v 2 + 3u 3 v 3. Utilizar el proceso de Gram- Schmidt para transformar la base formada por los vectores u 1 = 1, 1, 1, u 2 = 1, 1, 0 y u 3 = 1, 0, 0 en una base ortonormal Sea B = {v 1, v 2, v 3 } una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Probar que: a w 2 = w, v w, v w, v 3 2 ; w V. b u, w = u B w B = [u] t B [w] B ; u, w V Tomemos en IR 4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = 1, 2, 6, 0 en la forma w = w 1 + w 2 donde, w 1 está en el subespacio W generado por los vectores u 1 = 1, 0, 1, 2 y u 2 = 0, 1, 0, 1, y w 2 es ortogonal a W Suponer que IR 4 tiene el producto interior euclideo. a Hallar un vector ortogonal a u 1 = 1, 0, 0, 0 y u 4 = 0, 0, 0, 1, y que forme ángulos iguales con los vectores u 2 = 0, 1, 0, 0 y u 3 = 0, 0, 1, 0. b Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u 1 y a u 2, tal que el coseno del ángulo entre x y u 3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u Hallar la distancia del vector u = 1, 1, 1, 1 de IR 4 al subespacio generado por los vectores v 1 = 1, 1, 1, 0 y v 2 = 1, 1, 0, Dados los vectores x = x 1, x 2, x 3 e y = y 1, y 2, y 3 de IR 3, demostrar que la expresión x, y = 2x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 1 y 2 + x 2 y 1 define un producto interior. Encontrar una base {u 1, u 2, u 3 } ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u 2 y u 3 tengan igual dirección y sentido que los vectores 0, 1, 0 y 0, 0, 1, respectivamente Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un conjunto ortonormal en IR n.