INSTRUCTIVO GENERAL Semestre

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) INSTRUCTIVO GENERAL Semestre Propósito Este curso tiene como finalidad introducir los conceptos y los métodos propios del Álgebra Lineal, para ser aplicados en la solución de problemas en varias áreas de la matemática y de la ingeniería. Logros y Adquisiciones Al culminar con éxito el estudio de esta asignatura, el alumno estará en condiciones de: Resolver un sistema de ecuaciones lineales por los métodos de eliminación Gauss-Jordan y gaussiana. Escribir la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales. Calcular el determinante de una matriz. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de Cramer. Calcular la inversa de una matriz cuadrada. Calcular la norma de un vector, el producto escalar de dos vectores y el ángulo entre ellos en R 2 y R 3. Calcular el producto vectorial de dos vectores y el producto mixto de tres vectores en R 3. Escribir ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Determinar sus intersecciones y sus posiciones relativas. Resolver problemas de geometría con el uso de herramientas vectoriales. Determinar si un subconjunto no vacío, de un espacio vectorial, es un subespacio vectorial. Determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente o linealmente dependiente. Determinar una base de un subespacio vectorial. Determinar la dimensión del subespacio generado por un conjunto de vectores. Calcular la matriz de cambio de una base a otra. Determinar las coordenadas de un vector en una base dada, las ecuaciones de una recta o de un plano después de un cambio de base. Calcular los autovalores y autovectores de una matriz. Identificar una cónica o una cuádrica definida por una ecuación implícita utilizando su forma canónica. Resolver problemas en varias áreas del conocimiento valiéndose de los métodos y técnicas del Álgebra Lineal. Programa Sinóptico Sistemas de Ecuaciones Lineales, Matrices y Determinantes. Vectores en R 2 y R 3. Espacios Vectoriales. Transformaciones Lineales. Autovalores y Autovectores. 1

2 Programa Detallado 1. Sistema de Ecuaciones Lineales y Matrices. 1.1 Eliminación Gauss Jordan y Gaussiana. Notación matricial. 1.2 Sistemas Homogéneos. 1.3 Matrices. Operaciones: suma, producto por un escalar, producto de matrices, inversa y transpuesta. Matriz simétrica. 1.4 Determinantes: definición y propiedades. 1.5 Determinantes e inversas. Regla de Cramer. 1.6 Aplicaciones. 2. Vectores en R 2 y R Definición. Operaciones: suma, producto por un escalar, producto escalar, norma, producto vectorial. Proyección ortogonal. Cálculo de área y volumen. 2.2 Rectas y planos en el espacio. Ángulo, paralelismo, ortogonalidad, perpendicularidad. Distancias. 3. Espacios Vectoriales. 3.1 Definiciones y propiedades básicas. Ejemplos. 3.2 Subespacios. 3.3 Combinación lineal y espacios generados. 3.4 Dependencia e independencia lineal. 3.5 Base y dimensión. Coordenadas. Cambio de base. 3.6 Espacios determinados por una matriz: imagen, nulo, columnas y filas. Rango y nulidad de una matriz. 3.7 Producto Interno. Ejemplos. Norma de un vector. Ángulo y distancia entre vectores. 3.8 Bases ortogonales y ortonormales, proyección sobre un vector y sobre un subespacio. Proceso de ortogonalización de Gram Schmidt. 3.9 Aproximación por mínimos cuadrados. 4. Transformaciones lineales. 4.1 Definición. Ejemplos. Propiedades. 4.2 Imagen y núcleo. Nulidad y rango. 4.3 Representación matricial. Matriz de transformación. Cambios de bases. 4.4 Isomorfismos. Transformación inversa. 5. Autovalores y Autovectores. 5.1 Definición. Determinación de autovalores y autovectores. 5.2 Multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor. 5.3 Matrices semejantes. Diagonalización. 5.4 Matrices simétricas. Diagonalización ortogonal. 5.5 Aplicación a formas cuadráticas, secciones cónicas. 2

