Vectores. 2)Coordenadas y base Combinación lineal Vectores linealmente dependiente Bases. Bases canónica

Transcripción

1 Vectores 1) Vectores en R 2 Vector fijo en el plano Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo) Vectores equipolentes Vector libres Propiedad fundamental de los vectores libres Definición de vectores Operaciones ( gráficas) de vectores libres. Vectores 2)Coordenadas y base Combinación lineal Vectores linealmente dependiente Bases. Bases canónica 3) Sistema de referencia Euclídeo Vector de posición Coordenadas de un vector fijo y libre Operaciones analíticas de vectores Módulo y argumento Punto medio de un segmento. Puntos alineados. 1

2 Vectores 4) Producto escalar Producto escalar Propiedades Expresión analítica del producto escalar Interpretación geométrica Ángulo de dos vectores 1) Vectores en R 2 Vector fijo en el plano 2

3 Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo) Ejercicio: relaciona los vectores fijos siguientes. Fíjate en dirección, sentido y módulo 3

4 Vectores equipolentes Vector libres 4

5 Propiedad fundamental de los vectores libres Definición de vectores Vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como 0. Vector unitario tienen de módulo la unidad. Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo. Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si sus direcciones son perpendiculares ( forman 90 ); es decir si su producto escalar es cero. Dos vectores son opuestos, si tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido. Vectores concurrentes tienen el mismo origen. Dos vectores son ortonormales si: Son ortogonales (Su producto escalar es cero.) y si los dos vectores son unitarios. 5

6 Operaciones ( gráficas) de vectores libres. 6

7 2) Coordenadas y base Combinación lineal El vector a se dice que es combinación lineal (C.L.) de los vectores u, v si existe dos números reales α, β ε R que cumplan a = αu + βv a = 2u + 4v Vectores linealmente dependiente Los vectores a, u, v se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe entre ellos una combinación lineal; es decir, si existe dos números reales α, β ε R que cumplan a = α u + β v a = 2u + 4v a, u, v son L.D 7

8 Son linealmente dependientes los vectores de la figura? SÍ Indica una combinación lineal entre ellos w = 3v + 2u Existe otra combinación lineal entre ellos? SÍ w = 3v + 2u w 2u = 3v w 2u 3 = v v = 1 3 w 2 3 u Dos vectores a, u se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe un números reales α ε R que cumplan a = α u a b c = 2 a = 1 a y b (L.D.) 2 a a y c (L.D.) Dos vectores a, u se dice que son linealmente dependiente (L.D.) Dos vectores a, u se dice que son linealmente independiente (L.I.) tiene la misma dirección NO tiene la misma dirección 8

9 Bases. Dados dos vectores libres u, v con diferente dirección; es decir (L.I.), cualquier otro vector w se puede expresar como combinación lineal (C.L) de ellos; W = α u + β v En este caso, se dice que B= u, v es una base y que α, β son las coordenadas de w respecto a la base B B= v, u es una base b c Indica una combinación lineal del vector b con respecto a la base B= u, v b = u + v Indica una las coordenadas del vector b respecto a la base B= u, v b = (1, 1) c = 3u + v c = ( 3, 1)? Las coordenadas del vector BC respecto a la base B= u, v es BC=(3,-3) 9

10 Prueba corta 1) Expresa los vectores AB y CD en función de u y v 2) Base canónica Si los vectores que forman la base tienen direcciones perpendiculares se dice que es una base ortogonal, y si además sus módulos son unitarios, la base es ortonormal La base canónoca está formada por los vectores i, j 10

11 Combinación lineal del vector a con respecto a la base canónica B= i, j a = 4i + 3j Las coordenadas del vector a respecto a la base canónica B= i, j a = (4, 3) Todos los vectores equipolentes tiene las mismas coordenadas respecto a la base canónica, es decir, todos los representantes de una mismo vector libre tiene las mismas coordenadas u y v son equipolentes Las coordenadas respecto a la base canónica son u = v = 2, 3 Su combinación lineal respecto la base canónica es u = v = 2i + 3j 11

12 Suma de vectores dados sus coordenadas Como combinación lineal Producto de un número real por un vectores dados sus coordenadas 12

13 Módulo de un vectores dados sus coordenadas Utilizando el teorema de pitágotas x 2 + y 2 = u 2 u = x 2 + y 2 Argumento de un vectores dados sus coordenadas Se llama argumento de un vector, al ángulo que formado dicho vector con la parte positiva del eje X α = arg (u) = actg y x El ángulo correspondiente al vector se debe elegir teniendo en cuenta el cuadrante al que pertenece el vector 13

14 Halla las coordenadas de otro vector con la misma dirección y sentido que u pero con módulo 1 unidad w = 2 13,

15 3) Sistema de referencia Euclídeo Vector de posición Coordenadas de un vector fijo y libre respecto al sistema de referencia Euclídeo 15

16 1º) Actividad en clase. Demostración 2º) Actividad en clase. Encontrar de forma razonada los puntos M1 y M2 puntos que dividen tren partes iguales un segmento 16