Vectores. 2. Se puede ver que un vector es paralelo a otro si el producto cruz entre estos corresponde al vector cero, es decir

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1 Respuestas Guía de ejercicios N 4 parte Complemento Vectores. Un vector ortogonal a vectores, simultáneamente, corresponde al producto cruz, luego a = α 0 0 = α(î + ĵ + ˆk) y a = α + + = α α = Por lo tanto a = ±(,, ).. Se puede ver que un vector es paralelo a otro si el producto cruz entre estos corresponde al vector cero, es decir m n = î(4 m) ĵ( mn) + ˆk( + n) (0, 0, 0) Luego lo cual cumple con la segunda ecuación 4 m = 0 m = 4 + mn = 0 + n = 0 n =. Sabemos que a b = sin θ a b y a b = cos θ a b (donde θ corresponde al ángulo entre los vectores). Luego a b + ( a b) = a }{{}}{{} b 0 =0 =0 Lo que implica que a = 0 b = 0 Por lo tanto la proposición es verdadera. 4. Sea a = (a, a, a ) y b = (b, b, b ). Luego, (a + b ) + (a + b ) + (a + b ) = (a b ) + (a b ) + (a b ) = 7 } (+) ( a + b ) + ( a b) ( a b) = 70 Por lo tanto b = 70 a = 7 5. El largo de las diagonales de un paralelogramo corresponde a la norma de la suma y resta de sus lados, en este caso, d = a + b = ( a + b) ( a + b) = a + b + ( a b) = cos(π/4) = 9 d = 4 a + b = a + 9 b + 4( a b) = 89 = 7. Sea v = (v, v, v ). (a) v c = v 5v + v = 94

2 (b) v b = v + v + v = 0 v a = v v = 0 Como tenemos ecuaciones linealmente independientes y incógnitas, existe una única solución. v = 47 5 (c) proy a c 7. Como = ( b c ) c c = 5 c a + a = ( a + a ) ( a + a ) = a + a + ( a a ) = [ + ( a a )] = Utilizando las propiedades del producto punto, se obtiene que = ( a a ) = ( a 5 a ) ( a + a ) = ( a a ) + ( a a ) 5( a a ) 5( a a ) = a ( a a ) 5 a }{{}}{{} = = = ( a a ) = 8. = 4î + ĵ + ˆk Encontramos el vector unitario p = 4î+ĵ+ˆk ( 4î + ĵ + ˆk) = ( î + ĵ + ˆk). Para calcular el ángulo que forma el vector resultante con el vector c, calculamos el producto punto (,, ) (0,, 0) = = cos θ p c = Como el valor del cos θ 0 entonces forma un ángulo agudo con el vector c, luego debemos tomar el vector en la dirección opuesta, es decir p = (,, ) 9. (a) c = Luego a b = Despejando λ obtenemos 0 λ = λî ĵ + λˆk = a b = λ + cos( ( a b, c )) = ( c a b) c a b = 4λ + λ + = λ = ( ± ) 70 (b) proy c a = a c c c = 0 (c) a a = (, 0, ) a c = (, 4, ) ( a c) a = 0

3 0. (a) a = + ( ) + = 7 b = ( ) + ( 5) + 8 = 7 ( a b) = = 49. Luego cos( ( a, b )) = arc cos( ) = ± π 4. proy b a = ( a b) b = b ( î 5ĵ + 8ˆk) (b) Se deben cumplir las siguientes igualdades (c) (α β) = α 5β = 4 (α + 4β) = ( ) ( ) α Resolviendo para las primeras ecuaciones obtenemos la solución = β y reemplazando en la última ecuación comprobamos que el sistema es inconsistente y no existen constantes α y β = 7î + ĵ + 7ˆk 7î + ĵ + 7ˆk = 9. La fuerza total es F = F + F = 4î + 5ˆk y la fuerza en la dirección ˆv corresponde a la proyección de ˆF sobre ˆv, es decir, F v = 8 v v = 8 9 v. El enunciado nos dice que los tres vectores son paralelos. Caso ) a, b, c distintos Sin perdida de generalidad podemos asumir que a 0 pues en tal caso los podemos reordenar para que esto se cumpla. Entonces podemos escribir b = t a, c = t a donde t t, de esta forma lo que se nos pide demostrar es equivalente a demostrar que existen α, β, γ no nulos tales que: α a + β b + γ c = ( + t + t ) a = 0 α + β + γ = 0 Si pérdida de generalidad podemos asumir que α =, de esta forma obtenemos que las ecuaciones anteriores equivalen a probar que el sistema: βt + γt = β + γ = Tenga solución y que además β, γ no sean cero. La existencia de una solución para el sistema se tiene pues t t, por otra parte si β fuere cero se tendría que γt = y γ = lo cual no puede ser, de la misma forma se prueba que γ 0

