UNIDAD 6 ESPACIO TRIDIMENSIONAL: EL PLANO

Transcripción

1 UIDAD 6 ESPACIO TRIDIMESIOAL: EL PLAO Objetivos

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3 Geometría analítica Introducción x 1, x 2, x 3 x 1, x 2 y x 3, x 1, x 2 x 3 Vector dirigido. segmento A dirección A B B B A u v w u u u = (u 1,u 2 u u u = (u 1,u 2,u 3 255

4 n u n espacio vectorial escalar n Operaciones con vectores Suma y resta Ejemplo 1 a b a + b a b a + b a b M ultiplicación de vectores por escalares u u u u 256

5 Geometría analítica Ejemplo 2 a a a a a magnitud u u Definición u = (u 1, u 2,...,u n u u Vectores unitarios vector unitario u u 0 u = (u 1, u 2 u n u u u u u Ejemplo 3 v 2 v 257

6 v v v v v 2 v 4 w w = w w Vectores coordenados unitarios dimensiones 2 dos i j 258

7 Geometría analítica 3 i j k i j k 259

8 v v i j i j i j i j = i j v Ejemplo 4 u v w u = i + 2j k v i + j k w i j + k u + v + w u + 2v w i + 2j k i j k i j + k u + 2v w i + 2j k i j k i j k u + 2v w i j k Producto escalar u + 2v w = 2i j + 2k u = v = u v u v c 260

9 Geometría analítica Ejemplo 5 C D Ángulo entre vectores A B V 2 y Ejemplo 6 A B A B 261

10 A B paralelismo ortogonalidad Vectores paralelos A B V n paralelos A B A B V n A B A B y A = B B = A Ejemplo 7 F G F G F = G, F = G F G 262

11 Geometría analítica Vectores ortogonales A B V n A B Ejemplo 8 B A B A A A B B A B proyección componente A componente de A A B B B B A A A B componente A B 263

12 Ejemplo 9 A B A = 2j k B = 4j A = 2 a 2 A = (a a 2 a A a A a A a 2 a a 2 A A B 2 264

13 Geometría analítica Ejemplo 10 A = 2j k B = 4j A B Producto vectorial Definición A B V A = (a, a 2, a B = (b, b 2, b Ejemplo 11 A = 2i j k B i + j + 2k A B vectores paralelos 265

14 A B A B = dextrógiro A B V A B A B A B A B A B A B B A 6.1. Definición de plano ( P(x, y, z 266

15 Geometría analítica Definición de espacio euclidiano de dimensión tres. El espacio euclidiano de dimensión tres, denotado por 3, es el conjunto de puntos P, representados por las ternas ordenadas de números reales (x 1, x 2, x 3 ). Definición de plano en 3. Es la sección comprendida por dos vectores no paralelos que forman un paralelogramo para el cual existe un par de 3 puntos P, P o y dos vectores linealmente independientes (son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igualada a cero es aquella cuyos escalares son cero). A, B 3, tales que los podemos denotar como un conjunto de la siguiente manera: Ejemplo 12 A = 2i + k i + 2k P P P P = (x, y, z Ejemplo 13 P P(x, y, z 267

16 (x, y, z P ecuaciones del plano en posiciones especiales. z =, z = c, c y y = c x x = c 268

17 Geometría analítica 6.2. Ecuaciones del plano Ecuación normal de un plano cualquiera. x + y + z = 0 ecuación normal del plano, p A, B, C, D, K 269

18 0 ecuación del plano en for ma general. A, B, C K p>0 K D Ejemplo 14 K K 270

19 Geometría analítica p Ecuación vectorial del plano P P P A B = A B A B k(a B k P P P P P P P P P P 0 P P 0 = A + B P A B P P P A B A B P 0 A B P P P 0 271

20 A P P P P P P P P 0 P P P P P B A A B P 0 P P P P P P P P 0 Ecuación cartesiana del plano P P P P (P P 0 P P 0 P = P 0 (x y z a b c a, b, c, x 0, y 0, z = ecuación cartesiana del plano x, y z d P 0 P P P P = P 0 P P P P 0 P P 272

21 Geometría analítica P 0 Ejemplo 15 j P d = P 0 a = b c = d = a, b c y j y P Ejemplo 16 P y Ecuación paramétrica del plano u v 273

22 Ejemplo 17 u x v x y x + v x y + z v u = x, 274

23 Geometría analítica Ejercicio 1 M a 1 = a 2 =. M B C A 6.3. Distancia de un punto a un plano Distancia de un plano al origen. P P P 275

24 P 0 Q Q Q Q =, Q Q Q P 0 Q = P 0 Q P 0 2 P Q d Q Q = d d d d Ejemplo 18 d 276

25 Geometría analítica 2 2 k k 2 2 Ejemplo 19 d d d 277

26 P (x, y, z 0 P Ax + By + Cz + D P P 0 (x 0, y 0, z 0 Teorema. Sean 0 la ecuación general de un plano y P 1 (x 1, y 1, z 1 ) un punto que no está en el plano. Entonces, la distancia perpendicular d del plano a P 1 está dada por: (6) Ejemplo 20 A, B, C, D, x 1, y 1 z 1 278

27 Geometría analítica d 6.4. Intersección y ángulo entre planos I ntersección de planos. 2 (x, y, z) 279

28 Ejemplo 21 P P P P 2 280

29 Geometría analítica P s s y y 2 z 2 z Ejemplo 22 a,, b a b y z y x, y, z 281

30 (d, e, d e m m, m m Ejemplo 23 0 x x 282

31 Geometría analítica y y z z P Ejemplo 24 x z = x z = y,,, P P P P 283

32 Ángulo entre dos planos. Ejemplo

33 Geometría analítica Ejercicio 2 Ejercicios resueltos. P 0 P 0 P 0 = P P P 0 P(x, y, z. x y z. 285

34 P D P D D D = 9 x y z : 0 286

35 Geometría analítica B, C D A, A 6. A = B = C = D = B A E = C A D E D E P 0 D

36 =., 2 P 2 v v = u = v u u P P P P 288

37 Geometría analítica (K 2 d 2 t t t t t 289

38 P d x x

39 Geometría analítica Y 291

40 Autoevaluación = i 2j +k, = 2i 2j k x =. = 2i + j + 2k, = i + j k y = 2. 4 x y z 292

41 Geometría analítica P M M 2 M 1 M M d d d d x + y z x + y + 2z 293

42 Ejercicios opcionales x z y M 1 a b Oxy M 294

43 Geometría analítica Respuestas a los ejercicios 1 P 0. d 2 Respuestas a la autoevaluación 295

44 Respuestas a los ejercicios opcionales a a =, b, a =, b 2 296