Ejercicio 1. Algebra de vectores. 1. Representar los puntos en el mismo sistema de coordenadas tridimensional: a) (2,1,3) b) (5, 2, 2) c) ( 3, 4, 2)

Transcripción

1 Indicaciones: 1. Formar equipos de 4 personas. Realizar portada impresa. Escribir los siguientes datos: Nombres de los integrantes, hora de la clase, Fecha de entrega 3. Llevar el orden de la numeración de los problemas. Problema no resuelto se deja el enunciado y el espacio para su procedimiento. 4. Entregar en fecha establecida 5. Letra legible 6. Graficas legibles (ejes con escala) 7. PROCEDIMIENTO ANALITICO (RESPALDAR LOS RESULTADOS) 8. No hay entrega de trabajo en partes 9. Grapar Ejercicio 1. Algebra de vectores 1. Representar los puntos en el mismo sistema de coordenadas tridimensional: a) (,1,3) b) (5,, ) c) ( 3, 4, ). Hallar las coordenadas del punto que se localiza tres unidades detrás del plano yz, cuatro unidades a la derecha del plano xz y cinco unidades arriba del plano xy. 3. Describa geométricamente todos los puntos P(x, y, z) cuyas coordenadas satisfagan la condición dada: a) z = 5 b) x =, y = 3 4. Proporcione las coordenadas de los vértices del paralelepípedo rectangular cuyos lados son los planos de coordenadas y los planos x =, y = 5, z = 8. (graficar) 5. Se muestran dos vértices de un paralelepípedo rectangular que tiene lados paralelos a los planos coordenados. Determine las coordenadas de los restantes seis vértices. 6. Considere el punto P(,5,4). a) Si las líneas se dibujan desde P perpendicular a los planos coordenados, Cuáles son las coordenadas del punto en la base de cada perpendicular? b) Si se dibuja una línea desde P al plano =, Cuáles son las coordenadas del punto en la base de la perpendicular? c) Determine el punto en el plano x = 3 que es más cercano a P 7. Hallar la distancia entre los puntos: (1,,4) y (6,, ) En los ejercicios 5 y 6, hallar las longitudes de los lados del triángulo con los vértices que se indican y determinar si el triángulo es un triángulo rectángulo, un triángulo isósceles o ninguna de ambas cosas. (DEMOSTRACION ANALITICA) 8. (0,0,4), (,6,7), (6,4, 8) 9. ( 1,0, ), ( 1,5,), ( 3, 1,1) 10. Resuelva para la incógnita: P 1 = (x,, 3) P = (, 1, 1) d P1 P = a) Dibujar el vector v con punto inicial en (4,, 1) y punto final en (, 4, 3) b) encontrar las componentes del vector v c) escribir el vector como combinación lineal d) dibujar el vector posición e) determine la magnitud del vector v 1. Se da el vector v = 3, 5, 6 y su punto inicial en (0, 6, ). Encontrar el punto final En los ejercicios del 10 al 13 encontrar el vector z, dado que u = 1,, 3 v =,, 1 y w = 4, 0, 4.Graficar. 13. z = u v 14. z = u + 4v w 15. z 3u = w

2 16. Determine cuáles de los vectores siguientes son paralelos al vector z = 3i + j 5k. a) u = 6i 4j + 10k b) v =, 4 3, 10 3 c) w = 6i + 4j + 10k 17. Si z tiene punto inicial en (1, 1, 3) y punto final en (, 3, 5) determine si z es paralelo al vector a = 4j + k Utilice la fórmula de la distancia para determinar si los puntos son colineales. Graficar. 18. A(0,, 5) B(3, 4, 4) C(,, 1) 19. A(1,, 4) B(, 5, 0) C(0, 1, 5) 0. Usar vectores para demostrar que los puntos (, 9, 1), (3, 11, 4), (0, 10, ), (1, 1, 5) son vértices de un paralelogramo. Graficar. 1. El vector v = i j + k, hallar: a) un vector unitario u en la dirección de v y b) en dirección opuesta de u. Graficar. El vector v = 3,, 5, hallar: a) un vector unitario u en la dirección de v y b) en dirección opuesta de u. Graficar 3. Se dan las componentes de los vectores u = i + 3j + 4k y v = 5i + 9 j 6k. Determine a) u b) v c) u + v d) u + v 4. Sea u = i + j + 3k y v = i + j k. Determine los valores de c que satisfacen la ecuación cv = 7 5. Encontrar el vector v que tiene magnitud de 10 y en dirección de u = 0, 3, 3 6. Dibujar el vector v que está en el plano yz, tiene magnitud y forma un ángulo de 30 con el eje y positivo. 7. Si a = 1, 3, b = 1, 1, 1 c =, 6, 9 encuentre el vector o escalar indicado. a) b + (a 3c) b) a a b Producto punto o producto escalar En los ejercicios del 1 al 4 hallar: a) u v b) u u c) u d) (u v )v e) u (v ) 1. u = 3, 4 v = 1, 5. u = 6, 4 v = 3, 3. u = i 3j + 4k v = 0, 6, 5 4. u = i j + k v = i k 5. Calcular el ángulo entre los vectores u = 1, 1 v =, 6. Calcular el ángulo entre los vectores u = i + j + k v = i + j k 7. Calcular el ángulo entre los vectores u = 3i + 4j v = j + 3k 8. Calcular u v si u = 8, v = 5, y el ángulo entre u y v π/3. Determinar si u y v son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas 9. u = 4, 3 v = 1, u = j + 6k v = i j k 11. u =, 3, 1 v = 1, 1, 1 1. Se dan los vértices de un triangulo (1,,0) (0, 0, 0) (, 1, 0) determine si es un triángulo agudo o un triángulo obtuso o un triángulo recto. (DEMOSTRACION ANALITICA) 13. Se dan los vértices de un triangulo (, 0, 1) (0, 1, ) ( 1, 3, 0) determine si es un triángulo agudo o un triángulo obtuso o un triángulo recto. (DEMOSTRACION ANALITICA) 14. a) Encontrar los cosenos directores y b) los ángulos de u = 3i + j k, c) demostrar que la suma del cuadrado de los cosenos directores es a) Encontrar los cosenos directores y b) los ángulos de u = 1, 5,, c) demostrar que la suma del cuadrado de los cosenos directores es 1