3 Información General La asistencia a clases es obligatoria, con el 25% de inasistencias a las actividades académicas se pierde el curso. Toda información que el estudiante deba conocer y que no se encuentre en este instructivo, será hecha de su conocimiento: A través de su profesor en el aula de clases. Publicada en la cartelera de Álgebra Lineal, ubicada en el tercer piso del edificio de aulas. En Se fijará y se publicará para los estudiantes el horario de consultas que ofrecen algunos profesores y los preparadores de Álgebra Lineal y el lugar donde se dará dicha consulta. En los exámenes no se permitirá el uso de calculadoras, ni de tablas. Para presentar cualquier examen el estudiante debe identificarse con su cédula laminada y el carnet universitario. Profesores La coordinación de la asignatura estará a cargo del Profesor Carlos La Maida. Los otros profesores que constituyen la Cátedra de Álgebra Lineal para el presente semestre son: Norma Guzman, Felix Nieto, Carlos Gil, Bachir Sayes y Daniel Guarate. Evaluación Los mecanismos de evaluación del curso son los siguientes: 1.- Cuatro Exámenes Parciales Departamentales. Se realizarán en las fechas indicadas en el cronograma de actividades, con los contenidos que en éste se indican, cuatro exámenes parciales. Los valores porcentuales con el que contribuirá cada parcial a la nota definitiva son los siguientes: Primer parcial 25 % Segundo parcial 20 % Tercer parcial 25 % Cuarto parcial 30 % 2.- Examen de Recuperación. El estudiante tendrá derecho a un examen opcional de recuperación. Los contenidos a evaluar en este examen serán los mismos que se le evaluaron en el examen donde obtuvo la menor calificación o del parcial al que el estudiante no asistió cualquiera sea la razón de su inasistencia. La nota obtenida en el examen de recuperación sustituirá a la nota previamente obtenida en el examen recuperado. Las pruebas de recuperación son elaboradas por la totalidad de los profesores de la cátedra. 3.- Examen de Reparación. Se contempla un examen de reparación al cual tendrán derecho solamente aquellos estudiantes que hayan asistido a por lo menos dos pruebas parciales. Este examen será elaborado por la totalidad de los profesores de la cátedra. La nota obtenida en el examen de reparación sustituirá a la nota previamente obtenida. Las fechas de los exámenes de recuperación y reparación serán fijadas por Coordinación Académica. 3

4 Revisión de exámenes: Al entregar las notas de cada examen el profesor debe fijar dos períodos indicando la fecha, hora y lugar de la revisión, los cuales deben ser publicados, junto con las calificaciones. Todo estudiante tiene derecho a revisar su examen. La asistencia a clases es de carácter obligatorio. El estudiante que tenga al menos 25% de inasistencias obtendrá una calificación definitiva de 00 y perderá el derecho a presentar el Examen de Recuperación y de Reparación. Bibliografía Stanley Grossman, Álgebra Lineal. 5ª. Ed., McGraw Hill Larson, Ron y Falvo, David. Fundamentos de Álgebra Lineal. Sexta edición. CENGAGE LEARNING Kolman, K & Hill, D. Álgebra Lineal. 8ª. Ed., Pearson Nakos, G. & Joyner, D. Álgebra Lineal con Aplicaciones. Thomson

