Formulario: Geometría Analítica

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1 Universidad Autónoma del Estado de México UAEM Facultad de Ingeniería Formulario: Geometría Analítica Elaborado por: Estudiante en Ingeniería en Electrónica

2 Formulario Geometría Analítica 1. VECTORES EN EL PLANO Coordenadas del punto medio de un segmento Vector Posición Magnitud de un segmento Magnitud de un vector Ángulo (Dirección del Vector) Dirección Opuesta de un Vector Si Si Vector Unitario Producto Escalar de dos Vectores Sean y, entonces Vectores Paralelos o Vector Ortogonal Sean 2. VECTORES EN EL ESPACIO Coordenadas del punto medio de un segmento Vector Posición Magnitud de un segmento Magnitud de un vector Ángulos o cosenos directores Vector Unitario o también Vectores Perpendiculares Ángulo entre dos Vectores ( ) Proyección Ortogonal de dos Vectores ( ) Componente (Magnitud del Vector ) Producto Escalar de dos Vectores Sean y, entonces Producto Vectorial Sean y entonces Producto Triple Mixto Sean, y entonces

3 Ángulo entre dos Vectores (Espacio) ( ) Proyección Ortogonal de dos Vectores (Espacio) ( ) Componente (Magnitud del Vector ) (Espacio) 3. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA La recta en el plano Ecuación General o Forma Cartesiana Ecuación Vectorial Ecuaciones Paramétricas Pendiente, t Distancia de una Recta a un Punto dado Distancia dirigida de una Recta a un Punto dado Ecuaciones de las bisectrices de dos rectas que se cortan Forma punto- pendiente Y Forma pendiente- intersección Forma Intersección de una Recta Si Si Si es de signo contrario a y B tienen en mismo signo tienen el mismo signo Rectas Paralelas Rectas Perpendiculares Vector Paralelo a una Recta Vector Normal a una Recta Ángulo entre dos Rectas Forma Normal de la Ecuación de una Recta Distancia entre Rectas Paralelas

4 4. SECCIONES CÓNICAS *En la parábola y la hipérbola y en la circunferencia y la elipse CÓNICA Circunferencia CARACTERÍSTICAS Constantes Primera ecuación ordinaria Centro en el Segunda ecuación ordinaria Centro en el punto radio Longitud del lado recto Excentricidad Ecuación Vectorial Con centro en el Centro en Algunas ecuaciones paramétricas Con centro en el Centro en

5 Parábola Constantes distancia del vértice al foco distancia del vértice a la directriz Foco sobre el eje Primera ecuación ordinaria Vértice en el coincide con el eje Directriz: foco coincide con el eje Directriz: foco Segunda ecuación ordinaria Vértice en el punto coincide con el eje Longitud del lado recto coincide con el eje Excentricidad Ecuación generan de la cónica careciendo del termino Ya sea ó Casos excepcionales Dos rectas coincidentes; dos rectas paralelas (Ningún lugar geométrico) Ecuación Vectorial Con centro en el centro en el Centro en centro en Algunas ecuaciones paramétricas Con centro en el centro en el Centro en centro en

6 Elipse Constantes longitud del eje mayor longitud del eje menor distancia entre los focos Focos sobre el eje mayor Primera ecuación ordinaria Centro en el Segunda ecuación ordinaria Vértice en el punto Longitud del lado recto coincide con el eje coincide con el eje coincide con el eje coincide con el eje Focos, Focos, Excentricidad (Para la circunferencia, ) Ecuación generan de la cónica careciendo del termino y del mismo signo Para la circunferencia, Casos excepcionales Punto (Ningún lugar geométrico) Ecuación Vectorial Con centro en el centro en el Centro en centro en Algunas ecuaciones paramétricas Con centro en el centro en el Centro en centro en

7 Hipérbola Constantes longitud del eje transverso longitud del eje conjugado distancia entre los focos Focos sobre el eje transverso Primera ecuación ordinaria Centro en el Segunda ecuación ordinaria Centro en el punto Longitud del lado recto coincide con el eje coincide con el eje coincide con el eje coincide con el eje Focos, Focos, Excentricidad Ecuación generan de la cónica careciendo del termino y de signo distinto Casos excepcionales Dos rectas que se cortan Ecuación Vectorial Con centro en el centro en el Centro en centro en Algunas ecuaciones paramétricas Con centro en el centro en el Centro en centro en

8 Opcional ROTACIÓN DE EJES ECUACIONES DE ROTACIÓN - En términos de - En términos de TEOREMA: Si la ecuación es tal que, y si se obtiene de un sistema de coordenadas al tomar los ejes un ángulo que satisface entonces, en coordenadas, la ecuación tendrá la forma EL DISCRIMINANTE Considérese una ecuación de segundo grado a) Si la ecuación representa una elipse, una circunferencia, un punto o bien no tiene gráfica. b) Si la ecuación representa una hipérbola o una pareja de rectas que se intersectan. c) Si la ecuación representa una parábola, una recta, una pareja de rectas paralelas o bien no tiene gráfica.

9 5. COORDENADAS POLARES CRITERIOS DE SIMETRÍA a) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al eje si al sustituirse por en su ecuación se produce una ecuación equivalente. b) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al eje si al sustituirse por en su ecuación se produce una ecuación equivalente. c) Una curva en coordenadas polares es simétrica con respecto al si al sustituirse por en su ecuación se produce una ecuación equivalente. GRÁFICAS COMÚNES Cardiodes y Limacos Limaco Cardiode Limaco Lemniscatas

10 Espirales Rosas

11 UAEM Facultad de Ingeniería Formulario: Geometría Analítica 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO La recta en el espacio Ecuación Vectorial Sean y, entonces: Ecuaciones Paramétricas, t Ecuación Simétrica o Forma Cartesiana El plano Ecuación Vectorial Sean, y, entonces: Ecuaciones Paramétricas, s t Forma Punto Normal Sean y, entonces: Distancia entre un Punto y el Plano

12 7. SUPERFICIES CUADRICAS Superficie Ecuación Ecuaciones Paramétricas Esfera Traza Plano e Circunferencia Circunferencia Circunferencia Elipsoide Traza Elipse Elipse Elipse Plano e La superficie es una esfera si Hiperboloide de un hoja Traza Plano e Elipse Hipérbola Hipérbola, El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

13 Superficie Ecuación Ecuaciones Paramétricas Hiperboloide de dos hojas Traza Elipse Hipérbola Hipérbola Plano e El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. No hay traza en el plano coordenado perpendicular a este eje Cono elíptico Traza Elipse Hipérbola Hipérbola Plano e El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Las trazas en los planos coordenados paralelos a este eje son rectas que se cortan.

14 Superficie Ecuación Ecuaciones Paramétricas Paraboloide Elíptico Traza Plano e Elipse Parábola Parábola [ El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la primera potencia. Paraboloide hiperbólica Traza Plano e Hipérbola Parábola Parábola El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la primera potencia.

15 ANEXO 1 TRIGONOMETRÍA Resolución de un Triángulo - Rectángulo Identidades fundamentales - Razones Trigonométricas Resolución de un Triángulo Oblicuángulo - Ley de Senos Fórmulas de Adición - Ley de Cosenos Fórmulas de Resta

16 Fórmulas para Ángulos Negativos Fórmulas de Confusión Fórmulas de Doble Ángulo Fórmulas de Producto a Suma Identidades de Semiángulos Fórmulas de Suma a Producto Fórmulas de Semiángulos

17 ANEXO 2 PLANO POLAR

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