VECTORES EN EL ESPACIO

Transcripción

1 VECTORES EN EL ESPACIO ACTIVIDADES 1 Dados los puntos del espacio: 7 Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los P(1, 1, ) siguientes puntos: A(1, 0, ), B(,, ) y C(, 1, ) 6 Q(,,) R(, 0, 1) S(,, ) determina las componentes de los vectores PQ, P R,P S,S R, QS y RQ. PQ (,,1), PR (, 1, 1), PS (,, 6), SR (7,, ), QS (, 0, 7) y RQ (,,) Dados los vectores u 1 (, 1, ), u (,, 1), u (,, ) y u (0,, ): a) Calcula el rango de la matriz formada por u 1,u,u y u. b) Son un sistema de generadores de? El rango es. No son un sistema de generadores de. Dados los vectores (1,, ), (, 0, ) y (1, 1, 1), son base de? En caso afirmativo, expresa en la base canónica el vector w (,, 1) dado en esta base. sí son una base. w (1,, ) (, 0, ) (1, 1, 1) (11, 7, 9) Dados los vectores u (, 1, 0) y v (1, 1, ), calcula: a) El módulo de u y v. b) El producto escalar u v. c) El coseno del ángulo que forman. d) La proyección de u sobre v y la proyección de v sobre u. e) El valor de w 1 para que el vector w (w 1,,) sea perpendicular a u. a) u y v 6 d) b)u v c) cos (u,v) 0 ; e) w 1 1 Dados los vectores u ( 1,, 1) y v (0,1,): a) Comprueba que son ortogonales. b) Halla sus módulos. a) Son ortogonales puesto queu v 0. b) u 11 y v 10 Dados los vectores u (u 1,,) y v (, v,),determina u 1 y v para que los vectores u y v sean perpendiculares y, además, v 1. v 1 Si v 1 u 1 9/ Si v 1 u 1 1/ Área / u Sean los vectores u (1, 1, ),v (1, 1, ) y w (,, 1). Calcula: a)u v b)u w c) u (v w) d) (u v) w a)u v (1,, ) b)u w (, 9, 7) c) u (v w) (6,, ) d) (u v) w (1, 9, ) Comprueba con los vectores i (1,0,0),j (0,1,0) y k (0,0,1): i, j, k j, k, i k, i, j i, k, j j, i, k k, j, i Calcula el volumen del cubo determinado por los vectores que componen la base canónica; es decir, i, j y k. V 1 u Calcula el volumen de un paralelepípedo determinado por los siguientes vectores: i,j y k. V u 1 Demuestra las propiedades del producto mixto utilizando su expresión analítica. Ejercicios y problemas Vectores 1 Dado el vector AB (1,, 0), determina las coordenadas del punto: a) B si A(, 8, 1). b) A si B(, 1, ). a) B(, 11, 1) b) A(,, ) 1 Dados los vectores u (1,, ) y v (,, 6), halla el módulo de los vectores u v y v u. uv 1 v u 1, 1, 1 1 El vector u no es unitario. Determina otro vector unitario con la misma dirección que u. u 1,,. Vectores en el espacio 1

2 Divide el segmento de extremos A(,, 6) y B(7,, 10) en cuatro partes iguales. P 1 (, 1, ), P (, 1, ) y P (6,, 6). Un segmento de origen en A(1,, ) y extremo en el punto B está dividido en cinco partes iguales mediante los puntos de división A 1, A, A y A. Si se sabe que A (1, 0, ), qué coordenadas tiene el punto B? B(, 6, 8). Dependencia e independencia lineal de vectores. Bases Determina si los siguientes vectores son o no linealmente independientes: a)a (1, 1, ), b (,, 0) y c (1,, 6) b)a (,, 1), b (6,, ) y c (1,, ) c) a (,, ), b (, 0, 0) y c (,, 8) a) son linealmente dependientes. b) son linealmente independientes. c) son linealmente dependientes. Determina la relación de dependencia entre los vectores de las siguientes familias, en caso de que exista: a)a (1, 0, ), b (, 6, 1) y c (1,, 1) b)a (, 1, ), b (1, 1, 1) y c,, c) a (,, 1), b (,, 7) y c (0,,1) a)a b c b) c b c) Son independientes. Dados los vectores de u (1, 1, a),v (0,1,1) y w (, 1, a): a) Averigua para qué valores de a son linealmente dependientes. b) Indica cuál es su relación de dependencia. a) Si a 1 los vectores son linealmente dependientes. b) w u v Pueden formar base de los