ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO

Transcripción

1 ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO PRODUCTO ESCALAR Sea V un espacio vectorial sobre C. Una aplicación que asocia un número complejo < u, v > a cada pareja de vectores u y v en V, se dice que es un producto escalar sobre V si satisface las siguientes propiedades para cualesquiera u, v, w V y α C: i) < u, v >= < v, u >. ii) < u, v + w >=< u, v > + < u, w >. iii) < αu, v >= α < u, v >. iv) < u, u > 0. v) < u, u >= 0 u = 0. A un espacio vectorial con un producto escalar se le denomina Espacio Euclídeo. < 0, u >=< u, 0 >= 0. < u + v, w >=< u, w > + < v, w > < u, αv >= α < u, v > Ejemplos: R n : < u, v >= C n : < u, v >= u i v i = u t v. u i v i = u t v. 1

2 C([a, b]) : < f, g >= C([a, b]) : < f, g >= b a b a f(x)g(x)dx (funciones reales). w(x)f(x)g(x)dx, w : [a, b] R + y las funciones toman valores reales. P n : p(x) = a n x n y q(x) = b n x n, < p, q >= i=0 i=0 NORMA Y ÁNGULO a n b n Sea V un espacio euclídeo. Llamamos norma de un elemento u de V al número real positivo u 0. u = 0 u = 0. αu = α u. u = + < u, u > u + v u + v (Desigualdad triangular). < u, v > u v (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). u + v 2 + u v 2 = 2 u u 2 (Ley del paralelogramo). Sea V un espacio vectorial real. Dados u, v V, la desigualdad de Cauchy-Schwarz puede escribirse como u v < u, v > u v y para u = 0 y v = 0 se tiene 1 < u, v > u v 1. 2 i=0

3 Existe un único θ [0, π] tal que cos θ = < u, v > u v. A este número θ se le llama ángulo entre los vectores u y v y se denota por θ = ang(u, v). Sea V un espacio euclídeo. Dados u, v V se dice que son ortogonales si < u, v >= 0. Además, si u es ortogonal a cada vector de un conjunto W V, se dice que u es ortogonal a W. Teorema de Pitágoras: Si u y v son dos vectores ortogonales en un espacio euclídeo V, entonces u + v 2 = u 2 + v 2. PROYECCIONES SOBRE SUBESPACIOS Sea V un espacio euclídeo y U un subespacio vectorial de V. Se llama ortogonal de U en V,U, al conjunto de todos los vectores de V ortogonales a cualquiera de U U = {v V tal que < v, u >= 0 u U}. Sea V un espacio euclídeo y U un subespacio vectorial de dimensión nita. Entonces todo vector v de V se puede expresar de forma única como v = u 1 + u 2 donde u 1 U y u 2 U. U es subespacio vectorial de V. U U = 0. 3

4 Si v V es ortogonal a los elementos de una base de U entonces v U. Si U W entonces W U. U = ( U ). Al vector u 1 se le llama Proyección ortogonal de v sobre U y se denota por proy U (v). El vector u 2 = v proy U (v) se conoce como Componente de v ortogonal a U (en ocasiones se le llama también) Proyección ortogonal de v sobre U. proy U es una aplicación lineal. ker proy U = U e Im proy U = U proy U proy U = proy U proy U deja invariantes a los elementos de U. Teorema de la mejor aproximación: Sea V un espacio vectorial euclídeo y U V un subespacio vectorial de dimensión nita. Dado v V, se cumple v proy U (v) v u, u U. BASES ORTOGONALES. PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT Sea V un espacio euclídeo. Un sistema de vectores no nulo de V, {v 1, v 2,..., v k } se dice que es un sistema ortogonal si cada vector del sistema es ortogonal con todos los demás, es decir < v i, v j >= 0, i, j = 1, 2,..., k, i j. 4

5 Si además los vectores del sistema son normales o unitarios, es decir v i = 1, i = 1, 2,..., k, se dice que es un sistema ortonormal. Sea V un espacio euclídeo. Todo sistema ortogonal es linealmente independiente. Sea {v 1, v 2,..., v n } una base ortogonal de un espacio euclídeo V. Dado v V v = < v, v 1 > < v 1, v 1 > v 1 + < v, v 2 > < v 2, v 2 > v < v, v n > < v n, v n > v n. Sea V un espacio euclídeo y U un subespacio vectorial de dimensión nita con una base ortogonal {u 1, u 2,..., u m }, entonces m < v, u i > Proy U (v) = u i 2 u i. Ejemplo: Series de Fourier: El sistema trigonométrico {1, cos x, sen x, cos 2x, sen 2x,..., cos nx, sen nx} es ortogonal con respecto al producto usual denido en C([0, 2π]). Si f C([0, 2π]) la función mas próxima a fde las que pertenecen a la envoltura lineal del sistema trigonmétrico es a k = 1 π b k = 1 π a π 0 2π 0 a k cos kx + b k sen kx f(x) cos kxdx, f(x)sen kxdx, k = 0, 1, 2,..., n k = 1, 2,..., n 5

6 Ortogonalización de Gram-Schmidt:Dado un sistema de vectores linealmente independientes {a 1, a 2,..., a n } para obtener un sistema de vectores ortogonales (ortonormales) que generen el mismo subespacio se procede como sigue: v 1 = a 1 v 2 = a 2 < a 2, v 1 > < v 1, v 1 > v 1 v 3 = a 3 < a 3, v 1 > < v 1, v 1 > v 1 < a 3, v 2 > < v 2, v 2 > v 2. v n = a n < a n, v 1 > < v 1, v 1 > v 1 < a n, v 2 > < v 2, v 2 > v 2 < a n, v n 1 > < v n 1, v n 1 > v n 1 q 1 q 2. q n = v 1 / v 1 = v 2 / v 2 = v n / v n MATRICES ORTOGONALES. FACTORIZACIÓN QR Una matriz A M n n (K) se dice que es ortogonal si sus columans son vectores ortonormales. A t A = I AA t = I A 1 = A t Si A M n n (K) es una matriz ortogonal, entonces: i) A conserva el producto escalar canónico, es decir < Ax, Ay >=< x, y >, x, y R n. 6

7 Cualquier matriz A con columnas linealmente independientes puede factorizarse en un producto A = QR. Q es una matriz del mismo orden que A con columnas ortonormales y R es triangular e invertible. Si la matriz original A es cuadrada, también lo son sus factores Q y R, y entonces Q será una matriz ortogonal. Q = (q 1, q 2,..., q n ) R = v 1 < a 2, q 1 > < a n, q 1 > 0 v 2 < a n, q 2 > v n. 7