5 DICIEMBRE NOVIEMBRE Algebra Lineal y Geometría Analítica CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades J.I.F.I Repaso Repaso Tema N 1.- Matrices, Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Presentación del programa. Matriz. Igualdad de Matrices. Matriz cuadrada. Diagonal principal. Traza de una matriz. Matriz Diagonal. Matriz identidad. Matriz nula. Matriz transpuesta. Matriz simétrica. Matriz anti simétrica. Matriz triangular. Operaciones con matrices. Suma algebraica de matrices. Multiplicación de una matriz por un escalar. Producto de matrices. Matriz inversa. Matriz ortogonal. Operaciones elementales con las filas de una matriz. Continuación de operaciones elementales con las filas de una matriz. Matrices equivalentes. Calculo de la inversa de una matriz usando eliminación Gauss-Jordan. Matriz Singular. Ecuación lineal. Sistema de ecuaciones lineales. Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Eliminación Gauss-Jordan y eliminación Gaussiana. Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales mediante eliminación Gaussiana y Gauss-Jordan. Determinante de una matriz cuadrada. Menor de una matriz. Cofactor de una matriz. Matriz de cofactores. Matriz adjunta. Calcula de la inversa de una matriz empleando la matriz adjunta. Propiedades de los determinantes. Ejercicios y problemas varios empleando las propiedades de los determinantes. Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Formulación de sistemas de ecuaciones lineales. Formulación de sistemas de ecuaciones lineales. Resolución de problemas variados. 1er Parcial Viernes: 09/12/2016 Tema N 2.- Vectores en R 2 y R 3. Vector. Elementos: Magnitud, dirección, sentido. Algebra de vectores. Desigualdad triangular. Vector nulo. Vector unitario. Vectores paralelos. Vectores ortogonales. Producto escalar, interno o punto, propiedades. Determinación del ángulo entre dos vectores. Paralelismo. Ortogonalidad. Desigualdad de Cauchy Schwarz. Proyección Ortogonal de un vector sobre otro. Producto vectorial, Propiedades. Área de un paralelogramo. Producto Mixto. Producto triple. Volumen de un paralelepípedo. Volumen del tetraedro. Resolución de ejercicios y problemas varios. 1 5

6 MARZO FEBRERO FEBRERO ENERO Algebra Lineal y Geometría Analítica Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades Repaso de vectores y resolución de ejercicios varios. Formas de la ecuación de la recta: Vectorial, paramétrica, simétrica. Formas de la ecuación de un plano: vectorial, paramétrica y cartesiana. Ángulos entre: Dos rectas, dos planos, una recta y un plano. Intersección entre: Dos rectas, una recta y un plano, Dos planos, tres planos. Distancia entre: un punto y una recta, un punto y un plano, dos rectas, una recta y un plano, dos planos paralelos. Tema N 3.- Espacios vectoriales. Espacio vectorial real. Axiomas. Ejemplos ilustrativos. Sub-espacio vectorial real. Teoremas de interés y ejemplos ilustrativos. Resolución de ejercicios y problemas varios de espacio y sub-espacio vectorial. Combinación lineal. Resolución de ejercicios y problemas varios sobre rectas y planos. Repaso tema 2. 2do Parcial Viernes 27/01/2017 (20%) Combinación lineal. Espacio generado. Conjunto generador. Dependencia e Independencia lineal. Base de un espacio vectorial. Dimensión de un espacio vectorial. Resolución de ejercicios y problemas variados. Espacio nulo y nulidad de una matriz. Imagen de una matriz. Rango de una matriz. Espacio generado por las filas de una matriz y espacio generado por las columnas de una matriz. Resolución de ejercicios y problemas variados. Producto interior. Bases ortogonales y ortonormales. Proceso de Ortonormalizacion de Gram-Schmidt. Resolución de Ejercicios y problemas sobre Ortonormalización de Gram Schmidt. Aproximación por mínimos cuadrados. Aproximación por mínimos cuadrados. Resolución de ejercicios. Tema N 4.- Transformaciones lineales. Definición de transformación lineal. Propiedades. Matriz de una transformación lineal. Imagen y Nucleo de una transformación lineal. Nulidad y rango de una transformación lineal. Ejemplos ilustrativos. Cambio de Bases en una Transformación lineal. Resolución de ejercicios y problemas variados. Repaso tema 3. Repaso tema 3. 3er Parcial Viernes 24/02/2017 (25%) CARNAVAL Resolución de ejercicios y problemas variados. Isomorfismos. Composición de transformaciones. Transformación inversa. Ejemplos Iustrativos. Tema N 5.- Autovalores y autovectores. Definición y determinación de autovalores y autovectores. Multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor. Matrices semejantes. Diagonalización. Matrices simetricas. Diagonalización Ortogonal. Resolución de ejercicios y problemas variados. Aplicaciones. Secciones cuadráticas, secciones conicas, sin traslación. Aplicaciones. Secciones cuadráticas, secciones conicas, con traslación. Resolución de ejercicios y problemas variados. Repaso Repaso. 4to Parcial Miercoles 22/03/2017 (30%) 6

7 Algebra Lineal y Geometría Analítica RECUPERACIÓN REPARACIÓN 3 7