vectores u (1,, 1), v (1,, 1) y w (1, 0, 1)? Por qué? No, w u v. Indica el valor que debe tomar a para que los vectores (a, 1, ), (,, 1) y (, 1 a, 0) puedan formar una base de. Si a 6 y a, entonces los tres vectores forman una base de. Dado el espacio vectorial de sobre y el conjunto de vectores S {(1,, 1), (,, ), (,, ), (1, 1, 1)} de,encuentra en S un conjunto máximo de vectores linealmente independientes, T, y expresa los otros vectores como combinación lineal de los elementos de T. T {(1,, 1), (1, 1, 1)} (,, ) (1,, 1) (1, 1, 1) (,, ) (1, 1, 1) (1,, 1) Determina si A(1,, ), B(0, 7, 9), C(1,, ) y D(8,, ) son coplanarios. No son coplanarios. Considera los puntos del espacio A(0, 0, 1), B(1, 1, ) y C(0, 1, 1). Dado el punto D(k, 0, 0), determina qué valor debe tener k para que los cuatro puntos sean coplanarios. k 1 6 Discute la dependencia y la independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores y, en el caso de encontrar dependencia lineal, averigua la relación de dependencia: X 1 {(1,, ), (,, 8)} X {(1,, ), (,, 8), (1,, 8)} X {(1,, ), (,, 8), (1,, 8), (, 1, 0)} X 1 {(1,, ), (,, 8)}, linealmente independiente X {(1,, ), (,, 8), (1,, 8)}, linealmente independiente X {(1,, ), (,, 8), (1,, 8), (, 1, 0)}, linealmente dependiente: 0 19 ( 1,,) (,,8) (1,,8) (, 1, 0) (0,0,0) También se puede expresar como: (, 1, 0) 0 (1,,) 1 9 (,,8) (1,,8) 7 En el espacio vectorial,determina k para que el vector x (k, k, k) sea combinación lineal de los vectores y (1, 1, ) y z (,, 1) k 0 8 En el espacio vectorial, se considera la base: B 1 {u 1, u, u } a) Demuestra que el conjunto B {v 1, v, v }, donde v 1 u 1 u u,v u 1 u u,v u 1 u u, es una base de. b) Calcula las componentes de los vectores x (1,,) B1, y (1, 0, 1) B1 en la base B. c) Calcula las componentes en la base B 1 del vector z (1, 0, 1) B. b) x, y 1 1, z, son los componentes del vector (1,, ) B1 en la base B. x 1, y 1, z 1 son las componentes del vector (1, 0, 1) B1 en la base B. c) x 1, y, z son los componentes del vector (1, 0, 1) B1 en la base B. 9 Consideramos los vectores v 1 (1,, ), v (, 1, ),v (1, k 1, k ) de : a) Encuentra el único valor de k para el que estos vectores no forman base de. b) Para un valor de k diferente del que hemos averiguado en el apartado anterior, determina cuáles son las componentes del vector w v 1 v v en la base {v 1,v,v }. a) k= b) Las componentes del vectorw v 1 v v en la base {v 1,v,v } son (1, 1, 1). 0 Dados estos vectores v 1 (, 0, 1),v (1,1,0) y v (1, 1, ): a) Averigua si son base de. b) En caso afirmativo, expresa el vector w (,, 1) en la base {v 1,v,v }. a) forman base. b) w (1,, 0). Geometría

3 Producto escalar 1 Indica qué se puede afirmar de dos vectores u y v que cumplen: u v u v Son paralelos. Dados los vectores u (, m, ) y v (,, m), determina el valor de m para que sean perpendiculares. m1. Determina el módulo de la proyección del vector u (, 1, 1) sobre el vector v (,, 1). u v 1 Determinar el ángulo que forman los vectores u (, 1, 1) y v (,0,). ( u, v) 7, Dados los vectores u (, 0, 0),v (0, 1, ), w au bv, qué relación deben cumplir a y b para que w sea perpendicular al vector t (1, 1, 1)? w au bv (a, b, b) a b 6 Determina los valores de x e y para que el vector w (, x, y) sea perpendicular a los vectores u (,, 1) y v (0,, 1). No existen x e y 7 En una base ortonormal de se dan los vectores u (,, 0) y v (v 1,1, ). Determina el valor de v 1 sabiendo que forman un ángulo de. v 1 8 Dados los vectores u (, 0, ) y v (1,, 1), averigua qué ángulo forman y el módulo de la proyección