4 Caso ) Al menos dos vectores iguales Sin pérdida de generalidad podemos asumir que a = b Obs: Si a = b = 0 el problema no tiene solución, por lo cual asumiremos que a 0 al igual que antes podemos escribir b = a, c = t a, así nuestro problema se puede reescribir como: α a + β b + γ c = (α + β + t ) a = 0 α + β + γ = 0 Notemos que podemos considerar α + β = λ como una nueva variable ya que siempre actúan juntas, de esta forma nuestro problema se reduce a λ + γt = 0 λ + γ = 0 Si t, entonces el sistema tiene solución única λ = γ = 0, es decir el problema no tiene solución en tal caso. Si t = (los tres vectores son iguales) podemos tomar α = β =, γ = y se tiene el resultado. En el caso que una de las variables α, β o γ tome el valor cero, sin perdida de generalidad supongamos α = 0 se tiene, que el problema equivale a probar que β b + γ c = 0 β + γ = 0 β = γ Entonces β( b c) = 0, lo cual solo se satisface si β = 0 o b = c. Si los vectores son ortogonales, su producto interno es cero, es decir ( a + b) ( a b) = ( a a) ( b b) = a b = 0 4. Basta resolver el sistema (7, 5) = α(, ) + β(, ), obteniendose (7, 5) = 5(, ) + 8(, ) 5. Sabemos que a = ( a a), luego Por lo tanto u ± v = (u ± v) (u ± v) = (u u) ± (u v) ± (v u) + (v v) = (u u) ± (u v) + (v v) = u + v ± (u v) u + v u v = u + v + (u v) [ u + v (u v)] = 4(u v). Si pérdida de generalidad podemos asumir que el vector d = (a, b, c) tiene norma, entonces imponiendo la condición de los ángulos con lo ejes: = cos (d, e ) = (d,e) d e = a de manera similar b = y c =, lo cual contradice que d tenga norma, con lo cual se obtiene que no existe ningún vector que satisfaga la condición. 4

5 Sea θ el ángulo entre los vectores a b = sin θ a b = cos θ a b = sin θ cos θ = dado que los vectores son no nulos Por lo tanto la respuesta es θ = π, 4π 7. El volumen del paralelogramo corresponde a 4 Abs = Abs λ 0 λ λ 0 = 4Abs(λ) = 8. Entonces λ = ± 4 satisface la condición Por lo tanto, el vector u = ± a a u ( a + b) = ( a b) u u a + u b = u ( b a) = u b u a = u a = 0 = u// a 9. Sea u = (u, u ) u a = u + u = u b = u + u = } = u = ( 7 ) 0. Es directo observando que la suma de las proyecciones de ambos lados sobre el segmento AB es igual a la longitud del mismo. a b = a + b ( a b) = ( a b) = ( cos θ) = ( ) sin θ. Usando el teorema de Thales notamos que la figura que se forma uniendo los puntos medios de los lados es un paralelogramo. (a) Por teorema de Thales BM : BA = : = MN : AC (b) La misma relación de (a) que vale para MN es valida para QP (c) Esto es directo ya que MNP Q es una paralelogramo 5

