EL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO

Transcripción

1 EL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO PRODUCTO ESCALAR Sean dos vectores del espacio V 3. Llamamos producto escalar de dichos vectores, y se denota, al número real que se obtiene al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman: Propiedades del producto escalar: 1. El producto escalar de un vector por si mismo es un nº positivo o nulo: V 3 2. Conmutativa: V 3 3. Distributiva: V 3 4. Homogénea: V 3 El Producto escalar de dos vectores la proyección del otro sobre él:, equivale al producto del módulo de uno de ellos por Al tratarse de un triángulo rectángulo, aplicando la definición de coseno y sustituyendo en obtenemos ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO Sea V 3 el espacio vectorial de los vectores libres del espacio y el producto escalar definido anteriormente. Se llama Espacio Vectorial Euclideo al par (V 3, ), es decir al espacio de los vectores dotado de un producto escalar. 1

2 EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR Sea B = la base canónica en V 3 y sean y dos vectores expresados en dicha base. El producto escalar de se calcula, aplicando sus propiedades: ) ( = = + como la base canónica está formada por vectores de módulo uno y que forman un ángulo de 90º entre si, los productos escalares de sus vectores quedarán: = 1 = 1 = 1 Sustituyendo en la expresión anterior: que es la expresión analítica del producto escalar respecto de la base canónica. VECTORES UNITARIOS Un vector V 3 se dice que es unitario cuando. Dado un vector no nulo, para obtener a partir de él un vector unitario, basta dividirlo por su módulo, es decir: es unitario, ya que VECTORES ORTOGONALES Dos vectores del espacio vectorial euclideo (V 3, ) son ortogonales si y solo si su producto escalar es nulo, es decir: Propiedades 1. V 3 2. El único vector perpendicular a sí mismo es el vector nulo. 3. Si = ( Teorema de Pitágoras) Expresión analítica: sean y dos vectores expresados en la base canónica, 2

3 BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES Una base de (V 3, ) es ortogonal cuando los vectores que la forman son ortogonales dos a dos. Una base de (V 3, ortogonales, es decir: ) es ortonormal cuando los vectores que la forman son unitarios y es ortonormal MÓDULO DE UN VECTOR Sea un vector de (V 3, ), el módulo del vector se puede obtener a partir de la expresión del producto escalar de la siguiente manera: Y por tanto Expresión analítica: sea respecto de la base canónica, entonces ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Dados dos vectores del espacio vectorial euclideo (V 3, ) el ángulo que forman dichos vectores se obtiene despejando en la expresión del producto escalar: Expresión analítica: sean y los vectores expresados en la base canónica, entonces: PRODUCTO VECTORIAL Sean dos vectores no nulos de V 3. Se llama producto vectorial de y se denota por, al vector de V 3 tal que: a) El módulo es: b) La dirección de es la recta perpendicular a los vectores, es decir y. c) El sentido de es el de avance de un sacacorchos que gira de 3

4 Si alguno de los vectores es nulo, se define y. Propiedades del producto vectorial: MATEMÁTICAS II 1.- Anticonmutativa: ; V Distributiva: V V 3 4.-, con es paralelo a. 5.- El producto vectorial no es asociativo. El módulo del producto vectorial de dos vectores que definen ambos vectores., es igual al área del paralelogramo Dados los vectores. Se tiene que, sustituyendo en nos queda EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL Sea B = la base canónica en V 3 y sean y dos vectores expresados en dicha base. El producto vectorial de es el vector Aplicando las propiedades del producto vectorial se obtiene ) = Para calcular la expresión analítica del producto vectorial desarrollamos el determinante anterior obteniendo las componentes del vector. 4

5 PRODUCTO MIXTO Sean tres vectores no nulos de V 3. Se llama producto mixto de y se denota por, al número real: Si alguno de los vectores es nulo entonces Propiedades: a) Es decir, el producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia se signo si éstos se trasponen. b) = c) d) son linealmente dependientes. El valor absoluto del producto mixto, de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo definido por ellos. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO MIXTO Sea B = la base canónica en V 3 y sean, y tres vectores expresados en dicha base, entonces: ( = = Por tanto 5