3 16. Encuentre el ángulo entre la diagonal AD del cubo que se muestra en la figura y el borde AB. Determine el ángulo entre la diagonal AD y la diagonal AC 17. Si a = i j + 3k b = i + 6j + 3k. Determine comp a (b a) 18. Si u = i + 3j y v = 5i + j a) Encontrar la proyección de u sobre v b) encontrar la componente del vector u ortogonal a v 19. Si u = 0, 3, 3 y v = 1, 1, 1 a) Encontrar la proyección de u sobre v b) encontrar la componente del vector u ortogonal a v 0. Si u = i + j + k y v = 3j + 4k a) Encontrar la proyección de u sobre v b) encontrar la componente del vector u ortogonal a v 1. Si a = 4i + 3j y b = i + j a) Encontrar la proy (a+b) a Producto cruz 1. Calcular a) u v b) v u y c) v v si u = 7i + 3j + k v = i j + 5k. Calcular u v y probar que es ortogonal tanto a u como v a) u = 1, 3, 0 v =, 5, 0 b) u = i + j + k v = i + j k 3. Calcular el área del paralelogramo que tiene los vectores u = 3,, 1 v = 1,, 3 como lados adyacentes. Graficar. 4. Verificar A(0, 3, ) B(1, 5, 5) C(6, 9, 5) D(5, 7, ) que los puntos son los vértices de un paralelogramo, y calcular su área. 5. Calcular el área de triangulo con los vértices A(0, 0, 0) B(1, 0, 3) C( 3,, 0). Graficar 6. Calcular el área de triangulo con los vértices A(, 7, 3) B( 1, 5, 8) C(4, 6, 1). Graficar 7. Calcular u ( v w ) si u =, 0, 1 v = 0, 3, 0 w = 0, 0, 1 8. Encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes u = i + j v = j + k w = i + k 9. Encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene vértices A(0, 0, 0) B(3, 0, 0) C(0, 5, 1) D(, 0, 5) E(3, 5, 1) F(5, 0, 5) G(, 5, 6) H(5, 5, 6) 10. Encuentre P 1 P 1 3 si P 1 = (, 1, 3) P = (0, 3, 1) P 3 = ( 1,, 4) 11. Determine si los vectores indicados son coplanares a = 4i + 6j b = i + 6j 6k c = 5 i + 3j + 1 k 1. Determine si los puntos indicados yacen en el mismo plano P 1 = (1, 1, ) P = (4, 0, 3) P 3 = (1, 5, 10) P 4 = ( 7,, 4)

4 Respuestas: Ejercicio 1. Algebra de vectores 1. S. ( 3, 4, 5) 3. a) el conjunto {(x, y, z) x, y numeros reales} es un plano perpendicular al eje z, 5 unidades arriba del plano xy b) el conjunto {(, 3, z) z un numero real} es la recta perpendicular al plano xy en (, 3, 0) 4. (,0,0), (,5,0), (,0,8), (,5,8), (0,5,0), (0,5,8), (0,0,8), (0,0,0) 5. ( 1,3,7), (3,6,7), (3,3,4), ( 1,6,4), ( 1, 6, 7), (3,3,7), (3,6,4), ( 1, 3, 4) 6. a) (, 5, 0), (, 0,4), (0,5,4) b) (, 5, ) c) (3, 5, 4) , 14, 45; triangulo retángulo 9. 41, 41, 14; triangulo isósceles o a),, b) i + j + k c) 1. (3, 1, 8) 13. 1, 0, , 1, , 3, u y v 17. No es paralelo 18. Colineal 19. No colineal 0. AB = 1,, 3 CD = 1,, 3 BD =, 1, 1 AC =, 1, 1 Porque AB = CD y BD = AC, los puntos dados forman los vértices de un paralelogramo 1. a) 1, 1, b) 1, 1, a) 3,, 5 b) 3,, u + v = 4, 15, ; u + v 8.73; u v ± , 10, , 3, ±1 7. a) 11, 41, 49 b) 6

5 Respuestas. Ejercicio. Producto punto 1. a) 17 b) 5 c) 5 d) 17, 85 e) 34. a) 6 b) 5 c) 5 d) 78, 5 e) 5 3. a) b) 9 c) 9 d) 0, 1, 10 e) 4 4. a) 1 b) 6 c) 6 d) i k e) 5. π 6. arccos ( 3 ) arccos ( Ortogonal 10. Ni uno ni otro 11. Ortogonal 1. Triángulo rectángulo 13. Triángulo agudo 14. cos = cos = ; 35.6 cos β = 5 cos β = 17. 6/ a) 5, 1 b) 1, a),, b), 1, 1 0. a) 0, 33 8 b),, , Respuestas: Ejercicio 3. Producto Cruz 1. a) 17i 33j 10k b) 17i + 33j + 10k c) 0. a) 0, 0,54 b), 3, i + 14j + 4k 11. Los vectores son coplanares 1. Los puntos son coplanares cos γ = ; α 43.3 β 61.0 γ cos γ = ; α β 4.1 γ 68.6