GEOMETRIA DEL ESPACIO

Transcripción

1 GEOMETRIA DEL ESPACIO

2 GEOMETRIA DEL ESPACIO SUPERFICIES REPRESENTADAS EN R³ POR LAS SIGUIENTES ECUACIONES:

3 1.- DESCRIBA Y BOSQUEJE LA SUPERFICIE EN R³ REPRESENTADA POR LA ECUACION: X=Y. 2.- Que puntos ( x,y,z) satisfacen las ecuaciones: (x² + y² = 1 ) y z = Que representa la ecuación: x² + y² = 1 como una superficie en R³

4 Ejercicios de vectores. 1.-Determine un vector que tenga la misma dirección de < -2, 4, 2 > pero tiene longitud Si los vectores a y b tienen módulos de 4 y 6 y el ángulo entre ellos es π/3, encuentre a.b. 3.- Demuestre que: 2i+2j-k con 5i-4j+2k son ortogonales. 4.-Demuestre que (a x a) es igual a 0 para cualquier vector a que pertenece a R³. 5.-Encuentre un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos: P(1,4,6); Q( ); R(1,-1,1). 6.-Encuentre el área del triangulo que tiene sus vértices en los puntos: P((1,4,6); Q(-2,5,-1); R(1,-1,1). 7.-Demuestre que el volumen de un paralelepípedo es igual a la magnitud del triple producto escalar V= a.(b x c) Los tres ángulos directores de cierto vector unitario son los mismos y están entre cero y π/2. Cuál es este vector?.

5 v= ai+bj+ck ; t (v) = tai+ tbj + tck ro + PPo = r PPo= tv ; ( t escalar), PPo = < xo-x, yo-y, zo-z > < xo-x, yo-y, zo-z > = tai+ tbj + tck xo-x = ta ; yo-y = tb ; zo-z = tc ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA

6 ECUACION DE LA RECTA EN R3 1.-ENCUENTRE LA ECUACION PARAMETRICA y SIMETRICA, PARA LA RECTA QUE PASA POR EL PUNTO (5,1,3) Y ES PARALELA AL VECTOR v= i+4j-2k. 2.-ENCUENTRE LAS ECUACIONES PARAMETRICAS Y LAS ECUACIONES SIMETRICAS DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS A(2,4,-3) Y B(3,-1,1). EN QUE PUNTO INTERSECA AL PLANO X-Y (CUANDO Z=0). 3.-DEMUESTRE QUE LAS RECTAS L1 Y L2 CON ECUACIONES PARAMÉTRICAS: L1: X= 1+t ; Y= -2 +3t; Z= 4 t ; L2: X=2s ; Y= 3 + s ; Z= -3+4s, SON RECTAS OBLICUAS, ES DECIR NO SE INTERSECAN Y NO SON PARALELAS ( NO PERTENECEN AL MISMO PLANO). 4.- OBTENGA LA DISTANCIA DEL PUNTO S( 1,3,0) A LA RECTA: L1. L1: X = 1 + t ; Y= 3 t ; z= 2t.

7 ECUACION DE LA RECTA EN R3 5.- OBTENGA LAS ECUACIONES PARAMETRICAS Y SIMETRICAS `PARA LAS RECTAS QUE PASA POR EL PUNTO P(3,-4.-1) Y QUE ES PARALELA AL VECTOR : i + J + K. 6.- OBTENGA LAS ECUACIONES PARAMETRICAS Y SIMETRICAS PARA LAS RECTAS QUE PASA POR EL PUNTO P(1,2,0) Y Q( ( 1,1,-1). 7.-OBTENGA LAS ECUACIONES PARAMETRICAS Y SIMETRICAS PARA LAS RECTAS QUE PASA POR EL PUNTO P(1,1.1) y es paralela al eje Z OBTENGA LA DISTANCIA DEL PUNTO S( 1,3,1) A LA RECTA: L1. L1: X = 1 + t ; Y= 3 t ; z= 2t. 9.- OBTENGA LA ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL PUNTO P ( 2,1,1) Y ES PERPENDICULAR A LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS Q(2, 1,4) y R( 1,1,0).

8 n = ai + bj+ ck ECUACION CARTESIANA( LINEAL) DE UN PLANO

9 GEOMETRIA DEL ESPACIO 1.-ENCUENTRE LA ECUACION DEL PLANO QUE PASA POR LOS PUNTOS P(1,3,2); Q(3,-1,6); R(5,2,0). 2.-ENCUENTRE EL PUNTO EN EL CUAL LA RECTA CON ECUACIONES PARAMETRICAS: L: X=2+3t ; Y= -4t; Z=5+t.INTERSECAN AL PLANO π:4x+5y-2z= DETERMINE SI LOS PLANOS: π1: X+2Y-3Z=4 ; y ; π2: 2X+4Y-6Z=3; SON PARALELOS. 4.- a).-encuentre EL ANGULO ENTRE LOS PLANOS: : π1 : X+Y+Z=1; y ; π2 : X-2Y+3Z=1 b).-obtenga LAS ECUACIONES SIMETRICAS PARA LA RECTA DE INTERSECCION DE ESTOS DOS PLANOS. 5.- ENCUENTRE LA DISTANCIA ENTRE LOS PLANOS PARALELOS: π1: 10X+2Y-2Z=5 ; y ; π2: 5X+Y-Z=1 6.- DETERMINAR LA ECUACION DEL PLANO QUE CONTENGA EL PUNTO P(4,0,-2) Y SEA PERPENDICULAR A CADA UNO DE LOS PLANOS: π1: X-Y+Z=0 ; y ; π2: 2X+Y-4Z=0

10 GEOMETRIA DEL ESPACIO 7.-Demuestre que la recta de intersección de los planos: π1: x + 2y - 2z = 5 π2: 5x - 2y - z = 0 es paralela a la recta L1: x = t; y = 3t; z = 1 + 4t 8.- Obtenga la distancia entre dos rectas oblicuas: L1: con vector director igual a : v= 2i + 3j+ 1k y pasa por el punto P(1,2,3) ; L2: pasa por los puntos : Q( -1,-2,-3) y R( 4,-2,0). ( Graficar las dos rectas). 9.- Encuentre el punto en donde la recta que pasa por el origen y que es perpendicular al plano : 2x-y-z =4 interseca al plano: 3x- 5y +2z=6.