Un vector es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos:

Transcripción

1 El conjunto R 3 : Conjunto formado por todas las ternas de números reales. Un vector es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos: - Módulo: Es la longitud del vector. - Dirección: es la recta que contiene al vector. - Sentido: Es la forma de recorrer el vector. - Punto de aplicación: Es el punto de origen del vector. Un vector fijo es aquél vector que tiene origen en un punto y extremo en otro punto y que posee los mismos elementos de antes. Un vector equipolente a otro es aquél que tiene mismo módulo, dirección y sentido. Un vector libre es un conjunto formado por infinitos vectores fijos equipolentes entre sí, por lo tanto hay un vector de este conjunto para cada punto. Para representarlo podemos coger cualquiera de sus vectores. Las componentes de un vector son las proyecciones del mismo sobre los ejes x, y, z. Para proyectar un vector sobre un eje, recta o vector, hay que trazar una perpendicular a ese vector/recta/eje que pase por el extremo del vector que queremos proyectar y el extremo del vector proyectado sería el punto de corte entre la perpendicular y el vector recta o eje. El módulo de un vector se puede calcular mediante la siguiente fórmula: Suma de vectores: Para sumar dos vectores libres simplemente hay que hacer coincidir el extremo del primero con el origen del segundo y el vector resultante será el que va desde el origen del primero hasta el extremo del 2º. También simplemente podemos sumar sus componentes y ya está. Para la restar un vector a otro simplemente habría que sumarle su opuesto (todas las componentes cambiadas de signo). Ejemplo: Producto de un vector por un número real. El resultado de multiplicar un número real (k) por un vector ( ) sería otro vector de la misma dirección que el primero con el mismo sentido (si le multiplicamos por un número positivo) o distinto sentido (si le multiplicamos por un número negativo) y de módulo igual al módulo del vector por el valor absoluto del número ( ). Un espacio vectorial es un conjunto de elementos que tienen 2 operaciones que son la suma y el producto por números reales con una serie de propiedades que cumplen. Una base del espacio vectorial de los vectores libres (V 3 ) es un conjunto de 3 vectores con distintas direcciones. Se le llama base ya que a partir de ellos se pueden obtener el resto de los vectores. La base más importante es la base canónica, formada por 3 vectores de módulo 1 llamados. Esta base se trata de una base ortonormal, ya que los anteriores vectores son unitarios y ortogonales. Las coordenadas de un vector serían los números que van multiplicando a la base. Las bases además pueden ser normadas (con vectores unitarios) y ortogonales (con vectores ortogonales).

2 Para obtener un vector si nos dan las coordenadas de su extremo y de su origen podemos usar lo siguiente: Ej.: Calcula las componentes del vector que va desde el punto A (1, 2, 0) al punto B (2, 3, 1). Para calcular el punto medio entre dos puntos simplemente hay que hacer la media de esos dos puntos (se suman las coordenadas de los dos puntos y se dividen entre 2). Para hallar el vector unitario de un vector (aquel que tiene módulo 1) lo único que hay que hacer es dividir cada una de sus componentes entre su módulo. Producto escalar. El producto escalar de dos vectores es un número que se obtiene de la siguiente forma: También se utilizan las dos siguientes fórmulas: Siendo α el ángulo que se forma entre los dos vectores. Si los dos vectores son perpendiculares, el producto escalar será 0. Una de las utilidades del producto escalar es el cálculo del ángulo que forman dos vectores. Propiedades: - El producto escalar de un vector por sí mismo es positivo o nulo (u u 0) - El producto escalar es conmutativo (u v=v u). - Tiene propiedad homogénea: k(u v)=ku v=u kv. - Tiene propiedad distributiva (u (v+w) = u v+u w) Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores (es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un tornillo/sacacorchos al girar de a a b. Su módulo es igual a: El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que tiene de lados esos dos vectores. El producto vectorial también se puede calcular resolviendo la siguiente determinante:

