Guía de Matrices 2i, para i = j

Transcripción

1 Wilson Herrera Guía de Matrices { i, para i = j. Escribir la matriz [a ij ] x si a ij = j, para i j. 0, para i < j. Escribir la matriz [a ij ] x si a ij =, para i = j, para i > j.. Escribir la matriz [i j] x. Señalar los elementos de la diagonal principal.. Escribir la matriz diagonal [a ij ] x si a nn = nλ. 5. Una matriz diagonal se dice escalar, cuando los elementos de la diagonal son todos iguales. Escribir una matriz escalar de orden si a ij =. { i+j, para i j 6. Escribir la matriz [a ij ] x si a ij = 0, para i < j. Decir que tipo de matriz es. 7. Una matriz cuadrada se dice de banda, cuando los únicos elementos distintos de cero están ubicados a lo largo de una banda que sigue la diagonal principal y que generalmente la tiene como centro. escribir, de manera general, la matriz de banda de orden con dos líneas paralelas a la diagonal y dispuestas a ambos lados de ésta. 8. Hallar la condición que deben satisfacer X y Y para que se cumpla la igualdad x xy xy y =.

2 Wilson Herrera 9. Dadas las matrices 0 5 y B = Hallar: a A+B b A B c La matriz X si A+B 5X = , 0. Resolver la ecuación X = Resolver la ecuación 5 + x x x = Dadas las matrices y B = 0 5, resolver los sistemas { X +Y = A a X +Y = A B X Y +A = Y +B b X +Y = X A.. Los cuadrados de la figura han sido construidos uniendo los puntos medios de los lados del precedente. Este procedimiento puede continuarse indefinidamente, escribir las sumas de las áreas de los cinco primeros de manera explcita y abreviada.

3 Wilson Herrera a. Deducir que n k = n. k= Sugerencia. k = k k 5. Deducir que 6. Probar que si n k= k = nn+. n a k b k = k= 7. Dadas las matrices n a k b k +c, c 0, entonces k= 0 probar que AB = 0 y B 8. Dadas las matrices, B = 5 y B = n a k = 0 k= y C =, mostrar que AB = AC. Este resultado nos dice que AB = AC no implica necesariamente que B = C. 9. Dadas las matrices y B = 5. Calcular AB y BA.

4 Wilson Herrera 0. Dadas las matrices calcular [A+B t A t B] t. y B = 5 0. Probar que ABC t = C t B t A t.. Calcular A si. 5. Dada, hallar una matriz X de orden tal que AX = I.. Hallar los desarrollos de a A+B b A B c A+B. 5. Qué condición deben cumplir A y B para que se cumplan las igualdades A+B = A +AB +B y A+BA B = A B? 6. Hallar todas las matrices que conmutan con la matriz 0 7. Entre las tres matrices siguientes hay una simétrica y una antisimétrica, identificarlas , B = , C = Probar que toda matriz cuadrada A puede ser escrita como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. 9. Probar que si A y B son conmutativas, entonces A y B también lo son..

5 Wilson Herrera 5 0. Para A y B matrices invertibles, resolver la ecuación ABX = B. Resolver el sistema x y +z = x+y +z = 9 5x+5y z = 8. Resolver el sistema x y +z = x+y +z = 5x+y +z =. Resolver el sistema x y +z = 5 x+y z = x y +6z =. Resolver el sistema x+y z = x y +z = 5x y z = 6 x+6y +8z = 5. Resolver el sistema 6. Resolver el sistema { x y +6z = 5 x y +5z = { +y +z = 0 5x y +z = 0 7. Dado el sistema x+y +mz = x+y mz = x+y +mz = decir para cuales valores de m es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado. 8. Discutir el sistema respecto a a x+y z = x+y +az = 5 x+y az =

6 Wilson Herrera 6 9. Estudiar el sistema { x+ay = a ax+y = a En los ejercicios 0 al 5 decir si las matrices dadas son linealmente dependientes o linealmente independientes. 0. 5, B = 5 9., B =.,, C = , B = 0, B = 5, C = , B =, C = 0 6. Probar que si las matrices A,A,,A n, son linealmente independientes, entonces k de ellas también lo serán. 7. Las matrices 0, B =, C = 5 0 son linealmente independientes. Decir por qué las matrices A, B y A B + C son linealmente independientes y verificarlo.

7 Wilson Herrera 7 8. Probar que las matrices A =, A =, A = constituyen una base de V y expresar la matriz 0, como combinación lineal de ellas. 9. Sin resolver el sistema x y +z = x+y z = 0 5x y +z = 50. Sin resolver el sistema x+y +z = x+y z = x+y +8z =, probar que tiene solución única., probar que no tiene solución única. 5. Hallar la característica de las matrices a b c d Sin resolver el sistema x+5y z +t = x y +5z 8t = x+y z +t =, probar que tiene solución. 5. Sin resolver el sistema x+y +z = x y +5z = x+y +5z = y +z = 5,decir si tiene o no solución. 5. Sin resolver el sistema x+y +z = 0 x+5y z = 0 x+y +6z = 0, decir si tiene solución no trivial. 55. Dadas las matrices

8 Wilson Herrera 8 a b 5 c d decir cuales son invertibles y hallar la inversa. Escribir los sistemas de los ejercicios 56 al 58, en las formas. X A +X A + +X n A n y AX = B. { u+v +5w = 56. u v+w = 58. x y 5z = x+y 6z = x+5y +z = x+y z = x y +z = 0 6x 5y z = y +z = En los ejercicios 59 al 6 calcular los determinantes x +x y +y z 6+z +x +x +x a a b+c b a+c b a+b c c Los ejercicios 6 al 65, se refieren al determinante x x x n V = x x x n x n x n xn n

9 Wilson Herrera 9 Llamado de Vandermonde. 6. Probar que si dos elementos de la n-upla x,x,,x n son iguales, el determinante es nulo. 6. Probar quesi unelemento delan-upla x,x,,x n esnulo, el determinante es igual a un determinante de Vandermonde de orden n multiplicado por un factor. 6. Calcular 65. Calcular V = V = x x x x x x a a a a a 9a 66. Sin calcular los determinantes, probar la igualdad a a a a a a = a a a a a a 67. Probar que 0 x 0 x = x x x Sin calcular el determinante, probar que es múltiplo de Probar que a ab b b a ab ab b a, es un cuadrado perfecto.

10 Wilson Herrera Determinar la relación entre a y b para que la matriz a a a+b a a+b b, sea invertible. a+b b b 7. Mostrar que la matriz +x +x +x, es invertible si x. 7. Escribir la matriz inversa de la matriz diagonal a a 0, a ii 0 para i n. 0 0 a nn 7. Una matriz cuadrada A se dice ortogonal si A t AA t = I o equivalentemente si A t = A. Probar que el determinante de una matriz ortogonal es ó Determinar las matrices ortogonales de segundo orden. 75. Probar que la matriz, es ortogonal. 76. Probar que A t = A t. Usando la regla de Cramer, resolver los sistemas propuestos en los ejercicios 77 al x+5y 6z = x y +z = 5 x+y +z =

11 Wilson Herrera 78. A+B +C = A+B C = 0 5A+5B C = 79. α+β = 6 α β +γ = 5 β γ = 8