de u sobre v Módulo de la proyección de u sobre v: 9 9 Considera los vectores u (1, 1, ), v (v 1,, ) y w (0, w, ) y calcula v 1 y w sabiendo que u es perpendicular a v y v es perpendicular a w. Calcula el ángulo que forman u y w. v 1 10 w 6 (u, w) 1,9 0 Sean u y v dos vectores libres del espacio. Comprueba que u v u v u v. Producto vectorial 1 Calcula un vector unitario perpendicular a los vectores u (,, 1) y v (1,0,1). El vector pedido es 1,, Los vectores u y v cumplen u, v y, además, u v 10. Calcula u v. u v 0. Determina los vectores unitarios perpendiculares a u (1,, ) y v (,, 1). 8 1,, y,, Dados los vectores u (, 1, 1) y v (1,, ), comprueba que los vectores u v y v u son opuestos y determina su módulo. u v i 7 j k v u i 7 j k u v v u Calcula el valor de x para que el producto vectorial de u (0, x, 1) y v (0,, 1) tenga la dirección del eje X. Para todo x, el vector tiene la dirección del eje X. 6 Halla el área del paralelogramo que forman los vectores u (,, 1) y v (, 1, ). 1 u 7 Halla un vector ortogonal a u (,, 1) y v (0,1,1) que tenga la tercera componente igual a 1. (, 1, 1). 8 Halla un vector ortogonal au (1,0,1) yv (0,1,1) de módulo. w,, 9 Los puntos A(0, 1, 0), B(,, ) y C(1, 0, ) son los vértices de un triángulo. Averigua su área utilizando dos métodos distintos. u A 0 Es siempre cierto que (u v) (u v) (u v)? En caso afirmativo, justifica la respuesta. En caso negativo, expón un ejemplo que lo confirme. Es cierto. Producto mixto 1 Considera los vectores u (1, 0, 1), v (,, 1) y w (, 1, 1) y calcula [ u, v, w]. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los siguientes vectores: u (1,, ), v (0, 0, 1), w (,, 0). 9 Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los siguientes vectores: u (,, ), v (1,, ), w u v. u Dados los puntos del espacio A(0, 0, 0), B(0, 0, ), C(0,, 0) y D(, 0, 0), calcula el volumen del tetraedro ABCD. u Problemas de aplicación Determina si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones. Si no son ciertas, inventa un ejemplo que lo confirme: a) El producto mixto de tres vectores cualesquiera no nulos siempre es distinto de cero. b) Si u, v y w son tres vectores libres del espacio, no nulos, que satisfacen u v u w, entonces se verifica que v w. a) Falso (vectores coplanarios) b) No es cierto. Por ejemplo, u (1, 1, 1), v (0, 0, ) y w (, 1, 1). Vectores en el espacio

4 6 Dados los vectores u, vy w tales que u, v 1 y w, y u v w 0, calcula la siguiente suma: 1 Geometría u v v w u w 7 ABCD es un tetraedro regular cuya arista mide 1. Sea u AB,v AC y w AD.Calcula: a)u v b)u (v w) c) v w d) El ángulo que forman u y (v w) a) u v 1/ b) u ( v w ) 1 c) v w d),7 8 Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(0, 1, ) y B(1, 0, 1). El centro del paralelogramo es M(1,, 0). Halla los otros vértices. C (,, ) D (,, 1) 9 Los puntos medios de los lados de un triángulo son (, 0, 1), (,, 1) y (, 0, ). Averigua los vértices de dicho triángulo. (1,, 7), (7,, ) y (,, ) 60 Determina si los puntos A(,, ), B(,, 7) y C(0, 1, 6) están alineados. a) 0,9 u b) 18 u Los puntos están alineados. 61 c) 1 18 u Considera los puntos A(1, 1, 1), B(,, ) y C(, 0, 1) y determina y para que estén alineados. d) 09 u ; La respuesta correcta es la c). 7 Los puntos A(1, 0, ), B(7, 8, 9), C(1,, 0) y D(,6,6): 6 A partir de los puntos A(0, a 1, a ), a) Están alineados. B(1,, ) y C(,, ): b) Son coplanarios. a) Comprueba que el triángulo de vértices A, B, C es rectángulo en B para cualquier valor de a. c) El área del paralelepípedo que determinan los vectores AB, AC y AD es cero. b) Calcula los valores de a para los que el triángulo es isósceles. d) Están alineados dos a dos. a y a La respuesta correcta es la b). 