6 . (a) proy c b = ( b c) c = 4 c 5 (i + j + 4k) = 4 (i + j + 4k) = 4(i + j + k) (b) a proy c ( ) ( ) ( ) b = = a b = = 7(,, ) Entonces el vector unitario ortogonal a a y b es ± (,, ) (c) Sea α el ángulo entre a y b + c, entonces cos α = a (b + c) a b + c = 7 = = α ±7, Luego a + b + c = 0 / a b a + c a = 0 a + b + c = 0 / b a b + c b = 0 a + b + c = 0 / c a c + b c = 0 a b = b c y b c = a c 5. La relación a + b + c = 0 se puede interpretar notando que al recorrer (sumar) los vectores, vuelven al punto de partida (en otras palabras, el origen) luego estos forman un triángulo, por lo tanto a b = b c = a c corresponde al área del triángulo formado por el trío de vectores.. Mirar ejercicio 4. proy a p = 4 β a = β = 7. Sea α el ángulo entre a c y b, entonces (a c) b = cos α = a c b = a c b Despejando se obtiene que λ = λ = ( + λ) 0 + λ

7 8. b c = 5 7 a ( b c) = = î j 7ˆk 7 7 = î + 08ĵ 4ˆk = 08 c 9. Si dos vectores son perpendiculares su producto punto es cero, entonces (α u + v) w = α( u w) + ( v w) = α 5 = 0 = α = 5 0. De la figura es fácil ver que el tamaño de la arista es, luego su volumen será V ol = = 8. (a) proy b c = ( b c) c c = 5 ( 5, 4, ) De esta forma obtenemos que: a + proy b c = (,, ) ( 5, 4, ) = 0 (b) Como el producto cruz de los vectores ya satisface la condición de ser perpendicular a ambos solo nos basta tomar un múltiplo de él para tener el resultado a b = Así el vector buscado será x = α(5,, ) donde α satisface. c = (a b) b b = 0 5 (4, 0, ) Área= a c = 5 (, 5, ) = 5 = (5,, ) α(5,, ) = α 50 = α =. De la misma forma que en el ejercicio obtenemos x = ± 0 (,, ) 4. AM = EA AC = (0, 5) =

8 5. vectores son coplanares si podemos escribir uno como combinación lineal de los restantes, en otras palabras que el determinante de la matriz construida por estos vectores sea cero. 0 m 0 = m Lo cual no tiene solución real.. Si u = (u, u ) y v = (v, v ) las tres condiciones se traducen en (u, u ) = α a = α(, ) α R v + v = 0 (α + v, α + v ) = (, ) esta igualdad se obtiene reemplazando inmediatamente la primera condición Por lo tanto u = 8 (, ) v = (, ) 7. El enunciado está incorrecto, debiese ser: a b = a }{{} a b + b = a + b =0 8. Para que sean ortogonales Para que tenga norma d a = xa a + yb a = x y = 0 d = x a +xya b+y b = x xy+4y = x x +4x = x = x = ±, y = ± d = ±( a + b) 9. Haciendo producto punto por a, b, c en la igualdad y dejando en el lado derecho las normas, se obtiene el siguiente sistema matricial 0 0 a b b c = a b 0 a c c = a b b c = 0 0 = a c 0 Luego a b+b c+a c = T a b b c a c = a b c T a b c a b c = ( a + b + c ) 40. Por las condiciones se cumple que ( a b) = cos(0 ) a b = a ( a + x b) ( a b) = a ( a b) + x( a b) x b Por lo tanto x = (la pregunta no tiene sentido si a ). = a + (x )( a b) x a = a (x ) a x a = a ( x) 8

9 4. Sean E, F los puntos medios del lados correspondientes. Dibujando algunas líneas auxiliares notamos que los triángulos EGB y EF C son congruentes, por lo tanto los segmentos EG y EF son iguales, de la misma forma obtenemos que los segmentos EF y F H son iguales, de esta forma obtenemos que el segmento HG está dividido en segmento iguales. Notemos también que por el teorema de Thales los segmentos BD y HG son paralelos. Finalmente por semejanza de triángulos se obtiene que el segmento BD está dividido en tres partes iguales, lo cual es equivalente al resultado pedido. 4. c x = b c a a c b = b c a cos (a, c) a c b cos (a, c) = 0 9