3 Siendo (x, y, z) un vector y (x, y, z ) el otro. Propiedades: Anticonmutativa (u x v = -(v x u). Al cambiar el orden de los vectores que se multiplican, el valor absoluto del producto vectorial es el mismo, aunque el signo cambia. Homogénea (igual que la del producto escalar), y distributiva (también igual que la del producto escalar). Producto mixto. El producto mixto de tres vectores forma: u (v x w). es un número real que se calcula de la siguiente El valor absoluto del producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo que tiene de aristas u, v y w. También se puede calcular mediante una determinante en la que se van colocando por filas las componentes de cada vector. Propiedades: Procedimientos: 1. Comprobar que dos vectores tienen la misma dirección: - Dos vectores tienen la misma dirección si sus componentes son proporcionales, es decir, si el cociente de la componente x del primer vector entre la componente x del segundo es igual al cociente de la componente y del primer vector entre la componente y del segundo. Dos vectores son paralelos si se cumple la siguiente igualdad: u = (A, B, C) v = (A, B, C ) A/A =B/B =C/C. Ejemplo: u = (1, 2, 3) v = (4, 8, 12) A/A =B/B 1/4=2/8=3/12 1/4=1/4=1/4 También si colocamos sus componentes en una matriz, su rango es Comprobar que dos vectores son perpendiculares: a) Hay que calcular su producto escalar y si da 0 los vectores son perpendiculares, ortogonales o normales. Se cumple esto: u v=0=xx + yy + zz

4 3. Calcular el punto medio de un segmento: Simplemente hay que hacer la media aritmética de los extremos de ese segmento y nos da las coordenadas del punto medio. Ejemplo: A (A, B, C) B (A, B, C ) M (punto medio AB)= (A+ A )/2, (B+B )/2, (C+C )/2 4. Comprobar que tres puntos (A, B y C) están alineados (son colineales), es decir, que pertenecen a la misma recta. Procedimientos: a) Primero se calculan dos vectores a partir de los puntos (AB y AC, BA y BC o CA y CB). Después se comprueban que tienen la misma dirección. Si tienen la misma dirección, los puntos están alineados. b) Se calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A y B y se sustituye la x, la y y la z por las coordenadas del punto C. Si no nos da ningún absurdo al resolver la ecuación (por ejemplo 2 = 0) ese punto está en la recta, por lo tanto es colineal a los otros 2. c) Se colocan las componentes de los vectores en una matriz y si su rango es 1, entonces los puntos están alineados. 5. Ecuaciones de una recta: Una recta queda determinada por un punto y un vector de dirección Ecuación vectorial En la ecuación vectorial nos dan el vector director ( ) y el vector que va desde el origen hasta un punto dado ( ). Ecuaciones paramétricas: Nos dan un punto de la recta (x 1, y 1, z 1 ) y el vector de la misma (a, b, c). Si igualamos las tres ecuaciones a t (dejamos la t sola en un miembro), entonces podemos igualar las tres ecuaciones y obtendríamos la ecuación en forma continua de la recta. Podemos obtener puntos dando valores a t. Ecuación en forma continua: Aquí las letras tienen el mismo significado que en las ecuaciones paramétricas. 6. Ecuaciones de un plano. Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores, pero estos dos vectores no pueden ser proporcionales, es decir, no pueden tener la misma dirección, por ello primero habrá que comprobar si tienen la misma dirección primero con el procedimiento 1. Una matriz que contenga las componentes de vectores pertenecientes a un mismo plano siempre va a ser de rango 2., y por tanto su determinante (si la matriz es

5 cuadrada) será 0 (det(ax,u,v)=0 siendo X y A dos puntos de un plano y u y v los vectores directores). Ecuación vectorial de un plano. Como ahora hay dos vectores directores serán necesarios dos parámetros (t y s): OX vector que va desde el origen a un punto X del plano, OA es el vector que va desde el origen al punto dado A. u y v son los vectores directores y la t y la s los parámetros por los que van multiplicados. Si desarrollamos esta ecuación, nos pasará lo mismo que con la ecuación vectorial de la recta, es decir, obtendremos las ecuaciones paramétricas: Nos dan un punto del plano (x 1, y 1, z 1 ) y los vectores directores de la misma (a, b, c) y (a, b c ). Podemos obtener puntos dando valores a t. Finalmente tenemos la ecuación general del plano que se calcula mediante la siguiente determinante: Como la determinante de tres vectores del mismo plano es 0 nos acabará quedando una ecuación del tipo Ax+By+Cz+D=0 donde A, B, C son las componentes del producto vectorial entre los vectores directores, y, por tanto será perpendicular al plano.