7 Un vector de, de módulo, perpendicular a 6 Sabiendo que los puntos A(, 1, 1), B(,, 1) y C(, c 1, c ) son tres vértices de un cuadrado, halla c 1 y c. c 1 10 u (0, 1, ) y que forma con v (0,,) es: a) (0,, 0) b) (0, /, /) 6 Sabiendo que los siguientes puntos del espacio A(k,, ), B(0, k, ) y C(, 6, k 1) son los tres vértices del rombo ABCD: 6 a) Calcula el valor de k. b) Demuestra que el rombo es un cuadrado. a) k Los puntos A(, 1, 1), B(,, 1) y C(1,, ) son los vértices de un paralelogramo. Calcula el cuarto vértice, D, el perímetro del paralelogramo y su área. D (0, 1, ) perímetro 1017 Área 161 u 66 Determina el valor de para que los puntos A(1, 1, ), B(, 1, ), C( 0, 1, 0) y D(1, 1, ) puedan ser coplanarios. /1. 67 Dados u (1, 1, ) y v (, 1, 1), halla el conjunto de vectores que, siendo perpendiculares a u, sean coplanarios con u y v. (,, ), con Halla el ángulo que forman u y v, sabiendo que u, v 6 y u v Los vértices del lado desigual de un triángulo isósceles son A(, 7, ) y B(0,, ). Sabiendo que el tercer vértice se encuentra en el eje Y, determina su área. 10 A u Actividades tipo test Escoge y razona la respuesta correcta en cada caso: Los valores de a y b para que w (6, a, b) sea perpendicular a u (, 0, 1) y v (1,, 1) son: a) No existe el vector w perpendicular a u y a v. b) a y b c) a y b 1 d) a 1 y b 6 La respuesta correcta es la b). Los puntos A(,1,0),B(1,, ) y C(,, 1) son los vértices de un triángulo cuya área es: c) (8/, 8/, /) d) /6, 8/6, /6 La respuesta correcta es la c). a) u v b) u v c) 0 El producto mixto de u, v y u v es: d) No se puede hallar, ya que son linealmente dependientes. La respuesta correcta es la c). 7 Un vector cuyo módulo es 6 y es ortogonal a u (0, 1, ) y v (, 1, 1) tiene por coordenadas: a) (, 1, 1) b) (1,, 1) c) (1,, 1) d) (1,, 1) La respuesta correcta es la c).

5 Evaluación 1. Dados los vectores u (1, 0, ), v (,, ) y w (,1, ), realiza las operaciones u v y v w. Son linealmente independientes los tres vectores? Escribe un vector linealmente dependiente de los vectores u y v y otro linealmente dependiente de u y w. u v (11, 1, 7) v w (,, 6) Los tres vectores son linealmente independientes. Un vector linealmente dependiente de u y v es (,, ). Un vector linealmente dependiente de u y wes (1, 1, 1).. Indica si los vectores e 1 (1, 0, 0), e (0, 0,1) y e (1, 1, 1) son una base del espacio. Los tres vectores forman una base.. Dados los espacios libres del espacio u (,, 1) y v (, 1, v ), determina v para que sean perpendiculares. v. Dados los vectores libres del espacio u (0,, ) y v (, 1, ), calcula las componentes de un vector perpendicular a u y v, y de módulo w, 1 7, 1. Calcula el área del paralelogramo determinado por dos vectores libres que tienen como representantes los vectores fijos: AB, siendo A(,, 0) y B(1,1,1),y OD, siendo O el origen de coordenadas y D el punto medio del vector AB. Área AB OD u 6. Calcula el producto mixto de los vectores del espacio u (1, 1, 1), v (,, 0) y w (1, 1, ) Determina el valor de k para que los vectores u (,, 1), v (k, k 1, 0) y w (k, k, 1) sean coplanarios. Sol k 0 o k Si tres vectores del espacio, e 1, e y e, son tales que e 1, e, e 0, pueden formar una base? No. 7. Representa con medios tecnológicos los puntos A(, 0, 0), B(1,, 0), C(1, 0, ) y el origen de coordenadas y calcula el volumen del cuerpo geométrico que generan. u. Vectores en el espacio